中学から数学だいすき！

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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線分を分ける点の座標

　「放物線と三角形」の問題で、線分を分ける点の座標を求めました。ここでは、かんたんに座標を求める方法を考えてみましょう。

　（ｘ1，ｙ1）と（ｘ2，ｙ2）を結ぶ線分があります。この線分を ｍ：ｎ に分ける点（ｘ，ｙ）の座標を求めてみましょう。

　　　線分の分割点

　ｘ座標での２点間の距離は ｘ2−ｘ1 なので、ｘ2−ｘ1 を ｍ：ｎ に分ける点 ｘは、
　ｘ＝ｘ1＋（ｘ2−ｘ1）ｍ／（ｍ＋ｎ）　　通分すると、
　　＝（ｍｘ1＋ｎｘ1＋ｍｘ2−ｍｘ1）／（ｍ＋ｎ）
　　＝（ｎｘ1＋ｍｘ2）／（ｍ＋ｎ）　・・・��
　同様に、ｙ2−ｙ1 を ｍ：ｎ に分ける点 ｙは、
　ｙ＝（ｎｙ1＋ｍｙ2）／（ｍ＋ｎ）　・・・��
　ｍ：ｎ に分ける点 （ｘ，ｙ）は�　↓△�ら求まります。

規則
（ｘ1，ｙ1）と（ｘ2，ｙ2）を結ぶ線分を ｍ：ｎ に分ける点（ｘ，ｙ）は、
　ｘ＝（ｎｘ1＋ｍｘ2）／（ｍ＋ｎ）
　ｙ＝（ｎｙ1＋ｍｙ2）／（ｍ＋ｎ）

例題
　（ｘ1，ｙ1）と（ｘ2，ｙ2）を結ぶ線分の中点の座標を求めてください。

　ｍ＝ｎ＝１　なので、
　ｘ＝（ｎｘ1＋ｍｘ2）／（ｍ＋ｎ）＝（ｘ1＋ｘ2）／２
　ｙ＝（ｎｙ1＋ｍｙ2）／（ｍ＋ｎ）＝（ｙ1＋ｙ2）／２
　よって、（（ｘ1＋ｘ2）／２，（ｙ1＋ｙ2）／２）

（参考）
　ｘ1とｘ2 の中点 ｘは、ｘ1と ｘ2 の平均とみなすことができます。

練習
１．　点Ａ（−２，１）、点Ｂ（４，４）のとき、線分ＡＢの中点Ｍの座標を求めてください。

２．　問１の線分ＡＢを２：１に分ける点Ｎの座標を求めてください。

答 え











答 え
１．
　Ａ（−２，１）とＢ（４，４）の中点を（ｘ，ｙ）とすると、
　ｘ＝（−２＋４）／２＝１
　ｙ＝（１＋４）／２＝５／２
　よって、Ｍ（１，５／２）　・・・（答）

２．
　Ａ（−２，１）とＢ（４，４）を ２：１ に分ける点Ｎを（ｘ，ｙ）とすると、
　ｘ＝（−２×１＋４×２）／（２＋１）＝２
　ｙ＝（１×１＋４×２）／（２＋１）＝３
　よってＮ（２，３）


2008.07.05 Saturday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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２次関数の応用　規則集２

列車の加速
列車が ｘ秒間に進む距離を ｙｍとすると、
１）加速中の場合
　ｙ＝ａｘ2　の関係がある。
平均の速さは、加速して速さが変わるので意味がある。
ｘ1≦ｘ≦ｘ2 のとき、
　平均の速さ＝ａ（ｘ1＋ｘ2）
ｘ1≦ｘ≦ｘ1 のとき、
　瞬間の速さ＝ａ（ｘ＋ｘ）＝２ａｘ
２）等速の場合
　ｙ＝ａｘ＋ｂ　（ｂ： 原点から出発点までの距離）
　平均の速さ＝ａ （一定）
　なぜなら、
　平均の速さ＝変化の割合＝（ａｘ2−ａｘ1）／（ｘ2−ｘ1）＝ａ

車の速さと停止距離
時速 ｘｋｍで走っている車が、ブレーキをかけてから止まるまでの距離を ｙｍとすると、
　ｙ＝ａｘ2　の関係がある。
　ａ＝ｙ／ｘ2　で求めることができる。

風速と風圧
風速 ｘ（ｍ／秒）、風圧 ｙ（Ｐａ：パスカル）とすると、
　ｙ＝ａｘ2　の関係がある。
１パスカル：　１ｍ2 で１００ｇの紙を床に置いたくらいの圧力。


2008.07.04 Friday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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２次関数の応用　規則集１

３次関数はどうなる？
１次関数：　ｙ＝aｘ＋１　直線 ／　変化の割合＝ａ　　（ｘ1≦ｘ≦ｘ2）
２次関数：　ｙ＝aｘ2　放物線　Ｕ　変化の割合＝ａ（ｘ1＋ｘ2）
３次関数：　ｙ＝aｘ3 　　波形　〜　変化の割合＝ａ（ｘ12＋ｘ1ｘ2＋ｘ22）

ｘ軸との交点は、ｙ＝０ として ｘを解く。
例：　ｙ＝ｘ（ｘ2−１）
　ｘ（ｘ2−１）＝０　から、ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）＝０
　よって、ｘ＝−１，０，１
　交点は、（−１，０）　（０，０）　（１，０）

点の移動と面積
ｘの変域によって、ｙの関数が異なることがある。
例：　０≦ｘ≦２　のとき、ｙ＝ｘ2
　　　２≦ｘ≦４　のとき、ｙ＝ｘ＋２
　２つのグラフは、（２，４）でつながる。
　ｙの変域は、０≦ｙ≦６

ボールの落下
ボールが自然に落ちるとき、落下距離を ｙ（ｍ）、落下時間を ｘ（秒）とすると、
　ｙ＝４．９ｘ2 　（４．９を５とする場合もある）

ｘ1≦ｘ≦ｘ2 のとき、
　平均の速さ（＝変化の割合）＝４．９（ｘ1＋ｘ2）
ｘ1≦ｘ≦ｘ1 のとき、
　瞬間の速さ（＝平均の速さ）＝４．９（ｘ＋ｘ）＝９．８ｘ


2008.07.03 Thursday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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放物線と三角形

　放物線上にできる三角形の問題を解いてみましょう。はじめに、よく使われる三角形の性質を規則にまとめます。

規則
�� 平行線と面積の定理
　三角形の底辺が同じで高さが同じならば、三角形の面積は等しい（左端の図）。
�� 底辺の分割
　三角形の頂点から、底辺を ｍ：ｎ に分割する線を引くと、２つの三角形の面積は ｍ：ｎ にな（る（中央の図）。
�� 線分の中点
　線分の中点の距離は、ｘ座標の中点の距離と、ｙ座標の中点の距離になる（右端の図）。

　三角形の性質

例題１
　点Ａの座標は（−２，１）で、点 Ｂの ｘ座標は４です。ＡとＢは放物線 ｙ＝ａｘ2 上にあります。放物線の式を求めてください。

　　　２次関数と三角形

　Ａ（−２，１）を放物線の式に代入すると、
　１＝４ａ　から、ａ＝１／４
　よって、ｙ＝ｘ2／４　・・・（答）

例題２
　例題１の結果をもとに、点Ｂの座標を求めてください。

　ｙ＝ｘ2／４　で、ｘ＝４　なので、
　ｙ＝４2／４＝４
　よって、Ｂ（４，４）　・・・（答）

練習
　例題１、例題２の結果をもとに、次の問いに答えてください。

１．　線分ＡＢの式を求めてください。

２．　線分ＡＢの中点Ｍの座標をを求めてください。

３．　原点Ｏを通り△ＡＯＢの面積を２等分する直線の式を求めてください。

４．　原点Ｏを通る直線と、線分ＡＢの交点をＮとします。Ｎを通り、△ＡＯＮ：△ＢＯＮ＝２：１　にする直線の式を求めてください。

答 え











答 え
１．
　Ａ（−２，１）、Ｂ（４，４）を通る直線の式を、ｙ＝ｐｘ＋ｑ　とする。
　１＝−２ｐ＋ｑ　・・・��
　４＝４ｐ＋ｑ　・・・��
　�◆櫚，�ら、３＝６ｐ　ｐ＝１／２
　�△�ら、ｑ＝４−４ｐ＝２
　よって、ｙ＝ｘ／２＋２　・・・（答）

２．
　Ａ（−２，１）、Ｂ（４，４）の中点を（ｘ，ｙ）とすると、
　ＡＢの ｘ座標の距離の半分は、
　｛４−（−２）｝／２＝３　よって、ｘ＝−２＋３＝１
　ＡＢの式　ｙ＝ｘ／２＋２　に ｘ＝１ を代入すると、
　ｙ＝１／２＋２＝５／２
　よって、Ｍ（１，５／２）　・・・（答）
（別解）
　ＡＢの ｙ座標の距離の半分は、
　（４−１）／２＝３／２　よって、ｙ＝１＋３／２＝５／２
　よって、Ｍ（１，５／２）　・・・（答）

３．
　求める直線は原点を通り、Ｍ（１，５／２）を通るので、
　ｙ＝（５／２）ｘ　　・・・（答）

４．
　ＮはＡＢを２：１に分ける点なので、
　ＡＮの ｘ座標の距離は、｛（４−（−２）｝（２／３）＝４
　Ａの ｘ座標は−２なので、Ｎの ｘ座標＝４−２＝２
　ＡＢの式は、ｙ＝ｘ／２＋２　なので、ｘ＝２ を代入すると、
　ｙ＝２／２＋２＝３
　Ｎ（２、３）なので、ｙ＝（３／２）ｘ　・・・（答）

（参考）
�� 平行線と面積の定理を使う問題　→　放物線と直線の交点２


2008.07.02 Wednesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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タイルの数

　タイルの並べ方をもとに、タイルの数を求めてみましょう。

例題１
　タイルを１枚置きます。次に、２枚、３枚、・・・ と斜めに置いて増やしていきます。置く枚数を ｘとして、タイルの総数 ｙを ｘで表してください。

　□　　□□　　□□□
　　　　□　　　□□
　　　　　　　　□

　ｘと ｙの関係を調べてみましょう。
　ｘ＝１　のとき、ｙ＝１
　ｘ＝２　のとき、ｙ＝１＋２
　ｘ＝３　のとき、ｙ＝１＋２＋３
　　　　　　　：
　ｘ＝ｎ　のとき、ｙ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ
　　　　　　　　　　ｙ＝ｎ＋・・・＋３＋２＋１
　ｙの式をたすと、２ｙ＝（１＋ｎ）ｎ　から、ｙ＝ｎ（ｎ＋１）／２
　よって、ｙ＝ｘ（ｘ＋１）／２　・・・（答）

例題２
　例題１で、タイルの総数が７８枚になるのは、タイルを斜めに何枚置いたときですか。

　７８＝ｘ（ｘ＋１）／２　から ｘを求めます。
　ｘ2＋ｘ−１５６＝０　を因数分解します。
　　１５６＝２×７８　　差≠１
　　　　　＝４×３９　　差≠１
　　　　　＝１２×１３　差＝１
　（ｘ＋１３）（ｘ−１２）＝０
　ｘ≧１　なので、ｘ＝１２ （枚）　・・・（答）

練習
１．　タイルを１枚置きます。次に、右と下で囲むように、３枚、５枚、・・・ とタイルを置いていきます。置く枚数を ｘとして、タイルの総数 ｙをｘで表してください。

　□　　□□　　□□□
　　　　□□　　□□□
　　　　　　　　□□□


２．　タイルを２枚置きます。次に、タイルを右と下で囲むように、４枚、６枚、・・・ とタイルを置いていきます。置く枚数を ｘとして、タイルの総数 ｙを ｘで表してください。また、タイルの総数が５６枚になるのは何枚置いたときですか。

　□□　　□□□　　□□□□
　　　　　□□□　　□□□□
　　　　　　　　　　□□□□

答 え











答 え
１．
　ｘ＝１　のとき、ｙ＝１
　ｘ＝３　のとき、ｙ＝１＋３＝２2
　ｘ＝５　のとき、ｙ＝１＋３＋５＝３2
　ｘ＝７　のとき、ｙ＝１＋３＋５＋７＝４2
　　　　　　　：
　ｘ＝ｎ　のとき、ｙ＝１＋３＋５＋・・・＋ｎ＝｛（ｎ＋１）／２｝2
　よって、ｙ＝｛（ｘ＋１）／２｝2 （枚）　・・・（答）

２．
　ｘ＝２　のとき、ｙ＝２
　ｘ＝４　のとき、ｙ＝２＋４
　ｘ＝６　のとき、ｙ＝２＋４＋６
　ｘ＝８　のとき、ｙ＝２＋４＋６＋８
　　　　　　　：
　ｘ＝ｎ　のとき、ｙ＝２＋４＋６＋・・・＋ｎ　　← 項目数はｎ／２個
　　　　　　　　　　ｙ＝ｎ＋・・・＋６＋４＋２
　ｙの式をたすと、２ｙ＝（２＋ｎ）（ｎ／２）
　ｙ＝ｎ（ｎ＋２）／４
　よって、ｙ＝ｘ（ｘ＋２）／４ （枚）　・・・（答）

　ｙ＝５６　のとき、ｘを求める。
　５６＝ｘ（ｘ＋２）／４
　ｘ2＋２ｘ−４×５６＝０　を因数分解する。
　　４×５６＝８×２８　　差≠２
　　　　　　 ＝１６×１４　差＝２
　（ｘ＋１６）（ｘ−１４）＝０
　ｘ≧２　なので、ｘ＝１４ （枚）　・・・（答）


2008.07.01 Tuesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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風速と風圧

　風速と風圧の関係を式で表し、身のまわりの現象と比べてみましょう。

例題
　下図は風速 ｘ（ｍ／秒）と風圧 ｙ（Ｐａ：パスカル）の実験結果です。グラフの形から、ｙは２次関数のようです。ｘ＝１０ のときの ｙの値をもとに、グラフの式を求めてください。また、ｘ＝２０ と ｘ＝３０ の値をもとに、式を検証してください。

　　　風速と風圧

　ｙ＝ａｘ2 として、比例定数 ａを求めます。
　（１０，５０） を通るので、５０＝１０2ａ
　ａ＞０ なので、ａ＝１／２
　ｙ＝ｘ2／２ を検証します。
　（２０，２００） で、２００＝（１／２）×２０2 が成り立つ。
　（３０，４５０） で、４５０＝（１／２）×３０2 が成り立つ。
　よって、ｙ＝ｘ2／２　・・・（答）

練習
　例題の関係をもとに、問いに答えてください。

１．　インターネットで調べたところ、風速（ｍ／秒）による影響は次のとおりです〔１〕。この表に風圧（Ｐａ）を追加してください。

風速 風圧 影響
１０ ？？？ 傘がさせない
２０ ？？？ トタンや看板が飛び始める
３０ ？？？ 小枝が折れる
４０ ？？？ 瓦が飛び、アンテナが倒れる
５０ ？？？ 木造家屋が倒壊する

２．　風圧が３倍になりました。風速は何倍になりますか。

答 え











答 え
１．

風速 風圧 影響
１０ ５０ 傘がさせない
２０ ２００ トタンや看板が飛び始める
３０ ４５０ 小枝が折れる
４０ ８００ 瓦が飛び、アンテナが倒れる
５０ １２５０ 木造家屋が倒壊する

　ｘ＝４０　のとき、ｙ＝４０2／２＝８００
　ｘ＝５０　のとき、ｙ＝５０2／２＝１２５０

２．
　ｙ＝ｐ　のとき、ｐ＝ｘ2／２　なので、ｘ＝√（２ｐ）
　ｙ＝３ｐ　のとき、３ｐ＝ｘ2／２　なので、ｘ＝√（６ｐ）
　√（６ｐ）／√（２ｐ）＝√３ （倍）　・・・（答）

（参考）
　「災害への備え」では、風速の目安は次のようになっています〔２〕。

風速 影響
１０〜１５ 風に向かって歩きにくい
１５〜２０ 風に向かって歩くことができない
２０〜３０ しっかり身体を確保しないと転倒する
３０〜 屋根が飛び、木造住宅の全壊が始まる

参考文献
１．風速と風圧の関係　（２００８年６月３０日参照）
２．災害への備え　（２００８年６月３０日参照）


2008.06.30 Monday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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車の速さと停止距離

　走っている車がブレーキをかけて止まる場合の、速さと距離を求めてみましょう。

例題１
　時速 ｘｋｍで走っている車がブレーキをかけてから止まるまでの距離 ｙｍは、ｘの２乗に比例するものとします。
　時速４０ｋｍで走っている車がブレーキをかけたところ、２０ｍ進んで止まりました。ｘ と ｙの関係を式で表してください。

　関係式を ｙ＝ａｘ2 として、比例定数 ａを求めます。
　ｘ＝４０　のとき、ｙ＝２０ なので、
　２０＝１６００ａ　から、ａ＝１／８０
　よって、ｙ＝ｘ2／８０　・・・（答）

例題２
　例題１の車がブレーキをかけてから止まるまでの距離は４５ｍでした。時速何ｋｍで走っていましたか。

　４５＝ｘ2／８０　から、ｘ2＝３６００
　ｘ≧０　なので、ｘ＝６０ （ｋｍ／時）　・・・（答）

練習
　時速 ｘｋｍで走っている車がブレーキをかけてから止まるまでの距離 ｙｍは、ｙ＝ｘ2／８０　の関係になっています。次の問いに答えてください。
１．　車の速さを２倍にすると、止まるまでの距離は何倍になりますか。

２．　車がブレーキをかけて目印の地点で止まろうとしました。ところが、目印を４０ｍこえて止まりました。車の速さが時速２０ｋｍ少なければ目印の地点で止まることができました。ブレーキをかけるまで、車は時速何ｋｍで走っていましたか。また、目印までの距離は何ｍですか。分数になる場合は、小数で答えてください。

答 え











答 え
１．
　ｘ＝ｓ　のとき、ｙ＝ｘ2／８０＝ｓ2／８０
　ｘ＝２ｓ　のとき、ｙ＝（２ｓ）2／８０＝４（ｓ2／８０）
　よって ４ （倍）　・・・（答）

２．
　車の速さを ｖｋｍ／時、目印までの距離をｓｍとする。
　４０ｍこえたので、ｓ＝ｖ2／８０−４０　・・・��
　時速が２０ｋｍ少ないと、目印の地点で止まれるので、
　ｓ＝（ｖ−２０）2／８０　・・・��
　�　甅△�ら、
　ｖ2／８０−４０＝（ｖ−２０）2／８０　　両辺に８０をかけると、
　ｖ2−３２００＝ｖ2−４０ｖ＋４００
　４０ｖ＝３６００　よって、ｖ＝９０
　�△�ら、ｓ＝（９０−２０）2／８０＝２４５／４＝６１．２５
（答）　９０ｋｍ／時　　６１．２５ｍ


2008.06.27 Friday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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