中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< July 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >>

規則性 - 円の数

規則性 >

 自己相似な図形について、規則性の問題を解いてみましょう。

 全体と部分が相似であることを自己相似といます。また、自己相似な図形をフラクタルといいます。

例題
 円によって自己相似な図形を作図してみましょう。1回目に円をかきます。2回目に、円に内接する合同な2つの小円をかきます。3回目以降は、2回目と同じように作図します。

自己相似な円

1. 5回目の円の総数Sを求めてください。
2. n 回目の円の総数Sをの式で表してください。
3. 円の総数が 511 になるのは何回目ですか。

(解答)
 n 回目の円の総数を調べる。
 n=1: S=1
 n=2: S=1+2=3=1+2
 n=3: S=1+2+4=7=1+2+2
 n=4: S=1+2+4+8=15=1+2+2+2
 n=5: S=1+2+4+8+16=1+2+2+2+2
   :
 n=n: S=1+2+2+2+…+2n−1

1.
 n=6 のとき、
 S=1+2+4+8+16=31 (個) ・・・(答)

2. 
 S==1+2+2+2+…+2n−1  2をかけると、
2S=     2+2+2+…+2  2式の差から、
 S=2−1 (個) ・・・(答)

3. 2−1=511
 2=512=256×2=16×2=(2×2=2
 よって、n=9 (回目) ・・・(答)

(参考)
 Sの隣りの項との差は 2 で一定にならない。Sは1次関数や2次関数ではない(指数関数になっている)。
回目
15 31
Sの差1 16
Sの差2 16

練習
 ミキさんはマウスを使って、パソコン画面上に大好きなキャラクターの輪郭をかいて模様を作っています。1回目は、大きな円をかきます。2回目は、大きな円に接する2個の小さな円をかきます。3回目は、小さな円2個に接するさらに小さな円4個をかきます。以降、同じようにかいていきます。

 自己相似

1. 6回目の円の個数を求めてください。
2. n 回目の円の個数を n の式で表してください。
3. 円の個数が 255 個になるのは何回目ですか。

答 え











答 え
1.
 円の個数をSとする。
 n=1: S=1
 n=2: S=1+2=1+2
 n=3: S=1+2+4=1+2+2
 n=4: S=1+2+4+8=1+2+2+2
 n=5: S=1+2+4+8+16=1+2+2+2+2
 n=6: S=1+2+4+8+16+32=1+2+2+2+2+2
   :
 n=n: S=1+2+2+2+2+…+2n−1

 n=6 のとき、
 S=1+2+4+8+16+32=63 (個) ・・・(答)

2、
 n 回目のとき、
 S=1+2+2+2+…+2n−1  2をかけると、
2S=   2+2+2+…+2n−1+2 2式の差から、
 S=2−1 (個) ・・・(答)

3.
 S=2−1=255
 2=256=16=(2=2
 n=8 (回目) ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性 - レンガの数

規則性 >

 レンガを積む問題を解いてみましょう。

練習
 図1〜図3は、レンガが積まれた上部の様子を表しています。1〜3の問いに答えてください。

規則性_れんが積み3種類

1. 図1で、最下段のレンガの数が 23 個になるのは何段目ですか。また、そのときのレンガの総数を求めてください。

2. 図2で、レンガが 10 段積まれています。レンガの総数を求めてください。

3. 図3で、レンガの総数が 75 個のとき、最下段は何段目ですか。

答 え











答 え
 n 段目までの、レンガの総数をSとする。
1.
 S=1+3+5+…+(2n−1)
 2n−1=23  n=12
 S=1+3+5+…+21+23  逆に並べる。
 S=23+21+…+5+3+1  2式を「たす。
2S=24×12
 S=12=144
(答) 12段目、144個

2.
 S=2+4+6+…+2n  n=10 から、
 S=2+4+6+…+18+20  逆に並べる。
 S=20+18+…+6+4+2  2式を「たす。
2S=22×10
 S=110 (個) ・・・(答)

3.
 S=1+2+3+4+5+…+n とする。
 右辺を逆に並べる。
 S=n+…+5+4+3+2+1
 2式を「たす。
2S=(n+1)n
 S=n(n+1)/2
 Sの値は1段目の1個と2段目の2個を含むので、
 n(n+1)/2=1+2+75
 n+n−156=0  156=12×13
 (n+13)(n−12)=0
 n>0 から、n=12
 図3では、上部の1個と2個がないので、
 最下段は、(n−2) 段目となる。
 n−2=12−2=10 (段目) ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性 - 自然数の和2

規則性 >

 自然数、偶数、奇数の和について、規則性の問題を図で解いてみましょう。

練習
1. 次の 銑の計算は、図1〜図3のどの図に相当しますか。
 。院棕押棕魁棕
◆。押棕粥棕供棕
 1+3+5+7
規則性_自然数・偶数・奇数の和

2. 5チームのリーグ戦でサッカーの試合をします。次の(1)〜(4)の問いに答えてください。
(1) 次の 銑の方法で、それぞれ試合数を求めてください。
 〇邱膺瑤蓮∪妓浤儼舛諒佞搬亞兩の総数となる。
 頂点1から引ける線の数は、4本
 重複せずに、頂点2から引ける線の数は、3本
 重複せずに、頂点3から引ける線の数は、…
 このように、重複しない線の数を合計して求める。
規則性_正五角形_線の総数

◆。韻弔猟催世ら引ける線の数に頂点の数をかける。ただし線が重複するので、2で割って求める。

 リーグ戦の試合数を表から求める。

(2) 正 n 角形の辺と対角線の総数から、
 1+2+3+…+(n−1)=n(n−1)/2 を証明してください。

(3) リーグ戦が21試合あるとき、チーム数を求めてください。

(4) 正 n 角形があります。
 ‖亞兩の数を求めてください。
◆‖亞兩の数が54のとき、頂点の数を求めてください。

答 え











答 え
1.
 。院棕押棕魁棕粥瓧粥滷機爍押,ら、図3

◆。押棕粥棕供棕
 =(1+2+3+4)×2=4×5 から、図1

 1++5+ を ¬ 形に並べると、
 1+3+5+7=4 から、図2

2.
(1)
 。粥棕魁棕押棕院瓧隠 (試合) ・・・(答)

◆。韻弔猟催世ら引ける線は、(5−1) 本
 頂点が5つあるので、5(5−1) 本
 重複して線を数えているので、
 5(5-1)/2=10 (試合) ・・・(答)

 (5×5) 試合のうち、同じチームの試合はないので、
 (5−5) 試合
 このうち の半分が重複するので、
 (5−5)/2=10 (試合) ・・・(答)

(2)
 正 n 角形では、頂点1から (n−1) 本線が引ける。
 頂点2から、重複せずに (n−2) 本線が引ける。
 頂点3から、重複せずに (n−3) 本線が引ける。
 このように線を引くと、線の総数は、
  (n-1)+(n-2)+(n−3)+…+3+2+1
 =1+2+3+…+(n−1) ・・・(ア)
 正 n 角形では、1つの頂点から (n−1) 本線が引ける。
 頂点が n あるので、
 線は、n(n−1) 本引ける。
 重複があるので線の総数は、n(n−1)/2 ・・・(イ)
 (ア)と(イ)は等しいので、
 1+2+3+…+(n−1)=n(n−1)/2

(3)
 正 n 角形の辺と対角線のの総数から求める。
 n(n−1)/2=21
  n−n−42=0
 (n+6)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 (チーム) ・・・・(答)

(別解) 表から求める。
 チーム数を n とすると、リーグ戦の表から試合数は、
 (n×n−n)/2=21
  n−n−42=0
 (n+6)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 (チーム) ・・・・(答)

4.
 (佞搬亞兩の総数は、n(n−1)/2
 辺の数 n を引くと、対角線の数は、
 n(n−1)/2−n=n(n−3)/2 ・・・(答)

◆。遏複遏檻魁/2=54
 n−3n−108=0  108=2×6×9=12×9
 (n+9)(n−12)=0
 n>0 から、n=12
 頂点の数は、12 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性 - 自然数の和1

規則性 >

 自然数、偶数、奇数の和について、規則性の問題を式で解いてみましょう。

練習
1. 下の表のような自然数、偶数、奇数の数列(規則的な数字の並び)があります。
番目
自然数
偶数 【ア】
奇数 【イ】
(1) 【ア】、【イ}の数を n で表してください。
(2) 次のガウス少年のエピソードをもとに、 銑の和を求めてください。
 ガウスは9歳(小学3年)の頃、1+2+3+・・・+100 の計算を出題されました。少年は、数字を逆に並べてたすと、101の項が100個あるので、(101×100)÷2 によって、すぐに計算ができました。
  S=1+2+3+・・・+99+100
  S=100+99+・・・+3+2+1
 2S=101×100
  S=101×100÷2=5050
 。院棕押棕魁棔帖棕
◆。押棕粥棕供棔帖棔撻◆
 1+3+5+…+【イ】

2. 次の数列の和は 156 です。n の値を求めてください。
 6,7,8,9,…,n

3. 次の数列の和を求めてください。
 5,7,9,11,…,99

答 え











答 え
1.
(1)
【ア】 2n
【イ】
 奇数をNとすると、(n,N)のグラフの傾きは2、
 n=0 のとき、N=1−2=−1 から、
 N=2n−1 ・・・(答)

(2)

 S=1+2+3+…+(n−1)+n  逆に並べる。
 S=n+(n−1)+…+3+2+1  2式をたす。
2S=(1+n)n
 S=n(n+1)/2 ・・・(答)

 S=2+4+6+…+2n  2でわる。
 S/2=1+2+3+…+n  逆に並べる。
 S/2=n+…+3+2+1  2式をたす。
   S=(1+n)n=n(n+1) ・・・(答)
(別解)
 S=2+4+6+…+2n
  =2(1+2+3+…+n)  ,ら、
  =2{n(n+1)/2}
  =n(n+1) ・・・(答)

 S=1+3+5+…+{2(n−1)−1}+(2n−1)
  =1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1)  逆に並べる
 S=(2n−1)+(2n−3)+…+5+3+1  2式をたす。
2S=2n×n
 S=n ・・・(答)

2.
 1,2,3,,…,n を考える。
 S=1+2+3+…+n
 S=n+…+3+2+1
2S=(n+1)n
 S=n(n+1)/2
 6+7+8+…+n
=S−(1+2+3+4+5)
=n(n+1)/2−15=156
 n(n+1)/2=171
 n+n−342=0  342=2×3×3×19=18×19
 (n+19)(n−18)=0
 n>0 から、n=18 ・・・(答)

3.
 1,3,5,7,9,…,99 を考える。
 奇数をNとすると、(n,N)のグラフの傾きは2、
 n=0 のとき、N=1−2=−1 から、N=2n−1
 2n−1=99 から、n=50
 99は50番目の数である。
 S=1+3+5+…+99
 S=99+…+5+3+1
2S=100×50
 S=50=2500
 5+7+9+…+99
=S−(1+3)=2500−4
=2496 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性 - 自然数の並び

規則性 >

 1次関数を利用すると、自然数の数列を容易に式で表すことができます。

例題
 数列 3,4,5,6,… の n 番目の数Nを、n を使って表してください。

 Nを n の関数と考えます。
 n が1増加すると、Nは1増加するので、(n,N)のグラフは1次関数で、傾きは1です。
 n=0 のとき、N=2 なので、y 切片に相当するのは2です。
 したがて、N=n+2 ・・・(答)

  規則性_数列のグラフ

 傾きと切片の値がすぐ分かるので、n の式を暗算で求めることができます。

例題2
 数列 1,4,7,10,… の n 番目の数Nを、n を使って表してください。

 傾きは3で一定で、Nの切片は 1−3=−2 から、
 N=3n−2 ・・・(答)
−2 10

練習
 次の1〜3の数列について、n 番目の数Nを、n を使って表してください。
1. 7,8,9,10,…
2. 2,7,12,17,…
3. 6,9,12,15,…

答 え











答 え
1.
 傾きが1で一定で、Nの切片が 7−1=6 から、
 N=n+6 ・・・(答)

2.
 傾きが5で一定で、Nの切片が 2−5=−3 から、
 N=5n−3 ・・(答)

3.
 傾きが3で一定で、Nの切片が 6−3=3 から、
 N=3n+3


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink