中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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方程式を解く2 規則集3

方程式を解く2 目次 >

2次方程式−解の公式
 解の公式
例: 2x+3x−4=0 を解く。
 a=2 , b=3 , c=−4 から、
 x={−3±(9+32)}/4
  =(−3±41)/4

2次方程式−解法比較
 因数分解 → 平方完成→ 解の公式 の順に解き方を検討する。
方法\適用 向き 不向き
因数分解  係数が小さい。
 因数分解しやすい。
 因数分解できない。
 数字の素因数分解が
@
 難しい。組合せ多い。
平方完成   の係数が1、
 
の係数が偶数。
 定数項が大きい。
  の係数が1でない。
 
の係数が奇数。
解の公式  機械的に計算できる。
 内を大きくしない。
 解の公式を忘れた。
 
内が大きくなる。
 計算が複雑。
例: どの方法で解きますか?
−3x+2=0
−3x+1=0
−6x−247=0

すべて、解の公式または平方完成で解ける。計算が簡単になるので、,楼数分解、△浪鬚慮式、は平方完成で解く。

2次方程式−形いろいろ
記号の式を代入法で解く。
例: a◎b=3a+2b−ab のとき、2◎x=x◎1 を解く。

 a=2、b=x から、
  2◎x=12+2x−2x …
 a=x、b=1 から、
  x◎1=3x+2−x   …
  甅△ら、
  12+2x−2x=3x+2−x
  x+x−10=0  解の公式から、
  x={−1±(1+40)}/2
   =(−1±41)/2

2次方程式−文字・式の値
2次方程式の係数と解の関係を利用する。
例: x−ax+b=0 で、x=2,3 のとき、a ,b の値

 (x−2)(x−3)=0 から、
 x−ax+b=(x−2)(x−3)
        =x−5x+6
 両辺の係数を比べると、
  a=5、b=6


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方程式を解く2 規則集2

方程式を解く2 目次 >

2次方程式−解法
2次方程式の解き方には、因数分解平方完成解の公式がある。
例: x+2x−3=0 を3つの方法で解く。
因数分解
 (x+3)(x−1)=0
 x=−3,1
平方完成
 x+2x−3=0  2の半分の2乗を両辺にたす。
 (x+2x+1)−3=1
 (x+1)=4  左辺が (+1) の平方になる。
 x+1=±2
 x=−3,1
解の公式
  2次方程式の解の公式
 x+2x−3=0
 a=1 , b=2 , c=−3 から、
 x={−2±(4+12)}/2
  =(−2±4)/2=−1±2
 x=−3,1

2次方程式−因数分解
2次方程式の解法でよく使われる因数分解
 共通因数をくくる   x−2x=x(x−2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2x+1=(x+1)
 x−6x+3=(x−3)
 係数を分解する  係数で因数分解

2次方程式−平方完成
平方完成: x+ax に、a の半分の2乗を加え、
       (x+a/2) の形にすること。
例: x+4x−221=0 を平方完成で解く。

 x+4x=221  4の半分の2乗を両辺にたす。
 x+4x+4=221+4
 (x+2)=225
 x+2=±15
 X=−2±15
 x=−17,13


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方程式を解く2 規則集1

方程式を解く2 目次 >

方程式の基礎
1. 方程式の両辺に、同じ数を たす、ひく、かける、わる ができる。
2. わることは、わる数の逆数(1/わる数)をかけることと同じ。
例1: 3x−1=x+5  両辺に1をたす。
    3x=x+6  両辺から x をひく。
    2x=6  両辺を2でわる。
    x=3
例2: x/4÷(1/2)=1/6  左辺を逆数のかけ算にする。
    x/2=1/6  両辺に2をかける。
    x=1/3

1次方程式−移項
等号の反対側に項を移すと、符号が反対になる。
例: 5x−2=3x+6  3x を左辺に、−2を右辺に移す。
   5x−3x=6+2
   2x=8
   x=4
比例式で、内項の積=外項の積
例: (x+1):(x−2)=4:3  内項の積=外項の積 から、
   4(x−2)=3(x+1)  分配法則から、
   4x−8=3x+3  3x と−8を移項する。
   4x−3x=3+8
   x=11

1次方程式−等式の変形
方程式を解くように、等式の特定の文字について解く。
例1: 1/a −2/b+3/c=1 のとき、b を求めてください。

 1/a −2/b+3/c=1  −2/b を移項する。
 2/b+1=1/a+3/c  1 を移項する。
 2/b=1/a+3/c−1  ac で通分する。
 2/b=(c+3a−ac)/(ac)  両辺を2でわる。
 1/b=(3a+c−ac)/(2ac)  両辺の逆数をとる。
 b=2ac/(3a+c−ac) ・・・(答)

例2: 食塩水(a%,Ag)と食塩水(b%,Bg)を混ぜて、 c %の食塩水ができるとき、A(c−a)=B(b−c) が成り立ちます。 c を求めてください。

 A(c−a)=B(b−c)  分配法則から、
 cA−aA=bB−cB  −aA−cB を移項する。
 cA+cB=aA+bB  同類項をまとめる。
 c(A+B)=aA+bB
 c=(aA+bB)/(A+B) ・・・(答)


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連立方程式−文字の値

方程式を解く2 目次 >

 連立程式の解をもとに、文字の値を求めてみましょう。

例題
2ax+by=5   解が、x=3,y=1 のとき、
  a ,b の値を求めてください。
ax+4by=−1
(日大第二高)
 解は方程式を満たすので、
 x=3,y=1 を代入する。
  6a+b=5    ・・・
  3a+4b=−1 ・・・
 x を消去する。
◆滷押櫚 А。沓癲瓠檻掘 。癲瓠檻
 А。瓠瓠複機檻癲/6=1
(答) (a,b)=(1,−1)

練習
 問題1〜5の値を求めてください。
1. ax+y=20   解がともに自然数のとき、
  整数 a の値。
2x−y=17
(西大和学園高)
2. ay−bx=7   解が、x=3,y=5 のとき、
  a ,b の値。
ax+3by/5=8
(法政大高)
3. 7x/4−2y=k+1   解が、x=y のとき、
  k ,x の値。
−2x+y/4=10k+2
(ラ・サール高)
4. 3x−4y=14 x−2y=8
ax+by=29 2ax−by=−17
の解が一致するとき、a ,b の値。
(福岡大附属太濠高)
5. 4x−y−z=0   解 x,y,z が自然数で、
  最小公倍数か360 のとき、
  x,y,z の値。
5x−2y+10z=0
(灘高)

答 え










答 え
1. ax+y=20  ・・・
2x−y=17  ・・・
 椨◆А 複瓠棕押烹=37
  x=37/(a+2) x は自然数なので、
  a=−1,35
  a=−1 のとき、x=37
  a=35  のとき、x=1
◆А。=2x−17
 x=37 のとき、y=57
 x=1  のとき、y=−15 (自然数でない)
(答) a=−1

2. ay−bx=7  ・・・
ax+2by/5=8  ・・・
 x=3,y=5 を代入する。
  5a−3b=7 ・・・
  3a+2b=8 ・・・
 b を消去する。
×2+ぁ滷魁
  19a=14+24=38  a=2
ぁА。癲瓠複検檻械瓠/2=1
(答) (a,b)=(2,1)

3. 7x/4−2y=k+1  ・・・
−2x+y/4=10k+2  ・・・
 y=x を代入する。
 А。沓/4−2x=k+1  4倍する。
   −x=4k+4
   4k+x=−4   ・・・
◆А 檻横+x/4=10k+2  4倍する。
   −7x=40k+8
   40k+7x=−8 ・・・
 いらxを消去する。
ぁ櫚×7: 12k=20  k=5/3
: x=−4−4k=−4(1+5/3)=−32/3
(答) (k,x)=(5/3,−32/3)

4. 3x−4y=14 ・・・
ax+by=29 ・・・
x−2y=8 ・・・
2ax−by=−17 ・・・
 解が一致するので、´から(x,y)を求め、
 ↓い紡綟して、(a,b)を求める。

 櫚×2: x=−2
: y=(x−8)/2=−5
 (x,y)=(−2,−5) を、↓い紡綟する。
◆А 檻横瓠檻毅癲瓧横
   2a+5b=−29 ・・・
ぁА 檻苅瓠棕毅=−17
   4a−5b=17   ・・・
ァ椨ΑА。僑瓠瓠檻隠押 。瓠瓠檻
ΑА。癲瓠複苅瓠檻隠掘/5=−5
(答) (a,b)=(−2,−5)

5. 4x−y−z=0  ・・・
5x−2y+10z=0  ・・・
 (x,y) を z で表して解き、自然数と最小公倍数の条件から、(x,y,z) を求める。
 滷押櫚◆
 3x−12z=0  x=4z
 А。=4x−z=15z
 (x,y,z)=(4z,15z,z) の最小公倍数は360から、
 z×4×15×1=360
 z=6
 x=4z=24  y=15z=90
 (x,y,z)=(24,90,6) ・・・(答)

 z) 4z 15z z
 ――――――――  
    4  15  1
 z×4×15×1=360
 z=6


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連立方程式−形いろいろ

方程式を解く2 目次 >

 いろいろな形の連立方程式を解いてみましょう。

練習
 次の方程式を解いてください。
1. 5x+7y=(2/3)x+(1/2)y=3
(青雲高)
2. 5x−2y=3
2x−5y=6
(西大和学園高)
3. 79x+54y=61
217x+46y=39
(法政大第二高)
4. (3−x):(y+1)=5:2
3y+2z=1
5x+2y+z=1
(開成高)
5. 3x+4y+5z=40  x ,y をそれぞれ z で表し、
 連立方程式を解く。
x+y+z=10
+y+z=36
(慶應義塾高)

答 え










答 え
1.
 5x+7y=(2/3)x+(1/2)y=3  2つの式にする。
5x+7y=3  ・・・
(2/3)x+(1/2)y=3  ・・・
◆滷供А。苅+3y=18    ・・・
 ´から y を消去する。
 滷魁А。隠毅+21y=9   ・・・
×7: 28x+21y=126 ・・・
ァ櫚ぁА 。隠械=117  x=9
 А。=(3−5x)/7=−42/7=−6
(答) (x,y)=(9,−6)

2. 2x+3/y=2  ・・・
3x+2/y=8  ・・・
 3/y=Y とする。
 А。横+3Y=2
◆А。械+2Y=8
 2式の和と差から、
 5x+5Y=10  x+Y=2 ・・・
 x−Y=6 ・・・
+ぁА。横=8  x=4
: Y=2−x=−2  y=1/Y=−1/2
(答) (x,y)=(4,−1/2)

3. 79x+54y=61  ・・・
21x+46y=39  ・・・
 係数・定数の和が100なので、
( 椨◆/100: x+y=1 ・・・
 21x+21y=21 ・・・
◆櫚ぁА。横毅=18  y=18/25
: x=1−y=1−18/25=7/25
(答) (x,y)=(7/25,18/25)

4. (3−x):(y+1)=5:2  ・・・
3y+2z=1  ・・・
5x+2y+z=1  ・・・
 А。供檻横=5y+5
   2x+5y=1 ・・・
 ↓から z を消去する。
×2−◆
 10x+y=1    ・・・
 きイら y を消去する。
ァ滷機櫚ぁ
 48x=4  x=1/12
ァА。=1−10x=1−10/12=1/6
◆А。=(1−3y)/2=(1−1/2)/2=1/4
(答) (x,y,z)=(1/12,1/6,1/4)

5. 3x+4y+5z=40  ・・・
x+y+z=10  ・・・
+y+z=36  ・・・
 ´△ら x を消去する。
-◆滷魁
 y+2z=10  y=10-2z ・・・
◆А。=10−(y+z)=z   ・・・
 きイ鬮に代入し、z の式にする。
 z+(10−2z)+z=36
 6z−40z+64=0
 3z−20z+32=0
 (3z−8)(z−4)=0
 z=8/3,4
ァА。=x=8/3,4,4
ぁА。=8/3 のとき、y=10−2z=14/3
   z=4 のとき、y=10−2x=2
(答) (x,y,z)=(8/3,14/3,8/3),(4,2,4)


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