中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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規則性 - 行と列3

規則性 >

 隣接する4つの数字について、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の表は、自然数を規則的に並べたものです。
1列目 2列目 3列目 4列目
1行目
2行目
3行目 12
4行目 12 16
(1) 4は1行目の4列目の位置、2行目の2列目の位置、4行目の1列目の位置にあります。10は何か所にあるか求めてください。
(2) 3行目にある数のうち、横に連続して並んだ3つの数の和が144になるものがあります。この3つの数の中で最も小さい数を求めてください。
(3) 四角枠の4つの数 について考えます。
12
 (6+12)−(9+8) のように、上の数と右下の数の和から、右上の数と左下の数の和をひきます。このとき、その差は、四角枠がどの位置にあっても 1 になります。このことを証明してください。
 なお、左上の数が a 行目、b 列目の位置にあるとき、その数の値は ab であることを用いてください。 
(石川県高 問題要約)

2. 下の表は、1段目に、1から20までの自然数を、2段目に、1から20までの自然数を2乗した数を、それぞれ小さい順にかいたものの一部です。
20
16 25 36 400
← 1段目
← 2段目
 この表において、 のように並んだ4つの組の数を、
とします。
 4つの数、x,a,b,c の和が 242 となるとき、x の値を求めてください。
(山口県高)
答 え











答 え
1.
(1) 各行は、1の倍数、2の倍数、3の倍数、… となっている。
 10があるのは、
 1行目:  1×10(列目)−10
 2行目:  2× 5(列目)=10
 5行目:  5× 2(列目)=10
10行目: 10× 1(列目)=10
 よって、10があるのは、4か所 ・・・(答)

(2) 3行目の n 列目の数は、3n なので、
 最小の数を 3n とする。
 連続する3つの数の和は、
  3n+3(n+1)+3(n+2)=144  3で割ると、
  n+n+1+n+2=48
  3n=45 ・・・(答)

(3) 上の数は、ab
 右下の数は、(a+1)(b+1)
 右上の数は、a(b+1)
 左下の数は、(a+1)b
 上の数と右下の数の和から、右上の数と左下の数の和をひくと、
 {ab+(a+1)(b+1)}−{a(b+1)+(a+1)b}
=(2ab+a+b+1)−(2ab+a+b)=1

2.
 a,b,c を x で表す。
  a=x+1
  b=x
  c=(x+1)
 x+a+b+c=242
 x+(x+1)+x+(x+1)=242
 2x+1+2x+2x+1=242
 2x+4x+2=242
 x+2x+1=121
 (x+1)=121
 x+1>0 から、x+1=11  x=10 ・・・ (答)


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規則性 - 行と列2

規則性 >

 数字の並びについて、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の図のように、自然数を1から順に横に7個ずつ並べました。
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 29 30
(1) 4つの数 について考えます。
 2番目に小さな数と、3番目に小さな数の積から、1番小さな数と1番大きな数の積をひいた差は、35であることを証明してください。
 例: a=4、b=9、c=11、d=16 のとき、bc−ad=35
(2) 5つの数 について考えます。
 a、b、c、d、e について、どのような場合でも成り立つ関係のうち、次の条件を満たす等式を1つ求めてください。
条件
  a、b、c、d、e をすべて使った等式である。
  a、b、c、d、e をそれぞれ1回ずつ使った等式である。
(大分県高 問題要約)

2. 下の図のように、連続する自然数をある規則にしたがって、1番目、2番目、… と並べていきます。
 このとき、3番目の右上すみにある数は16、左下すみにある数は10となっています。
1番目 2番目 3番目
16
15  …
14
10 11 12 13
(1) 4番目の右上すみにある数を答えてください。
(2) n 番目の右上すみにある数を、n を用いて表してください。
(3) 右上すみにある数と左下すみにある数の和が 146 となるのは何番目ですか。
(群馬県高)
答 え











答 え
1.
(1) 
 1番小さな数が a のとき、
 2番目に小さな数は、b=a+5
 3番目に小さな数は、c=b+2=a+7
 1番大きな数は、   d=c+5=a+12
 bc−ad=(a+5)(a+7)−a(a+12)
      =a+12a+35−(a+12a)
      =35
(2)
 1番小さな数が a のとき、
  b=a+5
  c=b+1=a+6
  d=c+1=a+7
  e=d+5=a+12
 a〜e を上下左右にあてはめる。
b=
a+5
c=
a+6
d=
a+7
e=
a+12
 中央の数は、上下の数の平均になっている。
。また、左右の数の平均になっているので、
  c=(a+e)/2
  c=(b+d)/2
 2式をたすと、
  2c=(a+b+d+e)/2
  a+b+d+e=4c ・・・(答)

2.
(1) 4番目は、左下すみが( 16+1)=(4+1)=17 なので、
 右上すみは、左に4つ、上に4つ移るので、
 17+4×2=25 ・・・(答)

(2) (n+1)

n番目
右上すみ 16 25 (n+1)

(3) (n−1)番目の右上すみは、n なので、
 n 番目の左下すみは、n+1
 n 番目の右上すみは、(n+1)
 左下すみの数と右上すみの数の和が146から、
  n+1+(n+1)=146
  2n+2n+2=146
  n+n−72=0
  (n+9)(n−8)=0
  n>0 から、n=8 (番目) ・・・(答)

(別解)
n番目
右上すみ 16 25 (n+1)
左下すみ 10 17
すみの和S 14 26 42 2次関数
Sの差1 8  12 16   1次関数
Sの差2 4  4    定数

 すみの和は2次関数なので、、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(1,6)、(2,14)、(3,26) を代入する。
  6=a+b+c   ・・・
 14=4a+2b+c ・・・
 26=9a+3b+c ・・・
◆櫚 А 。検瓧械瓠棕
−◆А。隠押瓧毅瓠棕
2式の差: 4=2a  a=2
 8=3a+b  b=2
 А。供瓧押棕押棕磧 。磧瓧
 よって、S=2n+2n+2=146
 n+n−72=0
 (n+9)(n−8)=0
 n>0 から、n=8 (番目) ・・・(答)


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規則性 - 行と列1

規則性 >

 行と列からなる数字の並びについて、規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 次のカレンダーで、縦、横に2つずつ並んでいる
 4つの数の組 について考えます。 では、
12 13
 a=5、b=6、c=12、d=13 です。
10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
 このような4つの数の組 をどこに選んでも、
 bc−ad の値はいつも7になることを、文字式を用いて証明してください。 
(奈良県高)
(解答)
 翌日は+1、翌週は+7 となっているので、
  b=a+1
  c=a+7
  d=c+1=a+8
 bc−ad=(a+1)(a+7)-a(a+8)
      =a+8a+7−(a+8a)
      =7
 よって、bc−ad の値はいつも7になる。

練習
1. 下の図は、あるクラスの座席を出席番号で表したものです。
教卓
26 21 16 11
27 22 17 12
28 23 18 13
29 24 19 14
30 25 20 15 10
 この図中のような4つの数の組 について考えます。、
 このとき、bc−ad の値はつねに5になることを、a を用いて証明してください。
(栃木県高)
2. 下の表は、小学校で学習したかけ算九九の表です、
かける数






10 12 14 16 18
12 15 18 21 24 27
12 16 20 24 28 32 36
10 15 20 25 30 35 40 45
12 18 24 30 36 42 48 54
14 21 28 35 42 49 56 63
16 24 32 40 48 56 64 72
18 27 36 45 54 63 72 81
 優花さんは表中の3つの数の、12,20、30 について、次のことに気がつきました。
 12+30=20×2+2 
  (左上の数+右下の数=中央の数×2+2)
 かけられる数を a、かける数を b とすると、中央の数は ab です。
 優花さんが気がついたことを証明してください。
(広島県高 問題要約)
答 え











答 え
1.
 下の数字は+1、左の数字は+5 なので、
  b=a+1
  c=a+5
  d=c+1=a+6
 bc−ad=(a+1)(a+5)−a(a+6)
      =a+6a+5−(a+6a)
      =5
 よって、bc−ad の値はつねに5になる。

2.
  中央の数は、ab
  左上の数は、(a−1)(b−1)
  右下の数は、(a+1)(b+1) なので、
 左上の数+右下の数
=(a−1)(b−1)+(a+1)(b+1)
=2ab+2
 よって、左上の数+右下の数=中央の数×2+2


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規則性 - 累乗の和

規則性 >

 1+2+3+… や、1+2+3+… など、累乗の和を求める規則性の問題を解いてみましょう。

 例えば下の図で、球の総数は累乗の和になっています。
規則性 累乗の和

 図の左から順に、累乗の和は積の式で表すことができます規則性 - 変化の割合3
 S=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
 S=1+2+3+…+n=n(n+1)(2n+1)/6
 S=1+2+3+…+n={n(n+1)/2}

 1乗の和は2次関数、2乗の和は3次関数、3乗の和は4次関数です。それぞれ、曲線のグラフになります。

グラフ 累乗の和

練習
1. 下の図のように、れんが積まれています。1段目は1個、2段目は3個、3段目は5個と続きます。

    奇数の和

(1) n 段目までのれんがの総数をSとするとき、Sを n の式で表してください。
(2) れんがの総数が576になるのは、何段目ですか。

2、 下の図のように球が積まれています。

   2乗の和の問題

(1) 5段目まで積むと、球の総数は何個になりますか。
(2) 何段目まで積むと、球の総数が204個になりますか。

3. S=1+2+3+…+n={n(n+1)/2} とします。Sが784のときの n の値を求めてください。

答 え











答 え
1.
(1)
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
16 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 (n,S)の表から、S=n ・・・(答)

(別解1) 変化の割合で解く
 表から、Sは2次関数なので、
 S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,4) を代入すると、
 0=c
 1=a+b   ・・・
 4=4a+2b ・・・
◆櫚 滷押А。押瓧横瓠 。瓠瓧
 А。院瓧院棕癲 。癲瓧
 よって、S=n ・・・(答)

(別解2) 数の和で解く
 n 段目は奇数で、(2n−1) 個なので、
 S=1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1) 逆にする。
 S=(2n−1)+(2n−2)+…+5+3+1 2式をたす。
2S=2n×n
 S=n ・・・(答)

(別解3) 図で解く
 1+3+5+7 は、下の図と同じ(同型性)なので、
  奇数の和の図   S=n ・・・(答)

(2) S=n=576  
 576=4×144=(2×12)
 n>0 から、n=24 (段目) ・・・(答)

2.
(1)
 1+2+3+4+5
=1+4+9+16+25=55 (個) ・・・(答)
(2)
 55+6=91
 91+7=140
 140+8=204
(答) 8段目

3.
 S=1+2+3+…+n={n(n+1)/2}
 A=n(n+1)/2 とする。
 A=784  784=4×196=(2×14)
 A>0 から、A=784=28
 n(n+1)/2=28
 n+n−56=0
 (n+8)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 ・・・(答)


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規則性 - 変化の割合3

規則性 >

 変化の割合を利用して、累乗の和を求めてみましょう。
規則性 累乗の和
例題
 S=1+2+3+…+n とします。
(1) Sを n の式で表してください。
(2) Sが300 のとき、nの値求めてください。

(1) S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求めます。
10 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 表から、Sは2次関数で、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,3) を代入すると、
  0=c
  1=a+b+c   ・・・
  3=4a+2b+c ・・・
 b を消去する。
◆櫚 滷押А。院瓧横瓠 a=1/2
 А。院瓧/2+b  b=1/2
 よって、
 S=n/2+n/2=n(n+1)/2 ・・・(答)

(2) n(n+1)/2=300
 n+n−600=0   600=5×5×24 から、
 (n+25)(n−24)=0
 n>0 から、n=24 ・・・(答)

練習
 S=1+2+3+…+n とします。Sを n で表してください。

答 え











答 え
 S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
14 30 55 3次関数
差1  1  916  25 2次関数
差2 22227  9 1次関数
差3 2  2  2 定数
 表から、Sは3次関数で、
 S=an+bn+cn+d とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,5)、(3,14)
 を代入すると、
  0=d
  1=a+b+c+d      ・・・
  5=8a+4b+2c+d   ・・・
 14=27a+9b+3c+d  ・・・
 c を消去する。
◆櫚 滷押А 。魁瓧僑瓠棕横癲  ΑΑΝ
− 滷魁А。隠院瓧横苅瓠棕僑癲 ΑΑΝ
 b を消去する。
ァ櫚ぁ滷魁А 。押瓧僑瓠 a=1/3
ぁА。魁瓧押棕横癲 b=1/2
 А。院瓧/2+1/3+c  6倍する。
   6=3+2+6c  c=1/6
 よって、
 S=an+bn+cn+d
  =n/3+n/2+n/6  6倍する。
 6S=2n+3n+n
   =n(2n+3n+1)
   =n(n+1)(2n+1)
 S=n(n+1)(2n+1)/6 ・・・(答)

(参考) 累乗の和
 1+2+3+…+n=n(n+1)/2
 1+2+3+…+n=n(n+1)(2n+1)/6
 1+2+3+…+n={n(n+1)/2}  ()

() S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
36 100 225 4次関数
差1 1   8  @2764125 3次関数
差2 22192237  61 2次関数
差3 12  18  24 1次関数
差3 6  6 定数
 表から、Sは4次関数で、
 S=an+bn+cn+dn+e とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,9)、(3,36)、(4,100)
 を代入すると、
  0=e
  1=   a+   b+  c+ d+e ・・・
  9= 16a+  8b+ 4c+2d+e ・・・
 36= 81a+ 27b+ 9c+3d+e ・・・
100=256a+ 64b+16c+4d+e ・・・
 d を消去する。
- 滷押А 。掘瓧隠苅瓠棔 。僑癲棕横磧  ΑΑΝ
- 滷魁А。械魁瓧沓牽瓠棔。横苅癲棕僑磧  ΑΑΝ
- 滷粥А。坑供瓧横毅横瓠棕僑娃癲棕隠横磧 ΑΑΝ
 c を消去する。
-ァ滷魁А。隠押瓧械僑瓠棕僑癲  ΑΑΝ
-Α滷押А。械亜瓧坑僑瓠棕隠横癲 ΑΑΝ
 b を消去する。
-─滷押А。供瓧横苅瓠 a=1/4
─А。隠押瓧后棕僑癲 b=1/2
ァА 。掘瓧/2+3+2c  2倍する。
   14=7+6+4c  c=1/4
 А。院瓧/4+1/2+1/4+d  d=0
 よって、
 S=an+bn+cn+dn+e
  =n/4+n/2+n/4  4倍する。
 4S=n+2n+n
   =n(n+2n+1)=n(n+1)
 S={n(n+1)/2}


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