中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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玉の数字

 袋の中から、数字が書かれた玉を取り出す確率を求めてみましょう。問題によって、袋の数や取り出し方が異なります。

例題
 図のように、Aの袋には1、2、3、4の数字を1つずつ記入した4個の玉が、Bの袋には5、6の数字を1つずつ記入した2個の玉がそれぞれ入っています。Aの袋から玉を1個取り出し、続けてBの袋から玉を1個取り出します。
(1) 起こりうる結果は全部で何通りありますか。
(2) 取り出した2個の玉に記入されている数の積が偶数である確率を求めてください。

   玉を取り出す確率
(岩手県高)

(1) Aから1個取り出す場合は4通りで、Bから1個取り出す場合は2通りなので、
 (A,B)の全ての並べ方は、
  N=4×2=8 (通り) ・・・(答)

(2) 積が偶数になるのは、2数の一方が偶数の場合なので、
  (A,B)並べ方は、
  (1,6)    1通り
  (2,5か6) 2通り
  (3,6)    1通り
  (4,5か6) 2通り
  n=1+2+1+2=6 (通り)
 p=n/N=6/8=3/4 ・・・(答)

練習
1. 袋の中に、1から6までの数字を1つずつ書いた玉が6個入っています。この袋から、玉を1個取り出して、その玉に書かれている数字を調べ、それを袋にもどしてから、また、玉を1個取り出して、その玉に書かれている数字を調べます。
 はじめに取り出した玉に書かれている数字を十の位の数、次に取り出した玉に書かれている数字を一の位の数として、2けたの整数をつくるとき、45以上の整数になる確率を求めてください。
(山形県高)


2. 袋の中に、1から5までの数字が1つずつ書かれた5個の玉が入っています。
 この袋の中から玉を同時に2個取り出すとき、取り出した2個の玉に書かれた数の積が、袋の中に残った3個の玉に書かれた数の和より大きくなる確率を求めてください。
(千葉県高)

答 え










答 え
1.
 2けたの数ができる全ての並べ方は、
  N=6×6=36 (通り)
 2けたの数≧45 となる並べ方は、
  (4,5か6) 2通り
  (5,1〜6) 6通り
  (6,1〜6) 6通り
  n=2+6+6=14 (通り)
 p=n/N=14/36=7/18 ・・・(答)

2.
(解答) 並べ方で解く
 取り出した玉の並べ方を (A,B) とする。
 Aは5 (通り)で、Bは 5−1=4 (通り)なので、
 (A,B)のすべての並べ方は、
  N=5×4=20 (通り)
 AB>残りの玉の和 となる並べ方は、
  2×5>1+3+4  5×2>1+3+4
  3×4>1+2+5  4×3>1+2+5
  3×5>1+2+4  3×5>1+2+4
  4×5>1+2+3  5×4>1+2+3
  n=8 (通り)
 p=n/N=8/20=2/5 ・・・(答)

(別解) 組合せで解く
 取り出した玉の組合せを {A,B} とする。
 並べ方は、Aは5 (通り)で、Bは 5−1=4 (通り)から、
 全ての並べ方は、5×4=20(通り)
 全ての組合せは、20通りのうち、前後を入れかえた2通りが重複するので、
  N=20/2=10 (通り)
 AB>残りの玉の和 となる組合せは、
  {2,5}{3,4}{3,5}{4,5} 4通り
 p=n/N=4/10=2/5 ・・・(答)

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玉の色

確率を求める >

 袋の中から玉を取り出す確率を求めてみましょう。玉を区別するため、記号をつけて確率を考えます。

例題
 箱の中に、赤玉2個と白玉3個が入っています。1個の玉を取り出すとき、赤玉になる確率を求めてください。

 玉に番号をつけ、赤玉を´、白玉をきイ箸靴泙后
 赤玉1個が取り出される場合は、
  なので、n=2 (通り)
 玉が1個取り出される全ての場合は、
  かかいイ覆里如■痢瓧 (通り)
 p=n/N=2/5 ・・・(答)

練習
1. 袋の中に、赤玉2個と白玉2個が入っています。この袋の中から、同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めてください。
(富山県高)

2. 袋の中に、1,2,3の数字が1つずつ書かれた3個の赤玉と、1,2の数字が1つずつ書かれた2個の白玉が入っています。この袋から玉を1個取り出して色と数字を調べ、それを袋にもどしてから、また、玉を1個取り出すとき、次の確率を求めてください。
(1) 白玉、赤玉の順に出る確率
(2) 取り出された玉に書かれた数字の和が4である確率
(愛媛県高)
答 え










答 え
1.
(解答1) 並べ方で解く
 赤玉2個の並べ方は、
  () () n=2 (通り)
 2個の全ての並べ方は、
  (かかぁ法。劃未
  (かかぁ法。劃未
  (,か△ぁ法。劃未
  (ぁか) 3通り
  N=3×4=12 (通り) (注)
 p=n/N=2/12=1/6 ・・・(答)
(注) 2個の全ての並べ方は、
 1個目は4通りで、2個目は3通りなので、
  4×3=12 (通)と計算できる。


(解答2) 組合せで解く
 赤玉を´、白玉をい箸垢襦
 赤玉が2個が取り出す組合せは、
  {} n=1(通り)
 2個取り出す全ての組合せは、
  {} {,} {,ぁ僉。劃未
  {,} {,ぁ僉       2通り
  {,ぁ僉             。営未
  N=3+2;1=6 (通り)
 p=n/N=1/6 ・・・(答)

(参考) 場合: 組合せと並べ方
 組合せ{1,2}を並べると、(1,2)(2,1)になる。
組合せ 並べ方
別表現 取り出し方、選び方 順列
操作 取り出す 並べる
違い  組に順序あり
場合 {1,2} 1通り (1,2)(2,1) 2通り

2.
(1)
 赤玉を´↓、白玉を´△箸垢襦
 1回目が,△如■臆麑椶の並べ方は、
  n=2×3=6 (通り)
 2回取り出す全ての並べ方は、
  N=5×5=25 (通り)
 p=n/N=6/25 ・・・(答)

(2) 
 2数の和が4になる並べ方は、
  ´ ↓、↓
  n=8 (通り)
 全ての並べ方は、
   N=5×5=25 (通り)
 p=n/N=8/25 ・・・(答)

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さいころと自然数

確率を求める >

 さいころの目が自然数になる確率を求めます。はじめに用語を確認しましょう。
自然数  1,2,3,…
素数  2,3,5,7,11,…
整数  0,±1,±2,±3,…
偶数  0,±2,±4,…
奇数  ±1,±3,±5,…

例題
 大小2個のさいころA,Bを同時に投げ、Aのさいころの出た目を a 、Bののさいころの出た目を b とします。このとき、b/a の値が整数となる確率を求めてください。
(鳥取県高)
 b/a が自然数になる場合を求める。
  b=1: a=1       1通り
  b=2: a=1,2     2通り
  b=3: a=1,3     2通り
  b=4: a=1,2,4   3通り
  b=5: a=1,5     2通り
  b=6: a=1,2,3,6 4通り
  n=1+2×3+3+4=14 (通り)
 表から、b/a が自然数になる場合は、n=14(通り)
 目が出る全ての場合は、N=6×6=36(通り)
 p=n/N=14/36=7/18 ・・・(答)

練習
1. さいころを2回投げ、1回目に出る目の数を x 、2回目に出る目の数を y とするとき、 y/x が整数となる確率を求めてください。
(都立西高)

2. さいころA,Bを同時に投げるとき、出る目の数の和が8以上の偶数になる確率を求めてください。
(福岡県高)

3. 大小2つのさいころを同時に投げたとき、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とします。このとき、
(ab) の値が自然数となる確率を求めてください。
(新潟県高)
答 え










答 え
1.
 y/x が整数になる場合を求める。
  y=1:  x=1         1通り
  y=4:  x=1,2,4     3通り
  y=9:  x=1,3       2通り
  y=16: x=1,2,4     3通り
  y=25: x=1,5       2通り
  y=36: x=1,2,3,4,6 5通り
  n=1+2×2+3×2+5=16 (通り)
 目が出る全ての場合は、N=6×6=36(通り)
 p=n/N=16/36=4/9 ・・・(答)

2.
 さいころの目をA、Bとする。
 1≦A≦6、1≦B≦6 から、2≦A+B≦12
 A+Bは8以上の偶数なので、
 A+B=8,10,12 となる場合を求める。
  A=2: B=6     1通り
  A=3: B=5     1通り
  A=4: B=4,6   2通り
  A=5: B=3,5   2通り
  A=6: B=2,4,6 3通り
  n=1+1+2+2+3=9 (通り)
 目が出る全ての場合は、N=6×6=36(通り)
 p=n/N=9/36=1/4 ・・・(答)

3.
 1≦a≦6、1≦b≦6 から、1≦ab≦36
 ab=1,4,9,16,25,36 のとき、(ab)は自然数になる。
  a=1: b=1,4 2通り
  a=2: b=2   1通り
  a=3: b=3   1通り
  a=4: b=1、4 2通り
  a=5: b=5   1通り
  a=6: b=6   1通り
  n=2×2+4=8 (通り)
 目が出る全ての場合は、N=6×6=36(通り)
 p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)

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さいころと素数

確率を求める >

 さいころの目が素数になる確率を求めてみましょう。

 素数は、1とその数以外では割り切れない2以上の自然数です。2は素数です。1か2でしか割り切れないからです。4は素数ではありません。2で割り切れるからです。

 素数 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23 …

例題
 大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とします。 2a+b が素数となる確率を求めてください。
(都立日比谷高)
 2≦2a≦12、1≦b≦6 から、3≦2a+b≦18
 3から18の中で素数は、3,5,7,11,13,17
 2a+b がこれらの素数になる場合を求める。
  2a=2 : b=1,3,5 3通り
  2a=4 : b=1,3,  2通り
  2a=6 : b=1,5   2通り
  2a=8 : b=3,5   2通り
  2a=10: b=1,3   2通り
  2a=12: b=1,5   2通り
  n=3+2×5=13 (通り)
 目が出る全ての場合は、
  N=6×6=36 (通り)
 p=n/N=13/36 ・・・(答)

練習
1. 大小2つのサイコロを同時に投げます。、大きいさいころの出た目の数を十の位の数とし、小さいさいころの出た目の数を一の位の数として、2けた数をつくります。
 この2けたの数が素数となる確率を求めてください。
(都立産業技術高専)

2. 1から20までの自然数のうち、すべての素数を小さいほうから順に並べて、最初の6つの数字をそれぞれ6つの面に1つずつ書いた大小2つの立方体があります。この2つの立方体を同時に1回投げるとき、出る目の数の和が素数になる確率を求めてください。
 ただし、この2つの立方体はともに、どの目が出ることも同様に確からしいものとします。
(都立白鴎高)
答 え










答 え
1.
 10≦10a≦60、1≦b≦6 から、11≦10a+b≦66
 11から66の中で素数は、
  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,
  31,37,41,43,47,53,59,61
 10a+b がこれらの素数になる場合を求める。
  10a=10 b=1,3 2通り
  10a=20 b=3   1通り
  10a=30 b=1   1通り
  10a=40 b=1,3 2通り
  10a=50 b=3   1通り
  10a=60 b=1   1通り
  n=2×2+4=8 (通り)
 目が出る全ての場合は、
  N=6×6=36 (通り)
 p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)

2.
 1から20までの中で素数は、2,3,5,7,11,13,17,19
  このうち、小さいほうから6個は、2,3,5,7,11,13
 大きい立方体の目を a 、小さい立方体の目を b とすると、
  2≦a≦13、2≦b≦13 から、4≦a+b≦26
  このうち素数は、5,7,11,13,17,19,23
 a+b がこれらの素数になる場合を求める。
  a=2 : b=3,5,11 3通り
  a=3 : b=2      1通り
  a=5 : b=2      1通り
  a=7 : b なし
  a=11: b=2      1通り
  a=13: b なし
  n=3+3=6 (通り)
 目が出る全ての場合は、
  N=6×6=36 (通り)
 p=n/N=6/36=1/6 ・・・(答)

(参考) 素数を求める

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さいころと約数

確率を求める >

 さいころの目が、ある数の約数になる確率を求めてみましょう。

 ある数を割り切ることができる数を約数といいます。例えば、6の正の約数は、1,2,3,6 です。6=1××3 だからです。

例題
 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が6の約数となる確率を求めてください。

 目が出る全ての場合は、N=6×6=36 (通り)
 6の約数は、1,2,3,6
 目の和が6の約数になる場合を、(大,小){大,小}で表すと、
  (1,1){1,2}{1,5} 5通り
  {2,4} 2通り
  (3,3) 1通り
  n=5+2+1=8 (通り)
 p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)

(参考) 大小2つのさいころ
 問題文に、大小2つのさいころと書かれているのは、さいころを区別するためです。さいころAと、さいころBでもかまいません。区別することによって、(大,小)の並べ方を数えることができます。

練習
1. 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が45の約数となる確率を求めてください。
(都立武蔵高)

2. 大小2つのさいころを同時に投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、 a が b の約数である確率を求めてください。 
(都立隅田川高)
答 え











答 え
1.
 目が出る全ての場合は、N=6×6=36 (通り)
 45=1×××5 なので、
 45の約数は、1,3,5,9,15,45
 目の積が4の約数となる場合は、
  (1,1){1,3}{1,5} 5通り
  (3,3){3,5} 3通り
  n=5+3=8 (通り)
 p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)

2.
 目が出る全ての場合は、N=6×6=36(通り)
 a がb の約数になる場合の並べ方を(b,a)とすると、
  (1,1)         1通り
  (2,1か2)      2通り
  (3,1か3)      2通り
  (4,1か2か4)    3通り
  (5,1か5)      2通り
  (6,1か2か3か6) 4通り
  n=1+2+2+3+2+4=14 (通り)
 p=n/N=14/36=7/18 ・・・(答)

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