中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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因数分解 - 和と差の積

因数分解する3 目次 >

 2乗の差を、和と差の積で表し、因数分解してみましょう。
 x−y=(x+y)(x−y)

例題
 9x−49 を因数分解してください。
(三重県高)

  9x−49  2乗の差にする。
=(3x)−7  和と差の積にする。
=(3x+7)(3x−7) ・・・(答)

練習
 次の式を因数分解計算してください。
1. 4x−81
(鳥取県高)
2. x−y+2y−1
(青雲高)
3. 36x−9x−4y+1
(関西学院高等部)
4. (x+1)+x+y−(y−1)
(明治大付属明治高)
5. (x+7)+(x+14)−(x+15)
(函館ラ・サール高)
答 え












答 え
1.
 4x−81  2乗の差にする
=(2x)−9  和と差の積にする。
=(2x+9)(2x−9) ・・・(答)
2.
 x−y+2y−1
=x−(y−2y+1)  2乗の差にする。
=x−(y−1)  和と差の積にする。
=(x+y−1)(x−y+1) ・・・(答)
3.
 36x−9x−4y+1  x の次数順にする。
=9(4y−1)x−(4y−1)  共通因数をくくる。
=(9x−1)((4y−1)  和と差の積にする。
=(3x+1)(3x−1)(2y+1)(2y−1) ・・・(答)
4.
  (x+1)+x+y−(y−1)  和と差の積にする。
=(x+y)(x−y+2)+x+y  共通因数をくくる。
=(x+y)(x−y+2+1)
=(x+y)(x−y+3) ・・・(答)
5.
 (x+7)+(x+14)−(x+15)  和と差の積にする。
=(x+7)+(2x+29)(−1)  和の2乗を展開する。
=x+14x+49−2x−29
=x+12x+20  積が20、和が12から、
=(x+2)(x+10)  ・・・(答)
×
10 10
積1 積20 和12
(別解) 和の2乗をすべて展開する。
 (x+7)+(x+14)−(x+15)
=x+(14+28−30)x+(49+196−225)
=x+12x+20
==(x+2)(x+10)  ・・・(答)


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因数分解 - 共通因数

因数分解する3 目次 >

 共通因数をかっこの外にくくり出し、因数分解してみましょう。この計算は、分配法則の逆になります。
 分配法則: a(x+y)=ax+ay
 因数分解: ax+ay=a(x+y)  a: 共通因数

例題
 a(b+8)−(b+8) を因数分解してください。
(群馬県高)

  a(b+8)−(b+8)  (b+8) をくくる。
=(b+8)(a−1)  a、b 順に並べる。
=(a−1)(b+8) ・・・(答)

(参考)
 「くくる」は、括ると書き、一まとめにすることです。

練習
 次の式を因数分解計算してください。
1. x−6x
(栃木県高)
2. 2x+2x−24
(高知県高)
3. (x−1)−3x+3
(法政大第二高)
4. xy+xy−xy−xy
(豊島岡女子学園高)
5. (a−b)(x+2)+9y(b−a)
(日本大習志野高)
答 え












答 え
1.
 x−6x  共通因数をくくる。
=x(x−6) ・・・(答)
2.
 2x+2x−24  2をくくる。
=2(x+x−12)  和が1、積が−12から、
=2(x−3)(x+4) ・・・(答)
× −3 −3
 4  4
積1 積−12 和1
3.
 (x−1)−3x+3  −3 をくくる。
=(x−1)−3(x−1)  (x−1) をくくる。
=(x−1)(x−1−3)
=(x−1)(x−4) ・・・(答)
4.
  xy+xy−xy−xy  xy をくくるる。
=xy(x+x−y−y) 2乗の差に並べる。
=xy(x−y+x−y)  2乗の差=和と差の積 から、
=xy{(x+y)(x−y)+(x−y)} (x−y) をくくる。
=xy(x−y)(x+y+1) ・・・(答)
5.
 (a−b)(x+2)+9y(b−a)  (a−b) をくくる。
=(a−b){(x+2)−9y}  2乗の差=和と差の積 から、
=(a−b)(x+2+3y)(x+2−3y)  x、y 順にする。
=(a−b)(x−3y+2)(x+3y+2) ・・・(答)


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因数分解 - 方法

因数分解する3 目次 >

 因数分解のしかたを確認し、最新の高校入試の問題を解いてみましょう。

 多項式を積の形にすることを因数分解といいます。
例: 2x−2=2(x+1)(x−1)
2 、(x+1)、(x−1) をそれぞれ因数といいます。

 因数分解の方法には、共通因数をくくる、和と差の積にする、和か差の2乗にする、係数を分解する、最低字数順にする、があります。

 共通因数をくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

例題
 a−4a−4b+4 を因数分解してください。
(市川高)

 最低次数の b について、次数順に式を整理する(b → b → 定数)。
 a−4a−4b+4
=−4b+(a−4a+4)  (  )内を、差の2乗にする。
=−4b+(a−2)
=(a−2)−(2b)  2乗の差=和と差の積 から、
=(a−2+2b)(a−2−2b)
=(a+2b−2)(a−2b−2) ・・・(答)

 因数分解を利用して、方程式を解くことができます。
例: 2次方程式 x+4x=0 を解いてください。
(青森県高)

 x+4x=x(x+4) から、
 x=0 か x+4=0 のとき、x+4x=0 となる。
 よって、x=−4,0 ・・・(答)

練習
 次の式を因数分解計算してください。
1. a−8a
(沖縄県高)
2. x−25
(群馬県高)
3. x−13x+36
(埼玉県高)
4. −x+y+4x−4
(國學院久我山高)
5. x+ax+a−1
(東邦大附属東邦高)
答 え












答 え
1.
 a−8a  共通因数をくくる。
=a(a−8) ・・・(答)
2.
 x−25
=x−5  2乗の差=和と差の積 から、
=(x+5)(x−5) ・・・(答)
3.
 x−13x+36  和が−13、積が36 から、
=(x−4)(x−9) ・・・(答)
× −4 −4
−9 −9
積1 積36 和−13
4.
 −x+y+4x−4  最低字数 の次数順に整理する。
=y−(x−4x+4)  (  )内を、差の2乗にする。
=y−(x−2)  2乗の差=和と差の積 から、
=(y+x−2)(y−x+2) ・・・(答)
5.
 x+ax+a−1  最低字数 の次数順にする。
=(x+1)a+x−1  2乗の差=和と差の積 から、
=(x+1)a+(x+1)(x−1)  共通因数をくくると、
=(x+1)(a+x−1)
=(x+1)(x+a−1) ・・・(答)


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因数分解する3 目次

 目次 > 中学の数学総合 >

 因数分解 - 方法
 因数分解 - 共通因数
 因数分解 - 和と差の積
 因数分解 - 和・差の2乗
   


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ルートの計算2 まとめ3

ルート計算2 目次 >

ルート計算−乗法公式2
 次の式を計算してください。
1. (2+√2)−√18
2. (1/√2−2/√3)−11/6
3. (1+√5)(1−√5)+(√2+√6)
4. (√2−√5)−(1−√10)
5.   {(√7+√6)/√2}−(√7+√6)(√7−√6)
+{(√7−√6)/√2}

答 え

ルート計算−乗法公式3
 次の式を計算してください。
1. (2√3+√2)(√3−√2)
2. (√3+1)(√3−3)−9/√3
3. (√2−√3)/√2÷(3−√6)/3−(−6/√24)
4. (√12−4/√3+2/3)(√54−√18)
5. (√77+7)(√44−√28−8/√11)

答 え


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