中学から数学だいすき!

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2次方程式−解の公式

方程式を解く2 目次 >

 解の公式で2次方程式を解いてみましょう。はじめに、解の公式を導きます。

例題1

 2次方程式 ax+bx+c=0 (a≠0) を、平方完成で解いてください。

 ax+bx=−c  でわる。
 x+(b/a)x=−c/a  {(b/a)/2} をたす。
 x+(b/a)x+{(b/a)/2}={(b/a)/2}−c/a
 {x+b/(2a)}=b/(2a)−4ac/(2a)
 {x+b/(2a)}=(b−4ac)/(2a)
 x+b/(2a)={±(b−4ac)}/2a
 x={−b±(b−4ac)}/2a ・・・(答)

 x= の式を、解の公式といいます。

  解の公式
 解の公式の覚え方

例題2
 4x−5x−1=0 を解いてください。
(京都府高)
 解の公式で、a=4、b=−5、c=−1 から、
 x={5±(25+16)}/8
  =(5±41)/8 ・・・(答)

練習
 次の方程式を解いてください。
1. x+5x+2=0
(東京都高)
2. 2x−5x−1=0
(神奈川県高)
3. (x+3)(x−5)=5x−24
(愛知県高)
4. (x−1)(x+1)=−2(x−2)(3x−1)=0
(都立高)
5. 2(x−3)+6(x−3)+3=0
(秋田県高 改題)

答 え










答 え

 解の公式
1.
 x+5x+2=0
 解の公式で、a=1、b=5、c=2
 x={−5±(25−8)}/2
  =(−5±17)/2 ・・・(答)
2.
 2x−5x−1=0
 a=2、b=−5、c=−1
 x={5±(25+8)}/4
  =(5±33)/4 ・・・(答)
3.
 (x+3)(x−5)=5x−24
 x−2x−15=5x−24  右辺を移項する。
 x−7x+9=0
 x={7±(49−36)}/2
  =(7±13)/2 ・・・(答)
4.
 (x−1)(x+1)=−2(x−2)(3x−1)
 x−1=(4−2x)(3x−1)
 x−1=12x−4−6x+2x  右辺を移項する。
 7x−14x+3=0
 x={14±(14−84)}/14
  =(14±112)/14  112=16×7 から、
  =(14±47)/14  約分する。
  =(7±27)/7 ・・・(答)
5.
 2(x−3)+6(x−3)+3=0  −3=とする。
 2a+6a+3=0
 a={−6±(36−24)}/4
  =(−6±12)/4  12=4×3 から、
  =(−3±3)/2  をもどす。
 x−3=(−3±3)/2
 x=(3±3)/2 ・・・(答)


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2次方程式−平方完成

方程式を解く2 目次 >

 平方完成で2次方程式を解いてみましょう。

 x+ax に、a の半分の2乗を加え、(x+a/2) の形にすることを平方完成といいます。

 因数分解が困難なときに、平方完成で解くことができます。

例題1 x−4x−1=0 を解いてください。

 x−4x=1  4の半分の2乗を両辺にたす。
 x−4x+4=1+4
 (x−2)=5
 x−2=±
 x=2±5 ・・・(答)

例題2 x+2x−143=0 を解いてください。

 x+2x=143  2の半分の2乗を両辺にたす。
 x+2x+1=143+1
 (x+1)=144
 x+1=±12
 x=−13,11 ・・・(答)

練習
 次の方程式を平方完成で解いてください。
1. (x−1)−3=0
(福井県高)
2. x+8x+6=0
(茨木県高)
3. (x−3)=4x
(法政第二高)
4. x−x−3=0
(長崎県高)
5. x−20x−629=0

答 え










答 え
1.
 (x−1)−3=0  平方完成されているので、3を移項する。
 (x−1)=3
 x−1=±
 x=1±3 ・・・(答)

2.
 x+8x+6=0
 x+8x=−6  8の半分の2乗をたす。
 x+8x+16=16−6
 (x+4)=10
 x+4=±10
 x=−4±10 ・・・(答)

3.
 (x−3)=4x
 x−3=±2x
 x±2x=3
 −x=3,3x=3
 x=−3,1 ・・・(答)
(参考) 2乗の差=和と差の積 で解く
 4x−(x−3)=0
 (2x+x−3)(2x−x+3)=0
 (3x−3)(−x+3)=0
 x=−3,1 ・・・(答)

4.
 x−x−3=0
 x−x=3  の係数1の半分の2乗をたす。
 x−x+1/4=3+1/4
 (x−1/2)=13/4
 x−1/2=±13/2
 x=(1±13)/2 ・・・(答)

5.
 x−20x−629=0
 x−20x=629  20の半分の2乗をたす。
 x−20x+100=629+100
 (x−10)=729
 (x−10)=±27
 x=10±27
 x=−17,37 ・・・(答)


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2次方程式−因数分解

方程式を解く2 目次 >

 因数分解で2次方程式を解いてみましょう。

 2次方程式の解法で、よく使われる因数分解を示します。
 共通因数をくくる   x−2x=x(x−2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2x+1=(x+1)
 x−6x+3=(x−3)
 係数を分解する  係数で因数分解

例題1
 2次方程式 x+8x+16=0 を解いてください。
(徳島県高)
 x+8x+4=0
 (x+4)=0
 x=−4 ・・・(答)

例題2
 2次方程式 x−4x−21=0 を解いてください。
(富山県高)
 3×(−7)=−21  3−7=−4 から、
  x−4x−21=(x+3)(x−7)=0
 x=−3,7 ・・・(答)
×    3  3
 −7 −7
積1 積−21 和−4

練習
 次の方程式を解いてください。
1. x−2x−35=0
(岩手県高)
2. (x+2)(x−2)=x+8
(愛知県高)
3. 6x−x−2=0
(大阪教育大附属高平野)
4. (x+3)−10(x+3)+9=0
(都立産業技術高専)
5. (x+2)(x−3)=(3/2)(x−5)
(広島大附属高)

答 え










答 え
1.
 x−2x−35=0  5×(−7)=−35  5−7=−2
 (x+5)(x−7)=0
 x=−5,7 ・・・(答)
×    5   5
 −7 −7
積1 積−35
和−2

2.
 (x+2)(x−2)=x+8  和と差の積=2乗の差 から、
 x−4=x+8
 x−xー12=0  3×(−4)=−12  3−4=−1
 (x+3)(x−4)=0
 x=−3,4 ・・・(答)
×  3  3
−4 −4
積1 積−12 和−1

3.
 6x−x−2=0
 (2x+1)(3x−2)=0
 x=−1/2,2/3 ・・・(答)
×    1    3
 −2  −4
積6 積−2
和 −1

4.
 (x+3)−10(x+3)+9=0  +3= とする。
 a−10a+9=0
 (a−1)(a−9)=0   をもどす.。
 (x+3−1)(x+3−9)=0
 x=−2,6 ・・・(答)

5.
 (x+2)(x−3)=(3/2)(x−5)  2をかける。
 2(x−x−6)=3(x−5)
 2x−2x−12=3x−15  右辺に移項する。
 0=x+2x−3
 (x+3)(x−1)=0
 x=−3,1 ・・・(答)


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2次方程式−解法

方程式を解く2 目次 >

 x+2x−3=0 のような x の式を、2次方程式といいます。
 
 2次方程式の解き方には、因数分解平方完成解の公式で解く、があります。

例題
 2次方程式 x+2x−3=0 を解いてください。

 因数分解で解く
  (x+3)(x−1)=0
  x=−3,1 ・・・(答)  x=−3 または 1を表す。
 
 平方完成で解く
  x+2x−3=0  2の半分の2乗を両辺にたす。
  (x+2x+1)−3=1
  (x+1)=4  左辺が (+1) の平方になる。
  x+1=±2  プラスマイナス 2 と読む。 2 または−2 の意味。
  x=−3,1 ・・・(答)

 解の公式で解く
  2次方程式の解の公式
  x+2x−3=0
  a=1 , b=2 , c=−3 から、
  x={−2±(4+12)}/2
   =(−2±4)/2=−1±2
  x=−3,1 ・・・(答)  を小から大に並べる。

練習
 次の方程式を解いてください。
1. x−4x=0
(青森県高)
2. (x−3)(x+8)=0
(北海道高)
3. (x+4)−5=0
(埼玉県高)
4. x+3x−4=0
(佐賀県高)
5. x−x−3=0
(I石川県高)

答 え










答 え
1.
 x+4x=0  因数分解する。
 x(x+4)=0  x=0 または、=−4 のとき、右辺=0
 x=−4,0 ・・・(答)  x を小から大に並べる。

2.
 (x−3)(x+8)=0
 x=−8,3 ・・・(答)

3.
 (x+4)−5=0
 (x+4)=5   の形にすることを平方完成という。
 x+4=±
 x=−4±5 ・・・(答)  「マイナス4プラスマイナス ルート5」

4.
 x+3x−4=0  因数分解する。
 (x+4)(x−1)=0
 x=−4,1 ・・・(答)
×  4  4
−1 −1
積1 積−4 和 3

5.
 x−x−3=0  解の公式で解く。
 2次方程式の解の公式
 a=1 , b=−1 , c=−3 から、 
 x={1±(1+12)}/2
  =(1±13)/2 ・・・(答)

(参考)
 x−x−3=0 は、^数分解では解けず、∧進完成では、解く過程で分数がでてきて複雑です。
 理由:
  積が−3、和が−1になる整数の組はないので。
  x の係数1が偶数でないので。
   x−x−3=0  1の半分の2乗をたす。
   x−x+(1/2)=3+(1/2)
   (x−1/2)=13/4
   x−1/2=±13/2
   x=(1±13)/2 ・・・(答)


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1次方程式−等式の変形

方程式を解く2 目次 >

 等式の特定の文字について、1次方程式のように解いてみましょう。

例題
 4x−3y=15 を y について解いてください。
(千葉県高)
 y の1次方程式とみなし、y を求めます。
 4x−3y=15   を右辺に、15 を左辺に移項する。
 4x−15=3y  両辺を 3 でわる。
 y=(4x−15)/3 ・・・(答)

練習
 次の式を、(  )内の文字について解いてください。
1. S=ah/2    ( h )
(鳥取県高)
2. L=2(a+b)   ( b )
(埼玉県高)
3. 2a+3b=6c   ( b )
(島根県高)
4. y=(x−7)/5  ( x )
(栃木県高)
5. A(x−a)=B(b−x)  ( x )

答 え










答 え
1.
 S=ah/2  両辺を2倍する。
 2S=ah  両辺を でわる。
 h=2S/a ・・・(答)

2.
 L=2(a+b)  両辺を 2 でわる。
 L/2=a+b   を移項する。
 b=L/2−a ・・・(答)

3.
 2a+3b=6c   を移項する。
 3b=6c−2a  両辺を 3 でわる。
 b=(6c−2a)/3 ・・・(答)

4.
 y=(x−7)/5  両辺を 5 倍する
 5y=x−7  7 を移項する。
 x=5y+7 ・・・(答)

5.
 A(x−a)=B(b−x)  分配法則から、
 Ax−Aa=Bb−Bx  BxAa を移項する。
 Ax+Bx=Aa+Bb  結合法則から、
 (A+B)x=Aa+Bb
 x=(Aa+Bb)/(A+B) ・・・(答)

(参考)
 x=(Aa+Bb)/(A+B) は加重平均の式です。
 シーソーの支点の位置、値段の平均値、食塩水の混合濃度などの計算で使われます。


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