中学から数学だいすき！

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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規則性を見つける２　規則集３

三角形の数
１から連続する ｎ 番目の奇数は２ｎ−１。
例：
　　三角形の数

　ｎ 番目の下段にある三角形の数をＮとすると、
　Ｎ＝２ｎ−１
　Ｎ＝９９ （個） になるのは、ｎ＝（９９＋１）／２＝５０ （番目）

ｎ番目 １ ２ ３ ４ ・・・ ｎ
下段Ｎ １ ３ ５ ７ ・・・ ？

三角形の総数
１から連続する奇数の和は自然数の２乗。
例：
　　　三角形の総数

　ｎ 段目の三角形の総数をＳとすると、
　Ｓ＝１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ２

ｎ段目 １ ２ ３ ４ ・・・ ｎ
下段Ｎ １ ３ ５ ７ ・・・ ２ｎ−１
総数Ｓ １ ４ ９ １６ ・・・ ？
　ｎ＝１ のとき、Ｓ＝１＝１２
　ｎ＝２ のとき、Ｓ＝１＋３＝４＝２２
　ｎ＝３ のとき、Ｓ＝１＋３＋５＝９＝３２
　ｎ＝４ のとき、Ｓ＝１＋３＋５＋７＝１６＝４２　

同型の図から奇数の和を計算できる。

　奇数の和

　三角形を丸で表すと、４段目までの丸の総数は、
　Ｓ＝１＋３＋５＋７　（左の図）
　Ｓ＝４２　（右の図）
　１＋３＋５＋７＝４２
　一般化すると、
　Ｓ＝１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ２


2012.01.26 Thursday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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規則性を見つける２　規則集２

規則性の視覚化
（ｎ，Ｎ）の規則性が分からないときは、グラフをかいてみる。
（手順）
１　（ｎ，Ｎ）の概略グラフをかき、関係を視覚化する。
２　グラフから関数を仮定する。　
　　例：　Ｎ＝ａｘ＋ｂ　　Ｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ
３　データ（ｎ，Ｎ）から連立方程式を立て、係数　ａ　ｂ ･･･　を求める。
４　Ｎの式を、ほかの（ｎ，Ｎ）データで検証する。
５　検証結果が正しければ、規則性の式とする。
例：　ｎ 行 ｎ 列の規則性
１列目 ２列目 ３列目 ４列目 ・
１行目 １ ４ ９ １６ ・
２行目 ２ ３ ８ １５ ・
３行目 ５ ６ ７ １４ ・
４行目 １０ １１ １２ １３ ・
・ ・ ・ ・ ・ ・

ｎ 行 ｎ 列の数をＮとすると、（ｎ，Ｎ）の関係は、次のＮとの差が、２，４，６と増えている。しかし、ｎ の式はすぐ分からない。

ｎ １ ２ ３ ４ … ｎ
Ｎ １ ３ ７ １３ … ？

そこで、（ｎ，Ｎ）のおよそのグラフをかいてみる。

　　　規則性の視覚化

　（ｎ，Ｎ）のグラフは、２次関数らしいので、
　Ｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ　として、係数 ａ ｂ ｃ を求める。
　（１，１）　（２，３）　（３，７）　なので、
　　　ａ＋　ｂ＋ｃ＝１　・・・��
　　４ａ＋２ｂ＋ｃ＝３　・・・��
　　９ａ＋３ｂ＋ｃ＝７　・・・��
　
　��−�△�ら、　５ａ＋ｂ＝４　・・・��
　�◆櫚，�ら、　３ａ＋ｂ＝２　・・・��
　�ぁ櫚イ�ら、　２ａ＝２　　ａ＝１
　�い�ら、ｂ＝４−５ａ＝−１
　�，�ら、ｃ＝１−ａ−ｂ＝１−１−（−１）＝１
　よって、Ｎ＝ｎ２−ｎ＋１　・・・��

　�Δ亮阿髻◆複粥ぃ隠魁砲埜‐擇垢襦�
　ｎ＝４　のとき、Ｎ＝１６−４＋１＝１３　（正しい）
よって（ｎ，Ｎ）の規則性は、Ｎ＝ｎ２−ｎ＋１

石の数
　Ｓ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ　のとき、
　Ｓ＝ｎ＋・・・＋３＋２＋１
２Ｓ＝（１＋ｎ）×ｎ
　Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２
　よって、
　Ｓ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

（参考）　数学は美しい
　１２＋２２＋３２＋・・・ｎ２＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
　１３＋２３＋３３＋・・・ｎ３＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝２


2012.01.24 Tuesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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規則性を見つける２　規則集１

表中の関係
規則性： 要素間の変わらない関係、と考えることができる。
例：　さいころの規則性

　　　　さいころの目

　さいころの表の目を ｎ 、裏の目をＮとすると、
　要素（ｎ，Ｎ）の規則性は、Ｎ＝７−ｎ

ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｎ ６ ５ ４ ３ ２ １

表の数字の並び
表は行（段）と列からできている。

１列目 ２列目 ３列目 ４列目 ・
１段目 １ ４ ９ １６ ・
２段目 ２ ３ ８ １５ ・
３段目 ５ ６ ７ １４ ・
４段目 １０ １１ １２ １３ ・
・ ・ ・ ・ ・ ・

１段目 ｎ 列目の数をＮとすると、
要素（ｎ，Ｎ）の規則性は、Ｎ＝ｎ２

ｎ １ ２ ３ ４ … ｎ
Ｎ １ ４ ９ １６ … ｎ２


2012.01.22 Sunday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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規則性を式で表す

　表に書かれた ｎ 番目の数の規則性を、ｎ の式で表してみましょう。

練習　下の表は、 ｎ 番目の数Ｎを示しています。【 ア 】〜【 カ 】の数Ｎを、 ｎ の式で表してください。

ｎ番目 １ ２ ３ ４ ・・・ ｎ
Ｎ １ ４ ９ １６ ・・・ ア

ｎ番目 １ ２ ３ ４ ・・・ ｎ
Ｎ １ ３ ５ ７ ・・・ イ

ｎ番目 ２ ３ ４ ５ ・・・ ｎ
Ｎ ５ ７ ９ １１ ・・・ ウ

ｎ番目 ２ ３ ４ ５ ・・・ ｎ
Ｎ ３ ５ ７ ９ ・・・ エ

ｎ番目 ３ ４ ５ ６ ・・・ ｎ
Ｎ ３ ６ １０ １５ ・・・ オ
　ｎ＝３ のとき、Ｎ＝２＋１＝３
　ｎ＝４ のとき、Ｎ＝３＋２＋１＝６
　ｎ＝５ のとき、Ｎ＝４＋３＋２＋１＝１０
　ｎ＝６ のとき、Ｎ＝５＋４＋３＋２＋１＝１５　

ｎ番目 １ ２ ３ ４ ・・・ ｎ
Ｎ １ ３ ７ １３ ・・・ カ

答 え










答 え
ア
　Ｎ＝ｎ２　　→　表の数の並び　三角形の数　数列の関係

イ
　ｎ番目のＮは、１から、２ずつ（ｎ−１）回増えるので、
　Ｎ＝１＋２（ｎ−１）＝２ｎ−１　　→　三角形の総数

ウ
　ｎ＝１　のとき、Ｎ＝３　なので、
　Ｎ＝３＋２（ｎ−１）＝２ｎ＋１　　→　図形の周の長さ

エ
　ｎ＝１　のとき、Ｎ＝１なので、
　Ｎ＝１＋２（ｎ−１）＝２ｎ−１　　→　交互に囲む石

オ
　ｎ＝ｎ　のとき、
　Ｎ＝（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋２＋１　なので、
　Ｎ＝１＋２＋・・・＋（ｎ−２）＋（ｎ−１）
２Ｎ＝ｎ（ｎ−１）
　Ｎ＝ｎ（ｎ−１）／２　　→　対角線の数　（類題）石の数

カ
　　　規則性の視覚化

　次のＮとの差が、２、４、６ と増えている。
　（ｎ，Ｎ）のグラフは、２次関数らしいので、
　Ｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ　として、係数 ａ ｂ ｃ を求める。
　（１，１）　（２，３）　（３，７）　なので、
　　　ａ＋　ｂ＋ｃ＝１　・・・��
　　４ａ＋２ｂ＋ｃ＝３　・・・��
　　９ａ＋３ｂ＋ｃ＝７　・・・��
　
　��−�△�ら、　５ａ＋ｂ＝４　・・・��
　�◆櫚，�ら、　３ａ＋ｂ＝２　・・・��
　�ぁ櫚イ�ら、　２ａ＝２　　ａ＝１
　�い�ら、ｂ＝４−５ａ＝−１
　�，�ら、ｃ＝１−ａ−ｂ＝１−１−（−１）＝１
　よって、Ｎ＝ｎ２−ｎ＋１　・・・��

　�Δ亮阿髻◆複粥ぃ隠魁砲埜‐擇垢襦�
　ｎ＝４　のとき、Ｎ＝１６−４＋１＝１３　（正しい）
（答）　Ｎ＝ｎ２−ｎ＋１　　→　規則性の視覚化


2012.01.21 Saturday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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対角線の数

　正多角形の対角線の数を求めてみましょう。

練習
　下の表は、正 ｎ 角形の線の総数Ｓと、対角線の数Ｎの関係を表したものです。線の総数とは、辺の数と対角線の合計数で、１つの頂点から反時計回りに重複しないように数えたものです。例えば正４角形の場合、３本、２本、１本なので、線の総数は６本です。

　　　対角線の数

正ｎ角形 ３ ４ ５ ６ ・・・
線の総数Ｓ ３ ６ １０ ア ・・・
対角線の数Ｎ ０ ２ ５ イ ・・・

１．　【 ア 】 【 イ 】 にあてはまる数を求めてください。

２．　線の総数Ｓを ｎ の式で表してください。

３．　対角線の数Ｎを ｎ の式で表してください。

４．　正８角形の対角線は何本ですか。

５．　対角線の数が２５２本になるのは、正何角形ですか。

答 え










答 え
１．
ア　Ｓ＝５＋４＋３＋２＋１＝１５ （本）
イ　Ｎ＝Ｓ−ｎ＝１５−６＝９ （本）

２．
　Ｓ＝（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋２＋１　なので、
　Ｓ＝１＋２＋・・・＋（ｎ−２）＋（ｎ−１）
２Ｓ＝ｎ（ｎ−１）
　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２ （本）　・・・（答）

３．
　Ｎ＝Ｓ−ｎ＝ｎ（ｎ−１）／２−ｎ＝ｎ（ｎ−３）／２
（答）　Ｎ＝ｎ（ｎ−３）／２ （本）　　→ 問３ 別解

（参考）
　正 ｎ 角形と対角線の数の関係を（ｎ，Ｎ）とすると、
　（ｎ，Ｓ）と（Ｓ，Ｎ）の関係から、（ｎ，Ｎ）を求めています。

４．
　Ｎ＝ｎ（ｎ−３）／２
　　＝８（８−３）／２＝２０ （本）　・・・（答）

５．
　Ｎ＝ｎ（ｎ−３）／２＝２５２
　ｎ２−３ｎ−５０４＝０
　５０４＝２３×３２×７　なので、因数分解すると、
　（ｎ＋２１）（ｎ−２４）＝０
　ｎ＞０　なので、ｎ＝２４
（答）　正２４角形

（別解）　不等式で解く
　ｎ（ｎ−３）／２＜（ｎ＋３）（ｎ−３）／２　なので、
　２５２＜（ｎ２−９）／２
　ｎ２＞５０４＋９＝５１３
　ｎ＞√５１３＝１０√５．１３＞１０√５＝２２．３・・・
　ｎ＝２３　とすると、ｎ（ｎ−３）／２＝２３０≠２５２
　ｎ＝２４　とすると、ｎ（ｎ−３）／２＝２５２　になる。
（答）　正２４角形

（問３ 別解）　表から式を求める
　（ｎ，Ｎ）をグラフにすると、２次関数のようなので、
　Ｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ　とする。

　　規則性のグラフ

　（３，０）、（４，２）、（５，５）から、
　　９ａ＋３ｂ＋ｃ＝０　・・・��
　１６ａ＋４ｂ＋ｃ＝２　・・・��
　２５ａ＋５ｂ＋ｃ＝５　・・・��

　�◆櫚，�ら、７ａ＋ｂ＝２　・・・��
　��−�△�ら、９ａ＋ｂ＝３　・・・��
　�ァ櫚い�ら、２ａ＝１　ａ＝１／２
　�い�ら、ｂ＝２−７ａ＝−３／２
　�，�ら、ｃ＝−９ａ−３ｂ＝−９／２＋９／２＝０
　よって、
　Ｎ＝ｎ２／２−３ｎ／２＝ｎ（ｎ−３）／２

　この式を、（６，９）で確かめる。
　Ｎ＝６（６−３）／２＝９　となっている。
（答）　Ｎ＝ｎ（ｎ−３）／２


2012.01.18 Wednesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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