中学から数学だいすき!

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因数分解…解の公式

因数分解の応用 >

 x の2次式を、解の公式を用いて因数分解してみましょう。係数を分解し、たすきがけによる因数分解が難しいときに使えます。

 これから、ax+bx+c を平方完成によって因数分解します。
 ax+bx+c
=a{x+(b/a)x+c/a}  x の係数の半分の2乗をたして、ひく。
=a{x+(b/a)x+(b/2a)−(b/2a)+c/a}  ← b/2a=b÷2a
=a{(x+b/2a)−(b−4ac)/(2a)
=a〔{x+(b/2a)}−{(b−4ac)/2a}〕  和と差の積にする。
=a{x+b/2a+(b−4ac)/2a}{x+b/2a−(b−4ac)/2a}
=a〔x+{b+(b−4ac)}/2a}〕〔x+{b−(b−4ac)}/2a}
  ・・・
 ax+bx+c=0 の解が p,q のとき、
 a(x−p)(x−q)=0 から、
 ax+bx+c=(x−p)(x−q) と因数分解できます。
 ,ら、p={−b−(b−4ac)}/2a
      q={−b+(b−4ac)}/2a
 x=p,q は、2次方程式の解の公式と同じです。
(解の公式)
 2次方程式が ax+bx+c=0 のとき、
 x={−b±(b−4ac)}/2a
 したがって、解の公式によって因数分解ができます。

例題1
 x−x−600 を因数分解してください。

 x−x−600=0 とする。
 解の公式から、
 x={1±(1+4×600)}/2
  =(1±2401)/2
 45=2025<2401<50=2500  ← 45暗算
 一の位が1から、49=2401
 x=(1±49)/2
 x=25,−24
 因数分解は、
 x−x−600=(x−25)(x+24) ・・・(答)

例題2
 x+6x−391 を因数分解してください。

 x+6x−391=0 とする。
 解の公式から、
 x={−6±(6+4×391)}/2  2でわる。
  =−3±(9+391)
  =−3±20
 x=−23,17
 x+6x−391=(x+23)(x−17)

(別解) x の係数が偶数のとき
 平方完成で因数分解でき、計算しやすい。
 x+6x−391
={x+6x+(6/2)}−(6/2)−391
=(x+3)−400
=(x+3)−20  和と差の積にする。
=(x+3+20)(x+3−20)
=(x+23)(x−17) ・・・(答)

例題3
 6x−5x−221 を因数分解してください。

 6x−5x−221−=0 とする。
 解の公式から、
 x={5±(5+(4×6×221)}/(2×6)
  =(5±5329)/12
 70<5329<75 一の位が9から、73=5329
 x=(5±73)/12
 x=78/12=13/2 または x=−68/12=−17/3
 因数分解は、
 6x−5x−221
(x−13/2)(x+17/3)  6=2×3 から、
=(2x−13)(3x+17) ・・・(答)

練習
 因数分解してください。
1. −11x−432
2. +2x−899
3. 10x+3x−27
4. +100x−3125
5. 6x+x−187
答 え












答 え
1.  x−11x−432=0 とする。
 解の公式から、
 x={11±(11+4×432)}/2
  =(11±1849)/2
 40=1600<1849<45=2025
 一の位が9なので、43=1849
 x=(11±43)/2
 x=54/2=27 または x=−32/2=−16
 因数分解は、
 x−11x−432=(x−27)(x+16) ・・・(答)
2.  x+2x−899  平方完成する。
=(x+2x+1)−1−899
=(x+1)−30  和と差の積にする。
=(x+1+30)(x+1−30)
=(x+31)(x−29) ・・・(答)
3.  10x+3x−27=0
 x={−3±(3+4×10×27)}/(2×10)
  ={−3±(9+1080)}/20
  =(−3±1089)/20
 30=900<1089<35=1225
 一の位が9なので、33=1089
 x=(−3±33)/20
 x=30/20=3/2 または x=−36/20=−9/5
 因数分解は、
 10x+3x−27
10(x−3/2)(x+9/5)  10=2×5 から、
=(2x−3)(5x+9) ・・・(答)
4.  x+100x−3125  平方完成する。
=(x+100x+50)−50−3125
=(x+50)−(2500+3125)
=(x+50)−5625  75=5625 から、
=(x+50)−75  和と差の積にする。
=(x+50+75)(x+50−75)
=(x+125)(x−25) ・・・(答) 
5.  6x+x−187=0
 x={−1±(1+(4×6×187)}/(2×6)
  ={−1±(1+4488)}/12
  =(−1±4489)/12
 65=4225<4489<70=4900
 一の位が9なので、67=4489
 x=(−1±67)/12
 x=66/12=11/2 または x=−68/12=−17/3
 因数分解は、
 6x+x−187
(x−11/2)(x+17/3)  6=2×3 から、
=(2x−11)(3x+17) ・・・(答)

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因数分解…自然数2

因数分解の応用 >

 2次方程式を (x の1次式)((x の1次式)=0 の形に因数分解できると、x が求まります。これから、(x の1次式)(y の1次式)=定数 の式から、自然数 (x,y) の組を求めてみましょう。

例題1
 xy−x−y−3=0 を満たす自然数 (x、y) の組を求めてください。

 (xの式)(yの式)=定数 となるように因数分解する。
 x で式を整理する。
 x(y−1)−y=3  1をたす。
 x(y−1)−(y−1)=3+1  共通因数をまとめる。
 (x−1)(y−1)=4
 (x−1) と (y−1) は自然数なので、
 (x−1,y−1)=(1,4),(2,2),(4,1)
 (x,y)=(2,5),(3,3),(5,2) ・・・(答)

例題2
 2つの素数 a 、 b について、積 ab の正の約数の和が32となるとき、 積 ab の値を求めてください。

 積 ab の正の約数は、1、a、b、ab から、
 1+a+b+ab=32  b で式を整理する。
 1+a+b(1+a)=32  共通因数をまとめる。
 (a+1)(b+1)=32  積の組合せは、
 (a+1,b+1)=(1,32),(2,16),(4,8)
 (a,b)=(0,31),(1,15),(3,7)
 (a,b)は素数なので、(a,b)=(3,7)
 よって、ab=3×7=21 ・・・(答)

(参考) 整数・自然数・素数など
整数  0 ±1 ±2 …  0 と、0 に±1ずつ足した数
偶数   ±2 ±4 …  2で割り切れる数
奇数  ±1 ±3 ±5 …  偶数でない整数
3の倍数  ±3 ±6 ±9 …  3で割り切れる数
自然数  1 2 3 4 …  正の整数
素数  2 3 5 7 …  1かその数でないと割り切れない数@

例題3
 n+96 の平方根が整数になる自然数 n を全て求めてください。

(解法の手順)
(n+96)=N とする。
+96=N から、(N+n)(N−n)=96
N+n=a、N−n=b とする。
  ab=96 となる (a,b) を見つける。
N+n=a
  N−n=b から、n を求める。

(n+96)=N とする。
  Nは自然数で、N>n
+96=N から、
 N−n=96
 (N+n)(N−n)=96
N+n=a、N−n=b とする。
 a、b は自然数で、a>b
 ab=96 となる (a,b) を見つけるために、96を素因数分解する。
 96=2×3=2×6=2×12=2×24=2×48=2×96
 (a,b)=(32,3) (16,6) (12,8) (24,4) (48,2) (96,1)
N+n=a
  N−n=b から、n=(a−b)/2
  (a,b) から n を求める。
  (32,3): n=29/2 不適
  (16,6): n=5
  (12,8):、n=2
  (24,4): n=10
  (48,2): n=23
  (96,1): n=95/2 不適
(答) n=2,,5,10,23

練習
 自然数を求めてください。
1. xy+3y−12=0 となる自然数 (x、y) の組を求めてください。
(大分県高)
2. xy+3x−2y=0 を満たす自然数の組 (x,y) を求めてください。
(海城高)
3. =y+12 を満たす自然数の組 (x,y) を求めてください。
(市川高)
4. −y=400 を満たす正の奇数 (x、y) の組を求めてください。
(大阪府高)
5. 2つの素数 a 、 b について、積 ab の正の約数の和が112となるとき、 ab の値を求めてください。
(筑波大附属高)
答 え












答 え
1.  (xの式)(yの式)=定数 に変形する。
 xy+3y−12=0  共通因数をまとめる。
 (x+3)y=12
 x+3≧4 から、
 (x+3,y)=(4,3),(6,2),(12,1)
 (x,y)=(1,3),(3,2),(9,1) ・・・(答)
2.  (xの式)(yの式)=定数 に変形する。
 xy+3x−2y=0  x で式を整理する。
 x(y+3)−2y=0  両辺から6をひく。
 x(y+3)−2(y+3)=−6  共通因数をまとめる。
 (x−2)(y+3)=−6
 (2−x)(y+3)=6 ・・・
 y+3>0 なので、2−x>0 よって、x<2
 0<x<2 なので、x=1
 ,ら、y+3=6 よって、y=3
(答) (x,y)=(1,3)
3.  x=y+12 (x,y)は自然数
 (x+y)(x−y)=12
  x+y=a  x−y=b とすると、
  ab=12 (a>b) ・・・
  x=(a+b)/2  y=(a−b)/2 ・・・
 ´△鯔たす a , b を求める。
 ab=12=1×12 ,2×6 ,3×
 a>b から、
 (a,b)=(4,3)  x=7/2 (不適)
 (a,b)=(6,2)  x=4 y=2
 (a,b)=(12,1) x=13/2 (不適)
(答) (x,y)=(4,2)
4.  (x+y)(x−y)=400
 x+y と x−y は正の偶数なので、
 x+y=2a、x−y=2b とする。
 2a×2b=400
 ab=100 a>b から、
 (a,b)=(100,1),(50,2),(25,4),(20,5)
 x+y=2a、x−y=2b から、
 x=a+b、y=a−b
 (x,y)=(101,99),(52,48),(29,21),(25,15)
 このうち、(52,48)は奇数でなので不適
(答) (x,y)=(101,99),(29,21),(25,15)
5.  積 ab の正の約数は、1、a、b、ab から、
 1+a+b+ab=112  左辺を因数分解すると、
 (a+1)(b+1)=7×  積の組合せは、
 (a+1,b+1)=(7,16),(14,8),(28,4),(56,2),(112,1)
 (a,b)=(6,15),(13,7),(27,3),(55,1),(111,0)
 (a,b)は素数なので、(a,b)=(13,7)
 よって、ab=13×7=91 ・・・(答)

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因数分解…自然数1

因数分解の応用 >

 2次方程式をつくり、自然数を求めてみましょう。

例題1
 2つの自然数があります。2数の和が23、積が132のとき、2数の差の絶対値を求めてください。

 2数の和が23、積が132から、2数は次の2次方程式の解となる。
 n−23n+132=0  132=(−11)×(−12) から、
 (n−11)(n−12)=0
 n>0 なので、n=11,12
 2数の差の絶対値は、数直線上で、11と12の距離なので、
 12−11=1 ・・・(答)

例題2
 連続する2つの自然数があります。2数の積が756のとき、2つの数を求めてください。

 n(n+1)=756
 n+n−756=0
 756=2×3×7 から、2数の積が−756、和が1 となる2数を見つけることは、組合せが多く難しい。そこで、不等式を利用して2数を求める。
 <n(n+1)<(n+1)
 27=729<756<(27+1)=784
 よって、n=27、n+1=28
(答) 27,28

(参考) 756に近い平方数の見つけ方
15,25,35 … ,95 の暗算
十の位の数に1をたして掛け、25をつける。
(10n+5)=100n+100n+25=100n(n+1)+25
 =(× 2×100+25= 25
 =(× 3×100+25= 25
 =(× 4×100+25=1225
 =(× 5×100+25=2025
 =(× 6×100+25=3025
 =(× 7×100+25=4225
 =(× 8×100+25=5625
 =(× 9×100+25=7225
 =(×10×100+25=9025
 25=625 で、756に近いことが分かる。

練習
 自然数を求めてください。
1.  ある正の整数を2乗した数は、もとの数に6を加えて8倍した数と等しい。もとの数を求めてください。
(和洋国府台女子高)
2.  連続する2つの偶数の積が3248のとき、2つの数を求めてください。ただし、2つの数は正とします。

3.  連続する3つの自然数があります。最大の数の2乗は、他の数の2乗の和より12だけ小さいとき、3つの数のうち最大のものを求めてください。
(城北高)
4.  連続する3の倍数が3つあります。最小の数と最大の数の積は、中央の数の8倍です。3つの数の和を求めてください。

5.  正の約数の個数が3個で、その約数の総和が381であるような自然数を求めてください。
(ラ・サール高)
答 え












答 え
1.  もとの数を n とすると、
 n=8(n+6)
 n−8n−48=0  −48=4×(−12) から、
 (n+4)(n−12)=0
 n=−4,12
 n>0 から、n=12 ・・・(答)
2.  小さい数を 2n とすると、
 大きい数は 2(n+1)=2n+2
 2n(2n+2)=3248
 n(n+1)=3248/4=812
 <n(n+1)<(n+1)  
 28<812<(28+1)=841 から、
 n=28
 2n=56 2n+2=58
 (答) 56,58
3.  最大の自然数を n とすると、
 n=(n−2)+(n−1)−12
 n=2n−6n+5−12
 n−6n−7=0  −7=1×(−7) から、
 (n+1)(n−7)=0
 n>0 なので、n=7 ・・・(答)
4.  n を3の倍数の中央の数とすると、
 (n−3)(n+3)=8n
 n−8n−9=0  −9=1×(−9) から、
  (n+1)(n−9)=0
  n は3の倍数なので、n=9
  n−3=6  n+3=12
 3つの数の和は、
  6+9+12=27 ・・・(答)
5.  自然数が n のとき、n の約数は、1,n,n から3個となる。
 1+n+n=381
 n+n−380=0  −380=20×(−19) から、
 (n+20)(n−19)=0
 n>0 から、n=19
 n=19=361 ・・・(答)
(参考) 約数の個数
 2の約数…1,2,2 (3個)
 2の約数…1,2,2,2 (4個)
 2の約数…1,2,2,2,2 (5個)

(参考) 連続する整数の表し方 (n: 整数)
 3つの整数: n−1,n,n+1
 5つの整数: n−2,n−1,n,n+1,n+2
 3つの偶数: 2(n−1),2n,2(n+1) ← 0は偶数
 3つの奇数: 2n−1,2n+1,2n+3
 3つの3の倍数: 3n,3(n+1),3(n+2)

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因数分解…2次方程式

因数分解の応用 >

 因数分解によって、2次方程式を解いてみましょう。

例題1 (x+6)(x−2)+2=7x を解いてください。
(愛知県高)

 式を展開する。
 x+4x−12+2=7x  同類項をまとめる。
 x−3x−10=0  −10=2×(−5) から、
 (x+2)(x−5)=0
 x+2=0 または x−5=0 から、
 x=−2,5 (x=−2 または x=5) ・・・(答)

例題2 x−4x−221=0 を解いてください。

 x の係数が2の倍数なので、平方完成で解く。
 両辺に4の半分の2乗をたす。
 x−4x+4=221+4
 (x−2)=225  225=15 から、
 x−2=±15
 x=2±15
 x=−13,17 ・・・(答)

練習
 2次方程式を解いてください。
1. x(x+4)=5
(青森県高)
2. (x−6)(x+6)=20−x
(静岡県高)
3. (2x−1)(x+8)=7x+4
(山形県高)
4. (x−2)−5(x−2)+4=0
(土浦日本大高)
5. (x−1)(x+2)=12×15
(福岡大附属大濠高)
答 え












答 え
1.  x(x+4)=5
 x+4x−5=0  −5=5×(−1) から、
 (x+5)(x−1)=0
 x=−5,1 ・・・(答)
2.  (x−6)(x+6)=20−x
 x−36=20−x
 x+x−56=0  −56=8×(−7) から、
 (x+8)(x−7)=0
 x=−8,7 ・・・(答)
3.  (2x−1)(x+8)=7x+4
 2x+15x−8=7x+4
 2x+8x−12=0  2でわる。
 x+4x−6=0  4の半分の2乗をたす。
 x+4x+4=6+4
 (x+2)=10
 x+2=±10
 x=−2±10 ・・・(答)
4.  (x−2)−5(x−2)+4=0  x−2=a とする。
 a−5a+4=0  4=−1×(−4) から、
 (a−1)(a−4)=0  a をもどす。
 (x−2−1)(x−2−4)=0
 (x−3)(x−6)=0
 x=3,6 ・・・(答)
5.  (x−1)(x+2)=12×15
 x+x−2=180
 x+x−182=0  182=2×7×13=14×13
 (x+14)(x−13)=0
 x=−14,13 ・・・(答)

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因数分解…式の値

因数分解の応用 >

 因数分解を使い、式の値を求めてみましょう。

例題1
 a=37,b=12 のとき、a−9b の値
(静岡県高)

 a−9b  和と差の積にする。
=(a+3b)(a−3b)  値を代入する。
=(37+36)(37−36)
=73 ・・・(答)

例題2
 x=3−22、y=3+22 のとき、xy+xy の値
(東京電機大高)


 xy+xy  共通因数をまとめる。
=xy(x+y)  値を代入する。
=(3−22)(3+22)×6
=(9−8)×6
=6 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x=5+3、y=5−3 のとき、2x−2y
(山形県高)
2. a=5/11、b=−3/11 のとき、a−4ab+4b
(明治学院高)
3. a=5+3、y=5−3 のとき、
b+2a+ab
(函館ラ・サール高)
4. m−n=2、 mn=4 のとき、
(n+1)m−(m+1)n
(東大寺学園高)
5. a=2−2 、b=(2+1)/3 のとき、
−3ab−18b
(県立岡山朝日高)
答 え












答 え
1.  x=5+3、y=5−3 のとき、
 2x−2y  因数分解する。
=2(x+y)(x−y)  値を代入する。
=2×25×6
=245 ・・・(答)
2.  a=5/11、b=−3/11 のとき、
 a−4ab+4b  因数分解する。
=(a−2b)  値を代入する。
=(5/11+6/11)
=1 ・・・(答)
3.  a=5+3、y=5−3 のとき、
 ab+2a+ab  共通因数をまとめる。
=ab( a+2ab+b)  和の平方にする。
=ab(a+b)  値を代入する。
=(5−3)×(25)
=40 ・・・(答)
4.  m−n=2、 mn=4 のとき、
 (n+1)m−(m+1)n
=mn+m−mn−n  mn をまとめる。
=mn(n−m)+(m−n)  (m−n) をまとめる。
=(m−n)(1−mn)  値を代入する。
=2×(1−4)
=−6 ・・・(答)
5.  a=2−2 、b=(2+1)/3 のとき、
 a−3ab−18b  −18=−6×3 から、
=(a−6b)(a+3b)   値を代入する。
=(2−2−22−2)(2−2 +2+1)
=−32×3
=−92 ・・・(答)

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