中学から数学だいすき!

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公立高校入試2019 図形2

数学の話題 目次 >

 公立高校入試の三角柱の問題を解いてみましょう。

問題
6. 下の図1は、AB=3cm,、BC =4cm、∠ABC =90° の直角三角形ABC を底面とし、AD=BE=C F=2cm を高さとする三角柱です。 また、点Gは辺EFの中点です。

高校入試2019_三角柱

 このとき,次の問いに答えてください。
この三角柱の表面積を求めてください。
この三角柱において、3点B、D、Gを結んでできる三角形の面積を求めてください。
 この三角柱の表面上に、 図2のように点Bから辺EF、 辺DFと交わるように、点C まで線を引きます。このような 線のうち、長さが最も短くなるように引いた線の長さを 求めてください。

答 え











答 え
6.
ア 
 底面積×2+側面積
=(3×4/2)×2+2(3+4+5)
=12+24=36 (cm) ・・・(答)


 △DBG で、三平方の定理から、
  DB=(2+3)=13
  BG=((2+2)=2
  GD=(2+3)=13
 △DBGは、底辺が22、両辺が13 の二等辺三角形である。
高校入試2019_三角柱の三角形
 この三角形の高さは、三平方の定理から、
  {(13)−(2)}=11
 よって、
  △DBG=22×11/2=22 (cm) ・・・(答)


(考え方)
 2点を結ぶ最短経路は直線なので、展開図をかいて、BとC を直線で結ぶ。

(解答)
 下の図のように補助線を引く。
 BC ={(x+2)+(y+4)} となる。
 △DEF∽△FHC から、
  5:2=4:x  x=8/5
  5:2=3:y  y=6/5
 BC={(8/5+2)+(6/5+4)
   ={(18/5)+(26/5)
   =(324/25+676/25)
   =(1000/25)
   =40=210 (cm) ・・・(答)
高校入試2019_三角柱の最短距離

(類題) 円錐の最短経路


参考文献
読売新聞 2019年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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公立高校入試2019 確率

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 公立高校入試の確率の問題を解いてみましょう。

問題
5. 下の図1のように、1、2、3、4、5の数が1つずつ書かれた5枚のカードがあります。
  図1  【1】 【2】 【3】 【4】 【5】
 大、小2つのさいころを可時に'1回投げ、大きいさいころの出た目の数を a、小さいさいころの出た目の数を b とします。出た目の数によって、次の【ルール にした がって自然数 n を決め、【ルール◆にしたがってカード を取り除き、残ったカードに書かれている数について考 えます。
【ルール 
 a>b のときは n=a−b とし、a≦b のときは n=a+b とする。
【ルール◆
 図1の5枚のカードから、1枚以上ののカードを取り除く。このとき,取り除くカードに書かれている数の合I計が n となるようにする。また、取り除くカードの枚数ができるだ け多くなるようにする。なお、取り除くカードの枚数が同じ場合には、書かれている数 の最も大きいカードを含む組み合わせを取り除く。
 大きいさいころの出た目の数が1、さいさいころの 出た目の数が4のとき、a=1、b=4 だから、 a<b となり、【ルール により、n=,1+4=5 となる。
 【ルール◆により、取り除くカードに書かれている 数の合計が【5】となるのは、【5】のみの場合、【1】と【4】の 場合、【2】と【3】の場合の3通りがある。ここで、取り除くカードの枚数ができるだけ多くなるようにするので、【1】と【4】の場合、【2】と【3】の場合のどちらかとなる。書かれている数の最も大き いカードは【4】であるから、このカードを含む組み合わせである【1】と【4】のカードを取り除く。
 この結果,残ったカードは図2のように、【2】、【3】、【5】となる。
  図2  【1】 【2】 【3】 【4】 【5】
  いま、図1の状態で、大、小2つのさいころを司時に1回投げるとき、次の問いに答えてください。ただ し大、小2つのさいころはともに、1から6までのどの目が出ることも1司様に確からしいものとします。
残ったカードが、5と書かれているカード1枚だけとなる確率を求めてください。
残ったカードに書かれている数の中で最小の数が3となる確率を求めてください。

答 え











答 え
4.
ア 
 【5】が残るのは、n=【1】+【2】+【3】+【4】=10 を除く場合から、
 a+b=10 となる (a,b)=(4,6)、(5,5) 2通り
 a−b=10 となる (a,b) はない。
 a は6通りで、b は6通りから、
  すべての場合は 6×6=36 (通り)
 求める確率は、2/36=1/18 ・・・(答)


 残った最小の数が【3】の場合は、
 【3】か、【3】【4】か、【3】【5】か、【3】【4】【5】 である。
 【3】:
  n=【1】+【2】+【4】+【5】=12 を除くので、
  (a,b)=(6,6) 1通り
 【3】【4】:
  n=【1】+【2】+【5】=8 を除くので、
  (a,b)=(2,6)、(3,5)、(4,4) 2通り
 【3】【5】:
  n=【1】+【2】+【4】=7 を除くので、
  (a,b)=(2,5)、(3,4) 2通り
 【3】【4】【5】:
   n=【1】+【2】=3 を除くので、
   (a,b)=(1,2)、(4,1)、(5,2)、(6,3) 4通り
 よって、残った最小の数が【3】の場合は、
  1+2+2+4=11 (通り)
 求める確率は、11/36 ・・・(答)

(参考) 操作ルールと確率


参考文献
読売新聞 2019年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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公立高校入試2019 放物線

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 公立高校入試の放物線の問題を解いてみましょう。(解答の選択肢省略)

問題
4. 次の問いに答えてください。
 下の図においで、直線,牢愎 y=−x のグラフで、曲線△牢愎 y=x/3 ,のグラフ、曲 線は関数 y=ax のグラフです。
 点Aは直線,閥弊△箸慮鯏世任△蝓△修 x 座標は−3です。点Bは曲線⊂紊療世如∪分ABは x 軸に平行です。
  また、点C は曲線上の点で、 線分AC は y 軸に平行で、点C の y 座標は−2です。点Dは線分AC上の点で、AD:DC =2:1 です。
 さらに、点E は線分BDと y 軸との交点で、点Fは y 軸上の点で、AD=EF で、その y 軸は正です。
 原点を O とするとき、次の問いに答えてください。
高校入試2019_放物線
曲線の式 y=ax の a の値を答えてください。
直線BF の式を y=mx+n とするとき、m と n の値を答えてください。
点G は直線‐紊療世任后三角形BDG の面積が四角形ADBF の面積と等しくなるとき、点G の x 座橋を求めてください。ただし、点G の' x 座標は正とします。

答 え











答 え
4.
ア 
 y=ax は、点C (−3,−2)を通るので、
 −2=9a  a=−2/9 ・・・(答)


(考え方)
 点A、B、D、E、F の各座標を求める。2点の座標がわかれば、線分の式がわかる。
(解答)
 点A、B、D、F の座標を求める。
 点Aを、y=−x が通り、x=−3 から、y=3
  A(−3,3)
 Aは放物線上の点で、Bは y 軸に対称な点なので、
  B(3,3)
 線分 AC =3+2=5
 点D は、AC を 2:1 に分ける点なので、
  AD=5×2/(2+1)=10/3
 点Dの y 座標は、3−10/3=−1/3
  D(−3,−1/3)
 直線BD の式を、y=px+q とすると、B、D の座標から、
  3=3p+q
 −1/3=−3p+q
 2式の差から、3+1/3=6p
 10/3=6p  p=10/18=5/9
 q=3−3×5/9=3−5/3=4/3
  E(0,4/3)
 AD=3+1/3=10/3
 AD=EF から、 F の y 座標は、
  4/3+10/3=14/3
 求める直線BFの式 y=mx+n で、n=14/3
  F(0,14/3)
 直線BFは、B(3,3)を通るので、
  3=3m+14/3  3倍する。
  9=9m+14
  m=−5/9
 よって、y=−5/9x+14/3
(答) m=−5/9、n=14/3

高校入試2019_放物線

(考え方)
 三角形の面積を、左と中央の方法で求める。
三角形の求積 3つの方法
(解答)
 四角形ADBF=△ABF+△ADB
 △ABF=6×(14/3−3)/2
      =3×5/3=5
 △ADB=(3+1/3)×6/2=10
 よってT、四角形ADBF=5+10=15
 点G の x 座標を x とすると、G は y=−x 上の点なので、
  G(x,−x)
 △BDGは、点A、C、G、Bをを通る長方形から´↓を引いた面積となる。
 △BDG=長方形−(
  長方形=(3+x)×6=6(x+3)
  =(x−1/3)×(3+x)/2=(x−1/3)(x+3)/2
  =(3−x)×(3+x)/2=(x+3)(3−x)/2
 △BDG=四角形ADBF=15 から、
 6(x+3)−{10+(x−1/3)(x+3)/2+(x+3)(3−x)/2}=15
 両辺に6をかける。
 36x+108−(60+3x+8x−3+27−3x)=90
 36x+108−(84+8x)=90
 28x+24=90
 28x=66  x=33/14 ・・・(答)


参考文献
読売新聞 2019年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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公立高校入試2019 計算2

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 公立高校入試の方程式の問題を解いてみましょう。

問題
3. 次の問いに答えてください。
 箱に入っているみかんを、何人かの子どもに同じ数ずつ分けることにしました。1人6個ずつ分けると8個足りず、1人5個ずつ分けると5個余ります。
 Aさんは、このとき箱に入っているミカンの個数を次のように求めました。【 (1) 】にあてはまる式を、【 (2) 】にあてはまる式を、それぞれ書いてください。
求め方
 箱に入っているみかんの個数を x 個として方程式をつくると、
 【     (1)      】
 となる。
 この方程式を解くと、解は問題に適しているので、
 箱に入っているみかんの個数は【 (2) 】個である。

答 え











答 え
3.
 子どもの人数を y 人とする。
 1人6個ずつ分けると8個足りず、1人5個ずつでは5個余るので、
  x=6y−8 から、y=(x+8)/6 ・・・
  x=5y+5 から、y=(x−5)/5 ・・・
  甅△ら、
  (x+8)/6=(x−5)/5 ・・・答(1)
 30をかけると、
  5x+40=6x−30
  x=70 ・・・答(2)


参考文献
読売新聞 2019年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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公立高校入試2019 図形

数学の話題 目次 >

 公立高校入試の図形の問題を解いてみましょう。角度と面積比を求めます。

問題
3. 次の問いに答えてください。
 下の図において、3点A、B、C は円O の周上の点で、AB=AC です。
 また、点Dは線分BO の延長と線分AC との交 点です。
  このとき、∠BDC の大きさを求めてください。
 高校入試2019_角度

 下の図のように、三角形ABC があり、辺ABの中点をDとします。
  また、 辺AC を3等分した点のうち,点Aに近 い点をE,点C に近い点をFとします。
 さらに,線分C Dと線分BEとの交点をG.、線分C D と線分BFとの交点をHとします。
 三角形BGDの面積をS、四角形EGHFの面積 をTとするとき,Sと'Tの比を最も簡単な整数の比で表してください。
 高校入試2019_面積比

答 え










答 え
3.

  高校入試2019_角度解答
 △OBC は半径が等しい二等辺三角形から、
  ∠OC B=46
  ∠BOC =180−46×2=88
 円周角の定理から、
  ∠A=88/2=44
 △ABC は二等辺三角形から、
  ∠C=(180−44)/2=68
 △DOC において、
  ∠DC O=68−46=22
  外角は、隣り合わない内角の和 から、
   88=∠BDC +22
   よって、∠BDC =88−22=66(°) ・・・(答)


(考え方) 詳細は、三角形の面積 規則集1 を参照ください。
 平行線と面積の定理 … 高さが等しい2つの三角形の面積比は、底辺の比に等しい。
 中点連結定理 … 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、底辺に平行で、底辺の1/2 になる。
 平行線と比の定理 … 相似比による。
 高校入試2019_面積比解答
 中点連結定理、相似比を使うため、点線の補助線を2本引く。
 △ABC で、中点連結定理から、DE//HF
  △ADC で、 Л△糧罎砲覆襦
  BH=◆滷押櫚 甅
 △DBHで、平行線と面積の定理から、
  △GBH=S×3/2=3S/2
 △EBFで、平行線と面積の定理から、
  △EHF=(3S/2+S)/3=5S/6
 S:T=S:(S+5S/6)
    =1:11/6
    =6:11 ・・・(答)


参考文献
読売新聞 2019年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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