中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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確率を求める3 規則集3

確率を求める3 目次 >

確率−玉の色
玉の取り出し方で場合の数が異なる
例:
 4個の玉が入った袋の中から、1個の玉を取り出します。
(1) 玉をもどし、もう1個を取り出して並べる場合
  全ての場合の数Nは、N=4× (通り)
(2) 玉をもどさず、もう1個を取り出して並べる場合
   N=4×
(3) 同時に2個を取り出し並べる場合
   N=4×

玉に名前をつけて場合の数を数える
例:
 赤玉2個と白玉3個が入っている袋があります。この袋の中から、Aが先に1個を取り出し、続けてBが1個を取り出します。Aが赤玉を取り出す確率と、Bが赤玉を取り出す確率を求めてください。

 場合の数を求めるため、並べた5個の玉に番号をつけて区別する。
  ´
 AとBが取り出した玉の並べ方を、(A,B)で表す。
 Aが赤玉を取り出す場合は、
  ( き△かいァ
  (◆き,かいァ法々腓錣擦藤個未
 Bが赤玉を取り出す場合は、
  (△かいァき 法
  (,かいァき◆法々腓錣擦藤個未
 全ての場合の数は、5×4から、20通り
 確率はA、Bともに、8/20=2/5

確率−カードの組と並び
取り出し方(=取り出した組)の数の求め方
例:
 1〜7の数字が書かれた7枚のカードから、3枚の組はいくつできますか。

 3枚の並びは、最初が7通り、次は6通り、最後が5通りから、
  7×6×5 (通り)
 3枚の並びは、1組あたり 3×2×1 (通り) 重複するので、
 3枚の組は、(7×6×5) /(3×2×1)=35 (組) できる。

並べ方で解く・組合せで解く
例:
 箱の中に、1,2,3,4,5 と書かれたカードが入っています。箱の中から同時に2枚を取り出すとき、カードに書かれた数字が両方とも奇数である確率を求めてください。

組合せで解く
箱の中
1 4 3
 5 2
 全ての場合の数:
 2枚の取り出し方
 N=(5×4)/(2×1)
  =10
両方奇数の組
 {1,3〕
 {1,5}
 {3,5}

 =3
 確率
 p=3/10
並べ方で解く
箱の中
1 4 3
 5 2
 全ての場合の数:
 2枚の 並べ方
 N=5×4=20
両方奇数の並び
 (1,3) (3、1)
 (1,5) (5,1)
 (3,5) (5,3)

 n=6
 確率
 p=6/20
  =3/10

 この例では、取り出す順序を考えなくてよいので、組合せでも解くことができます。


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確率を求める3 規則集2

確率を求める3 目次 >

確率−さいころと式
不等式を変形し範囲を求める
AとBのさいころを投げ、出た目をa ,b とする。
 1≦a≦6 ・・・
 1≦b≦6 ・・・
例1:
 ,鮗,里茲Δ吠儼舛垢
  2倍する: 2≦2a≦12
  −1をかける: −6≦−a≦−1
  逆数にする:: 1/6≦1/a≦1
  平方根にする: 1≦a≦
  平方数にする: 1≦a≦36
例2:
 ´△ら、2a+b の範囲を求める。
  А。押紕横瓠紕隠
 ◆А。院紕癲紕供
    3≦2a+b≦18
例3:
 3≦2a+b≦18 のとき、
 2a+b が次のとき、2a+b の値は、
     素数: 2a+b=3,5,7,11,13、17
  3の倍数: 2a+b=3,6,9,12,15,18
 18の約数: 2a+b=3,6,9,18

場合の数から確率を求める
例: 2a+b が18の約数となる確率
 大小のさいころの目の並びを (a,b) で表す。
 2a+b=3,6,9,18
  3: (1,1)
  6: (1,4)(2,2)
  9: (2,5)(3,3)(4,1)
 18: (6,6)  合わせて、7通り
 確率は、7/(6×6)=7/36

確率−硬貨の表裏
硬貨の表裏を組合せで表し、並べ方を数える
例1: 2枚の硬貨を投げる。1枚が表で1枚が裏の確率
 2枚の硬貨をA、B とし、組合せを{A,B}で表す。
 表1枚と裏1枚が出る組合せは、
 {表,裏} で、並べ方は2通り
 確率は、2/(2×2)=1/2

例2: 3枚の硬貨をを投げる。1枚が表で2枚が裏の確率
 3枚の硬貨をA、B、C とし、組合せを{A,B,C}で表す。
 表1枚と裏2枚が出る組合せは、
 {表、裏、裏} で、並べ方は3通り  ← 表の位置が3通り
 確率は、 3/(2×2×2)=3/8
例3: 4枚の硬貨をを投げる。2枚が表で2枚が裏の確率
 4枚の硬貨をA、B、C、D とし、組合せを{A,B,C,D}で表す。
 表2枚と裏2枚が出る組合せは、
 Aが表のとき、
  残り3枚は、{表,裏,裏}で、並べ方は3通り
 Aが裏のとき、
  残り3枚は、{裏,表,表}で、並べ方は3通り
 並べ方は合わせて、6通り
 確率は、6/(2×2×2×2)=3/8

(参考) 表2枚と裏2枚を並べ方で表すと複雑
 (表,表,裏,裏) (表,裏,表,裏) (表,裏,裏,表)
 (裏,裏,表,表) (裏,表,裏,表) (裏,表,表,裏)
 合わせて、6通り


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確率を求める3 規則集1

確率を求める3 目次 >

確率−基礎知識
確率 : 対象の事柄が起こる可能性の度合い。
 確率=対象の場合の数/全ての場合の数
 (どの場合が起きることも同様に確からしいことが前提)

場合の数の求め方
例1: 3枚の硬貨を投げます。表と裏の出方は全部で何通りですか。

 硬貨をA、B、C とすると、
 Aは2通りで、Bは2通りで、C は2通りなので、
 全ての場合の数は、2×2×2=8 (通り) ・・・(答)
(別解)
 表裏の出方を並び(A,B,C)で表すと、
 (表か裏,表か裏,表か裏) から、
 2×2×2=8 (通り) ・・・(答)

例2: 2つのさいころを投げます。目の出方は全部で何通りですか。

 さいころをA、Bとする。
 Aの目の出方は6通りで、Bの目の出方は6通りなので、
 全ての場合の数は、6×6=36 (通り) ・・・(答)
(別解)
 目の並びを(A,B)で表すと、
 (1〜6,1〜6) から、
 6×6=36 (通り) ・・・(答)

確率−さいころの目
数の定義にしたがって確率を求める
自然数  1,2,3,…
素数  2,3,5,7,11,…
整数  0,±1,±2,±3,…
偶数  0,±2,±4,…
奇数  ±1,±3,±5,…
倍数  2の倍数: 2,4,6,…
約数  6の約数: 1,2,3,6
例: さいころ1個を投げるとき、次の目が出る確率を求めてください。
素数
偶数で素数
3の倍数
4の約数

 目の出方は全部で6通り
素数は、2か3か5 から、3通り
  確率は、3/6=1/2
偶数は、2か4か6 このうち素数は2 から、1通り
  確率は、1/6
 3の倍数は、3か6 から、2通り
  確率は、2/6=1/3
4の約数は、1か2か4 から、3通り
  確率は、3/6=1/2

不等式で場合を絞り込む
例: 大小2つのさいころを同時に投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、 2a+b が素数になる確率を求めてください。

 さいころ大、小の目の並びを(a,b)で表す。
 1≦a≦6 から、2≦2a≦12 ・・・
 1≦b≦6 ・・・
 椨◆А。魁紕横瓠棕癲紕隠検 ΑΑΝ
 を満たす素数は、
 2a+b=3,5,7,11,13,17
  3: (1,1)
  5: (1,3)(2,1)
  7: (1:5)(2,3)(3,1)
 11: (3,6)(4,3)(5,1)
 13: (4,5)(5,3)(6,1)
 17: (6,5)
 合わせて、13通り
 全ての場合は、6×6から、36 通り
 確率は、13/36 ・・・(答)

対象の確率=1−対象外の確率 から求める
例: 大小2つのさいころを同時に投げたとき、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とします。このとき、(ab) の値が自然数でない確率を求めてください。

 (ab) が自然数になる確率を求める。
 1≦a≦6  1≦b≦6 から、
 1≦ab≦36 を満たす組を{a,b}で表す。
 ab は平方数なので、
 ab=1,4,9,16,25,36
  1: {1,1} 並びは1通り
  4: {1,4}{2,2} 並びは3通り ← 14、41、22
  9: {3,3} 並びは1通り
 16: {4,4} 並びは1通り
 25: {5、5} 並びは1通り
 36: {6,6} 並びは1通り
 並びは合わせて8通り
 自然数になる確率は、8/36=2/9
 自然数にならない確率は、1−2/9=7/9 ・・・(答)


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確率−いろいろ

確率を求める3 目次 >

 いろいろな確率の問題を解いてみましょう。

練習
1.
 3個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が6となる確率を求めてください。 
(市川高)
2.  正十二面体のさいころの各面に1から12までの異なる整数が1つずつ書いてあります。このさいころを1回投げたとき、一番上に書いてある数が素数となる確率を求めてください。 
(お茶の水女子大附属高)
3.  1つのさいころを2度投げ、出た目を順に p 、q とするとき、次の確率を求めてください。
(1) 方程式 px-q=0 について、
  x=2 を解にもつ確率
  整数の解をもつ確率
(2) 方程式 x+(p−3)x−q=0 について
  x=−1 を解にもつ確率
  2つの解がともに整数になる確率
(大阪教育大附属高池田)
4.  1、2、3、4、5、6、7、8、9 の数字を1つずつ書いたカードが箱の中に入っています。Nさんは次の規則で、2桁の自然数を作ることにしました。
(規則)
 箱の中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数字を十の位とする。
 取り出したカードは箱の中に戻す。
 再び箱の中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数字を一の位とする。
 √n が自然数となる n の値は全部で何通りありますか。また、このときの確率を求めてください。
(都立高 確率追加)
答 え











答 え
1.
 3個のさいころの目の組合せを{a,b,c}で表す。
 a+b+c=6 となる組合せは、
  {1,1,4} 並べ方は、4の位置から3通り
  {1,2,3} 並べ方は、3×2×1から6通り
  {2,2,2} 並べ方は1通り
  並べ方は合わせて、10通り
 全ての並べ方は、6×6×6から、216通り
 確率=10/216=5/108 ・・・(答)
(参考)
 場合を組合せで洗い出し、並べ方を数えると、もれや重複のミスが起きにくい。
2.
 1〜12のうち素数は、2,3,5,7,11 の5通り
 全ての目の出方は、12通り
 確率は、5/12 ・・・(答)
3.
 2つのさいころの目の並べ方を(p,q)で表す。
(1)
  px-q=0 で、x=2 から、q=2p
   この関係を満たす並べ方は、
   (1,2)(2,4)(3,6) の3通り
  全ての並べ方は、6×6から、36通り
  確率=3/36=1/12 ・・・(答)
  x=q/p が整数となる並べ方は、
  1≦x≦6 から、
  x=1: (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6.6)
  x=2: (1,2)(2,4)(3,6)
  x=3: (1,3)(2,6)
  x=4: (1,4)
  x=5: (1,5)
  x=6: (1,6)
  合わせて、14通り
  確率は、14/36=7/18 ・・・(答)
(2)
  x+(p−3)x−q=0 で、x=−1 から、
  1−p+3−q=0
  p+q=4 となる組合せ{p,q}は、、
   {1,3} 並べ方は2通り
   {2,2} 並べ方は1通り
   合わせて3通り
  確率は、3/36=1/12 ・・・(答)
  x+(p−3)x−q=0
 解の公式から、
  x=〔3−p±{(3−p)+4q}〕/2
 {(3−p)+4q}=n とおき、
 n が整数になる (p,q) の値を求める。
  p=1: n=(4+4q) から、q=3 (n=4)
  p=2: n=(1+4q) から、q=2,6 (n=3,5)
  p=3: n=(4q) から、q=1,4 (n=2,4)
  p=4: n=(1+4q) から、q=2,6 (n=3,5)
  p=5: n=(4+4q) から、q=3 (n=4)
  p=6: n=(9+4q) から、q=4 (n=5)
 p,n の値から 3−p±n はすべて2の倍数であり、
 x は整数となる。
 よって、(p,q) の並べ方は9通り
 確率は、9/36=1/4 ・・・(答)
4.
 1回目、2回目の数の並べ方を (a,b) とする。
  1≦a≦9 から、10≦10a≦90 ・・・
  1≦b≦9 ・・・
  ´△ら、11≦10a+b≦99 ・・・
 (10a+b) が自然数になる場合は、
 10a+b が、を満たし、自然数の2乗であればよいので、
  10a+b=16,25,36,49,64,81
  よって、(a,b)は、6通り ・・・(答)
 (a,b)の全ての並べ方は、9×9から、81通り
 確率は、6/81=2/27 ・・・(答)


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確率−図形上の点

確率を求める3 目次 >

 操作ルールにしたがい図形上を動く点の状態について、確率を求めてみましょう。

例題
 下図のように、SをスタートしてGをゴールとするゲームがあります。
 さいころを投げて、出た目の数だけ矢印の方向へ進み、Gの位置にぴたりと止まったときだけ「上がり」とします。
 それ以外のときは、Gを矢印の方向に通過して、さいころを再度振ります。
 このとき、さいころを2回投げて上がりとなる確率を求めてください。
確率3_五角形_例題
(城北高)

 1回目、2回目の数の並びを(a,b)で表す。
 Gで上がる場合は、
 a+b=4,9 から、 ← a+b≦12
  4: (1,3)(3,1)(2,2)
  9: (3,6)(6,3)(5,4) ← (4,5)は1回目で上がりになる。
  合わせて6通り
 全ての場合の数は、6×6から36通り
 確率は、6/36=1/6 ・・・(答)

練習
1.  下の図のような、1辺が1の正方形ABC D があり、頂点Dに点P、頂点Aに点Qがあります。
確率3正方形
 赤と白の2個のさいころを同時に1回投げて、赤いさいころの出た目の数だけPを左回りに頂点から頂点へ移動させ、白いさいころの出た目の数だけQを左回りに頂点から頂点へ移動させます。
 たとえば、赤いさいころの出た目が1、白いさいころの出た目が2のときは、Pを D→A と移動させ、Qを A→B→C と移動させます。
 次の1〜3の問いに答えてください。
(1)  赤と白の2個のさいころを同時に1回投げて、P、Qを移動させるとき、Pの位置が頂点Bで、Qの位置が頂点Dになる確率を求めてください。
(2)  赤と白の2個のさいころを同時に1回投げて、P、Qを移動させるとき、Pの位置とQの位置が同じ頂点になる確率を求めてください。
(3)  下の表のように、各頂点の点数を決め、P、Qの移動後の位置に応じてそれぞれ点数を与えます。
頂点
点数
 赤と白の2個のさいころを同時に1回投げて、P、Qを移動させるとき、Pの点数がQの点数より高くなる確率を求めてください。
(岐阜県高)
2.  下の図のように、正五角形ABC DE と、【1】【2】【6】と書かれたカードがそれぞれ1まいずつ入った箱があります。
確率_五角形
 点Pは最初、頂点Aにあり、次の手順に従って点Pを移動させます。
(手順)
 “△涼罎らカードを1枚取り出し、書かれた数を
  調べ、取り出したカードを箱にもどす。
◆´,料犧遒鬚發Γ渦鷙圓Α
 点Pを,鉢△把瓦戮真瑤世院反時計回りに頂
  点を順に1つずつ移動させる。
 例えば、取り出したカードが順に【6】、【2】のとき、点Pは頂点Dに移動します。
(1) 点Pが点C に移動する確率を求めてください。
(2) この3枚のカードのときは、点Pが頂点Aに移動する確率は 0 です。そこで、3枚のカードのうち、【6】だけを他の自然数が書かれたカードに交換して、点Pが頂点Aに移動する確率が 0 でないようにしたい。どのような自然数が書かれたカードに交換すればよいか、その自然数について、全ての場合を求めてください。
(福井県高)
答 え











答 え
1.
(操作ルール)
 P: 赤の目の数だけ、Dから左回りに頂点を移動。
 Q: 白の目の数だけ、Aから左回りに頂点を移動。
(1)
 頂点とP、Qの値の関係を調べる。
頂点
Pの値 1か5 2か6
Qの値 1か5 2か6
点数
 PとQが進む数を(P,Q)の並びで表す。
 表から、PがBにあり、QがDにある場合は、
  (P,Q)=(2か6,3) から、2通り
 (P,Q)の全ての場合は、
  (P,Q)=(1〜6,1〜6) から、6×6=36 (通り)
 確率は、2/36=1/18 ・・・(答)
(2)
 PとQが重なる場合は、
 (1か5,4)(2か6,1か5)(3,2か6)(4,3)
 から、2+4+2+1=9 (通り)
 確率は、9/36=1/4 ・・・(答)
(3)
 Pの点数>Qの点数 となる場合は、
PがDにあり、QがCかBかAにある場合
  (4,2か6か1か5か4) 5通り
PがCにあり、QがBかAにある場合
  (3,1か5か4) 3通り
PがBにあり、QがAにある場合
 (2か6,4) 2通り
 椨◆椨: 5+3+2=10 (通り)
 確率は、10/36=5/18 ・・・(答)

2.
(1)
 取り出した数字の組を{a,b}とする。
 PがCにあるときの、 a+b、{a、b} の関係を調べる。
頂点
a+b 5か10か15か… 2か7
{a,b} {1,4か9か14か…}
{2,3か8か13か…}
{1,1}
{1,6}
{6,6}
 PがC にある場合は、
  {1,1}{1,6}{6,6} から、(a,b)の並べ方は4通り
 (a,b)の全ての場合は、
  (1か2か6,1か2か6) から、9通り
 確率は、4/9 ・・・(答)
(2)
  PがAにある場合は、
  a+b=5,10,15,20,… (5の倍数)
 {a,b}={1,4か9か14か19か…} ・・・
 {a,b}={2,3か8か13か18か…} ・・・
,泙燭廊△鯔たす数は、n を自然数とすると、
 5n−1 または、5n−2 ・・・(答)


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