変化の割合と傾き
変化の割合は傾きを表します。このことを、ｐ≦ｘ≦ｑ の区間で確かめてみましょう。
１次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ の場合、
変化の割合＝｛（ａｑ＋ｂ）−（ａｐ＋ｂ）｝／（ｑ−ｐ）＝ａ
となり、直線の傾き ａ と同じになり一定です。
２次関数 ｙ＝ａｘ２ の場合、
変化の割合＝（ａｑ２−ａｐ２）／（ｑ−ｐ）＝ａ（ｐ＋ｑ） です。
ａ＝１ として、変化の割合のようすを、放物線 ｙ＝ｘ２ のグラフ上で確かめてみましょう。
０≦ｘ≦１ では、変化の割合＝１（０＋１）＝１
１≦ｘ≦２ では、変化の割合＝１（１＋２）＝３
２≦ｘ≦３ では、変化の割合＝１（２＋３）＝５
放物線の場合、ｘ が増加すると、傾きが増大していますね。また、各区間の変化の割合を示す直線は、放物線のようすを表しています。
練習
１． １次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ において、（−１，２）から（４，１２）への変化の割合を求めてください。また、ａ と ｂ の値を求めてください。
２． ２次関数 ｙ＝−２ｘ２ で、２≦ｘ≦４ の変化の割合は、１≦ｘ≦２ の変化の割合の何倍ですか。
３． 関数 ｙ＝ｘ２ について、次のア〜エのうち、変化の割合が最も大きくなるものを選んでください。また、そのときの変化の割合を求めてください。
ア −２≦ｘ≦０
イ ０≦ｘ≦２
ウ ０≦ｘ≦３
エ ２≦ｘ≦３
答 え
答 え
１．
変化の割合＝（１２−２）／｛４−（−１）｝＝２
２＝−ａ＋ｂ ・・・��
１２＝４ａ＋ｂ ・・・��
�◆櫚，�ら、１０＝５ａ ａ＝２
�，�ら、ｂ＝２＋ａ＝４
（答） 変化の割合 ２ ａ＝２ ｂ＝４
２．
ｙ＝−２ｘ２ なので、
２≦ｘ≦４ では、変化の割合＝−２（２＋４）＝−１２
１≦ｘ≦２ では、変化の割合＝−２（１＋２）＝−６
−１２／（−６）＝２ （倍） ・・・（答）
３．
ｙ＝ｘ２ なので変化の割合は、
ア −２≦ｘ≦０ のとき、１（−２＋０）＝−２
イ ０≦ｘ≦２ のとき、１（０＋２）＝２
ウ ０≦ｘ≦３ のとき、１（０＋３）＝３
エ ２≦ｘ≦３ のとき、１（２＋３）＝５ （最大）
（答） エ ５
１次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ の場合、
変化の割合＝｛（ａｑ＋ｂ）−（ａｐ＋ｂ）｝／（ｑ−ｐ）＝ａ
となり、直線の傾き ａ と同じになり一定です。
２次関数 ｙ＝ａｘ２ の場合、
変化の割合＝（ａｑ２−ａｐ２）／（ｑ−ｐ）＝ａ（ｐ＋ｑ） です。
ａ＝１ として、変化の割合のようすを、放物線 ｙ＝ｘ２ のグラフ上で確かめてみましょう。
０≦ｘ≦１ では、変化の割合＝１（０＋１）＝１
１≦ｘ≦２ では、変化の割合＝１（１＋２）＝３
２≦ｘ≦３ では、変化の割合＝１（２＋３）＝５
放物線の場合、ｘ が増加すると、傾きが増大していますね。また、各区間の変化の割合を示す直線は、放物線のようすを表しています。
練習
１． １次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ において、（−１，２）から（４，１２）への変化の割合を求めてください。また、ａ と ｂ の値を求めてください。
２． ２次関数 ｙ＝−２ｘ２ で、２≦ｘ≦４ の変化の割合は、１≦ｘ≦２ の変化の割合の何倍ですか。
３． 関数 ｙ＝ｘ２ について、次のア〜エのうち、変化の割合が最も大きくなるものを選んでください。また、そのときの変化の割合を求めてください。
ア −２≦ｘ≦０
イ ０≦ｘ≦２
ウ ０≦ｘ≦３
エ ２≦ｘ≦３
| （三重県公立高 表記変更） |
答 え
１．
変化の割合＝（１２−２）／｛４−（−１）｝＝２
２＝−ａ＋ｂ ・・・��
１２＝４ａ＋ｂ ・・・��
�◆櫚，�ら、１０＝５ａ ａ＝２
�，�ら、ｂ＝２＋ａ＝４
（答） 変化の割合 ２ ａ＝２ ｂ＝４
２．
ｙ＝−２ｘ２ なので、
２≦ｘ≦４ では、変化の割合＝−２（２＋４）＝−１２
１≦ｘ≦２ では、変化の割合＝−２（１＋２）＝−６
−１２／（−６）＝２ （倍） ・・・（答）
３．
ｙ＝ｘ２ なので変化の割合は、
ア −２≦ｘ≦０ のとき、１（−２＋０）＝−２
イ ０≦ｘ≦２ のとき、１（０＋２）＝２
ウ ０≦ｘ≦３ のとき、１（０＋３）＝３
エ ２≦ｘ≦３ のとき、１（２＋３）＝５ （最大）
（答） エ ５
