中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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1次関数−三角形の面積

 直線の式をもとに、三角形の面積を求めてみましょう。

例題
 2直線 y=ax+b と y=bx+a の交点の y 座標が30で、2直線と y 軸で囲まれた三角形の面積が2のとき、a と b の値を求めてください。ただし、a>b とします。
(中央大杉並高)
 2直線の交点が、y=30なので、
 ax+b=30 ・・・
 bx+a=30 ・・・
 x を求める。
 櫚◆
 (a−b)x+b−a=0
 (a−b)x=a−b  a>b から、
 x=1
 А。瓠棕癲瓧械亜 ΑΑΝ
  1次関数と三角形の面積の例題
 交点(1,30)と、(0,a)、(0,b) でできる三角形の面積が2なので、
 (a−b)×1/2=2
 a−b=4 ・・・
+ぁА。横瓠瓧械粥 。瓠瓧隠
ぁА。癲瓧瓠檻粥瓧隠
(答) (a,b)=(17,13)

問題
1. 下の図のように、関数 y=18/x (x>0) のグラフ上に2点P、Qがあり、点Qの x 座標は点Pの x 座標の3倍です。また、点Pを通り y 軸に平行な直線と x 軸との交点をRとし、線分PRと線分O Qの交点をSとします。このとき、(1)(2)の問いに答えてください。
   関数と三角形の面積の問題1
(1) △O PR の面積を求めてください。
(2) △O PS の面積を求めてください。
(大分県高)


2. 下の図のように、3点 A(6,5)、B(−2,3)、C (2,1)を頂点とする△ABC があります。このとき、(1)〜(3)の問いに答えてください。
   1次関数と三角形の面積の問題2
(1) △ABC の面積を求めてください。
(2) 点Aを通り、直線BC に平行な直線の式を 求めてください。
(3) 直線O C 上に点Pをとり、△OPBと四角形O CABの面積が等しくなるようにします。このとき、点Pの座標を求めてください。ただし、点Pの x 座標は正とします。
(佐賀県高)

答 え











答 え
1.
(1)
 Pの x 座標を p とすると、Qの x 座標は3p
 y=18/x なので、
  x=p : y=18/p から、P(p,18/p)
  x=3p: y=6/p  から、Q(3p,6/p)
 △O PR=(p×18/p)/2=9 ・・・(答)
   関数と三角形の面積の問題1
(2)
 Sの y 座標を求める。
 O Qの式は、y={(6/p)/(3p)}x=(2/p)x
  x=p: y=2/p から、S(p,2/p)
 PS=PR−SR=18/p−2/p=16/p
 △O PR:△O PS=PR:PS=18/p:16/p=9:8
 △O PR=9 なので、△O PS=8 ・・・(答)

2.
(1)
 C を通り、y軸に平行な直線と、直線ABとの交点をC’とし、底辺になるC C’の長さを求める。

   1次関数と三角形の面積2解答

 ABの式 y=ax+b を求める。 A(6,5)、B(−2,3)から、
 5=6a+b   ・・・
 3=−2a+b ・・・
 櫚◆А。押瓧牽瓠 。瓠瓧院殖
◆А。癲瓧魁棕横瓠瓧魁棕院殖押瓧掘殖
 ABは、y=x/4+7/2 ・・・
 C C’は、x=2  に代入すると、
 y=1/2+7/2=4
 C’(2,4)から、C C’=4−1=3 (底辺)
 △C’BC の高さは、2−(−2)=4
 △C’AC の高さは、6−2=4
 △ABC =△C’BC+△C’AC
       =3×4/2+3×4/2=12 ・・・(答)
(2)
 BC の傾きは、(1−3)/{2−(−2)}=−1/2
 A(6,5)を通る傾き−1/2の直線のy切片を b とすると、
 5=−6/2+b  b=8
 求める直線は、y=(−1/2)x+8 ・・・(答)

(3)
 平行線と面積の定理からPは、AP//BC となるAPと、O C の交点である。
△ABC =△PBC、△BO Cは共通)
 APは、 y=(−1/2)x+8 ・・・
 O Pは、y=x/2 ・・・
きァА 檻/2+8=x/2  x=8
ァА。=8/2=4
(答) (8,4)

 


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1次関数−直線の式

 直線の式に関係する問題を解いてみましょう。はじめに、基礎知識を確認します。

斜め・縦・横、3種類の直線がある
 直線には、斜めの直線、x 軸に平行な直線、 y 軸に平行な直線,があり、次の式で表されます。グラフは直線の例です。
  斜めの直線 y=ax+b (a,bは定数、a0)
  x 軸に平行な直線 y=定数
  y 軸に平行な直線 x=定数

   3つの直線例

直線上の座標を、直線の式に代入できる。
例: y=ax が点(2、6)を通るとき、
 (x,y)=(2,6) を代入すると、
 6=2a  a=3
 直線の式は、y=3x

傾きと1点、または2点から直線の式が求まる。
例1: 傾きが2で、y 切片(0,1)を通る直線の式
 y=2x+1 ・・・(答)
例2: 傾きが3で、(1,5)を通る直線の式
 y=3x+b とおく。
 (x,y)=(1,5) を代入すると、
  5=3+b  b=2 から、
  y=3x+2 ・・・(答)
例3: 2点(ー2,4),(1,1)を通る直線の式
 y=ax+b とする。
 (x,y)=(−2,4),(1,1) を代入すると、
  4=−2a+b ・・・
  1=a+b    ・・・
 櫚◆А。魁瓠檻械瓠 。瓠瓠檻
◆А。癲瓧院檻瓠瓧
  y=−x+2 ・・・(答)

例題
 y は x に比例し、そのグラフが点(2,−6)を通ります。このとき、y を x の式で表してください。
(福島県高)
 比例の関係なので、y=ax とする。
 (x,y)=(2,−6) を代入すると、
 −6=2a  a=−3 から、
 y=−3x ・・・(答)

問題
1. 比例 y=−3x のグラフ上にある点の座標の1つが次のア〜エの中にあります。その座標はどれですか。記号で答えてください。
 ア (−3,0)  イ (−3,1)  ウ (0,−3)  エ (1,−3)
(山梨県高)


2. 1次関数のグラフが2点(−6,−3),(6、5)を通ります。この関数の式を求めてください。
(佐賀県高 改題)



3. a , b を定数とします。2つの直線 3x+ay−5=0、 x+2y+3=0 の交点の座標は (1,b) です。 a の値を求めてください。
(法政大第二高)


4. 3直線 2x+3y=4、ax+y=−1、−x+2y=5 が、1点で交わるとき、a の値を求めてください。
(桐朋高)

答 え











答 え
1.
(答) エ
 (1,−3)を代入すると、−3=−3×1 が成り立つので。

2.
 1次関数を、y=ax+b とする。
 (x,y)=(−6,−3),(6、5) を代入すると、
 −3=−6a+b ・・・
 5=6a+b    ・・・
 椨◆А。押瓧横癲 。癲瓧
◆А。僑瓠瓧機檻癲瓧粥 。瓠瓧押殖
 よって、y=(2/3)x+1 ・・・(答)

3.
 3x+ay−5=0 と
 x+2y+3=0 に、(1,b) を代入すると、
 3+ab−5=0  ab=2  ・・・
 1+2b+3=0  b=−2  ,紡綟すると、
 −2a=2  a=−1 ・・・(答)
 
4.
 3直線の交点の座標を (x,y) とすると、
 2x+3y=4  ・・・
 −x+2y=5 ・・・
 ax+y=−1 ・・・
 棕×◆А。沓=14  y=2
◆А。=2y−5=4−5=−1
 (x,y)=(−1,2) をに代入すると、
 −a+2=−1  a=3 ・・・(答)


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1次関数−グラフ

 1次関数のグラフの問題を解いてみましょう。はじめに、基礎知識を確認しましょう。

 1次関数 y=ax+b のグラフは斜めの直線です。
 a は変化の割合で、直線の傾きを表します。a>0 のとき右上がりの直線で、a<0 のとき、右下がりの直線です。
 直線と y 軸との交点を y 切片(せっぺん)といい、交点の y 座標は b です。

例: y=2x+1 のグラフは、傾きが2、y 切片が1 の右上がりの直線です。
    1次関数のグラフ例

例題
 4x+2y=5 のグラフは直線です。この直線の傾きを求めてください。
(栃木県高)
 「y= 」に式を変形する。
 2y=−4x+5
 y=−2x+5/2 から、
 傾きは、−2 ・・・(答)

問題
1. y は x の1次関数で、そのグラフが点(0,3)を通り、傾き2の直線であるとき、この1次関数の式を求めてください。
(北海道高)

2. y+1 は x−2 に比例し、x=4 のとき、y=−5 です。このとき、y を x で表してください。
(國學院大久我山高)

3. 2点(4,−7),(−3,14)を通る直線の式を求めてください。
(国立工業高専)

4. 直線 y=−4x−1 に平行であり、直線 y=3x−6 と x 軸との交点を通る直線の式を求めてください。
(日大第二高)

答 え











答 え
1.
 傾きが2、(0,3)を通るので y 切片は3 から、
 y=2x+3 ・・・(答)

2.
 比例定数を a とすると、
 y+1=a(x−2) ・・・
 (4,−5)を,紡綟すると、
  −4=2a  a=−2
 ,蓮■+1=−2(x−2)
 y=−2x+3 ・・・(答)

3.
 直線を y=ax+b とする。
 (4,−7),(−3,14)を通るので、
 −7=4a+b  ・・・
 14=−3a+b ・・・
 櫚◆А 檻横院瓧沓瓠 。瓠瓠檻
 А。癲瓠檻掘檻苅瓠瓠檻掘棕隠押瓧
よって、y=−3x+5 ・・・(答)

4.
 y=−4x−1 に平行なので、
 求める直線は、y=−4x+b と置ける。
 y=3x−6 と x 軸との交点を求める。
  y=0 から、0=3x−6  x=2
 交点(2,0)を、y=−4x+b に代入すると、
  0=−8+b  b=8
 求める直線は、y=−4x+8 ・・・(答)


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1次関数−変域

 変域の問題を解いてみましょう。関数において、変数がとりうる値の範囲を変域といいます。

例題
 1次関数 y=x+2 について、x の変域が −1≦x≦2 のとき、y の変域を求めてください。

 y=x+2 は、右上がりの直線なので、x の値が大きくなると、y の値も大きくなる。
 x=−1 のとき、y=−1+2=1
 x=2 のとき、y=2+2=4 なので、
 y の変域は、1≦y≦4 ・・・(答)

   変域例

問題
1. 関数 y=−2x−3 について、x の変域が −3≦x≦1 のとき、y の変域を求めてください。
(法政大高)

2. 関数 y=−3x+b について、x の変域が −4≦x≦2 のとき、y の変域は −8≦y≦10 です。このとき、b の値を求めてください。
(国立工業高専)

3. 1次関数 y=ax+3 について、x の変域が −1≦x≦b であるとき、y の変域が −1≦y≦4 となりました。このような a 、 b の値の組を求めてください。
(ラ・サール高)

答 え











答 え
1.
 y=−2x−3 は右下がりの直線なので、x が大きいほど、y は小さい。
 x=−3 のとき、y=3
 x=1 のとき、y=−5
(答) −5≦y≦3

2.
 y=−3x+b は右下がりの直線なので、x が大きいほど、y は小さい。
  −4≦x≦2 のとき、 −8≦y≦10  から、
 (x,y)=(−4,10),(2,−8) ← どちらかを使えば解ける。
 (−4,10) を、y=−3x+b に代入すると、
 10=12+b
 b=−2 ・・・(答)

3.
 y=ax+3 ・・・
 a が正、負によって、y の変域が異なる。
(1) a>0 のとき、右上がりの直線なので、x が大いほど、y も大きい。
 −1≦x≦b  −1≦y≦4 から、
 (x,y)=(−1,−1),(b,4) を,紡綟すると、
 −1=−a+3 ・・・
 4=ab+3   ・・・
◆А。瓠瓧
: 4=4b+3  b=1/4
(2) a<0 のとき、右下がりの直線なので、x が大いほど、y は小さい。
 (x,y)=(−1,4),(b,−1) を,紡綟すると、
 4=−a+3  ・・・
 −1=ab+3 ・・・
ぁА。瓠瓠檻
ァА 檻院瓠檻癲棕魁 。癲瓧
(答) (a,b)=(4,1/4),(−1,4)


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1次関数−式と表

 1次関数の式と表について、問題を解いてみましょう。

例題1
 次の説明で正しいものをすべて選んでください。
 y=−3x は、変化の割合が一定なので1次関数である。
 y=2/x は、1/x=X と置くと y=2X なので1次関数である。
 y=1 と x =2 のグラフはともに直線なので1次関数である。
 y=5−x は、x が増加すると y が減少するが1次関数である。
 y=2x は、y が x に比例するので1次関数である。

 正しい説明に直します。
 y=2/x は、1/x=X と置くと y=2X だが、反比例の関数である。
 y=1 と x =2 のグラフはともに斜めの直線ではないので1次関数ではない。
 y=2x は、y が x に比例するが1次関数ではない。
(答) ア、エ

例題2
 次の表は1次関数を表しています。【  】にあてはまる数を求めてください。
【 イ 】
−1 【 ア 】 15

 1次関数を y=ax+b とする。
 (x,y)=(1,−1),(6,9) を代入すると、
 −1=a+b ・・・
 9=6a+b  ・・・
◆櫚 А。隠亜瓧毅瓠 。瓠瓧
 А。癲瓠檻院檻瓠瓠檻
 1次関数は、y=2x−3
  x=3 のとき、y=3
  y=15 のとき、15=2x−3  x=9
(答) ア 3  イ 9

問題
1. 次の関数のうち、0<x の範囲において、x の値が増加すると、y の値も増加する関数をすべて選んでください。
ア y=−5x   イ y=−5/x   ウ y=x−5
エ y=−5x
(高知県高)

2. 10a+b の式で表されるものを、すべて選んでください。
 十の位が a で、一の位が b である2桁の正の整数
 分速 am で10分間歩いた道のりと、分速 bm で1分間歩いた道のりの合計(m)
 濃度10%の食塩水 ag と濃度1%の食塩水 bg を混ぜ合わせたときの水溶液に 含まれる食塩の量(g)
 10分間で acm の水が出る給水管と1分間で bcm の水が出る給水管の両方を使ったときに、1分間で出る水の量の合計
(cm
(島根県高)

3. 水が4L入っている大きな水槽に、一定の割合で水を入れます。下の表は水を入れ始めてから x 分後の、水槽の水の量を y L とするとき、x と y の関係を表したものです。この表の【  】にあてはまる数を求めてください。
10
10 【  】 24
(山口県高)

答 え











答 え
1.
 イ ウ

関数のグラフ

2.
 ア イ
 (ウ a/10+b/100)
 (エ a/10+b)

3.
 x が1増加すると、y は2増加する。
 よって、変化の割合(傾き)が2の1次関数である。
 x=0 のとき、y=4 (y 切片が4)なので、
 1次関数は、y=2x+4 
 x=7 のとき、y=2×7+4=18 ・・・(答)


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