中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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無理数 規則集4

無理数の計算 >

無理数−式の値2
乗法公式を利用して式の値を求める。
 (a+b)(a-b)=a2-b2  和と差の積
 (a+b)2=a2+2ab+b2  和の2乗
 (a-b)2=a2-2ab+b2  差の2乗

例: 3a+2b=x、3a-2b=y のとき、1〜3の式の値を求める。
1. x2-y2
2. x2+y2
3. x4-y4

1.  x2-y2
=(x+y)(x-y)
=23a×22b
=(46)ab
2.  x2+y2
=(x+y)2-2xy ・・・
ここで、
x+y=23a
xy=3a2-2b2
=12a2-2(3a2-2b2)
 =6a2+4b2
3.  x4-y4
=(x2+y2)(x2-y2)
=(6a2+4b2)(46)ab
=246a3b+166ab3

無理数−整数・小数部分
根号のつく数の整数部分aと小数部分bの求め方
例:25
無理数だけで表す。
 25=20
2乗すると20に近い数で範囲をしぼる。
 16=4<20<25=5
 4<20<5
整数部分aと小数部分bで表す。
 20=4.…=a+b
  a=4 b=20-4

(参考) 25 で不等式をつくると、整数部分が特定できない。
 1=1<5<9=3
 1<5<3 2倍する。
 2<25<6
 整数部分は、a=2,3,4,5 の可能性があり、特定できない。

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無理数 規則集3

無理数の計算 >

無理数−乗法公式
1  (a+b)(a-b)=a2-b2  和と差の積
2  (a+b)2=a2+2ab+b2  和の2乗
3  (a-b)2=a2-2ab+b2  差の2乗
4  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab@  同類項をまとめる@
5  (a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by  順に掛ける

例: (3-1/3)2+(6-2)(3+3)/2 の式の値
(都立日比谷高)

与式=(9-6/3+1/3)+(3-1)(3+3) 有理化
  =(9-23+1/3)+3(3-1)(3+1) 2乗の差
  =28/3-23+23
  =28/3

無理数−式の値1
対称式を利用して式の値を求める。
 対称式 文字(x,y)を交換しても成り立つ式。
 対称式は、和(x+y)と積xyの形に変形できる。
例: x2y+xy2=xy(x+y)
1/x+1/y=(x+y)/xy
x2-xy+y2=(x+y)2-3xy

練習 x+y=3+2、xy=3-2 のとき、次の式の値を求めてください。
1. x2+y2
2. 1/x2+1/y2
3. x/y-y/x

答 え










答 え
1.  x2+y2
=(x+y)2-2xy
=(5+26)-2(3-2)
=5+22-23+26
2.  1/x+1/y
=(x+y)/(xy)
=(3+2)/(3-2) 分母の有理化
=(3+2)(3-2)/(3-2)
=1
3.  x/y-y/x
=(x2-y2)/(xy)  和と差の積
=(x+y)(x-y)/(xy)
=1/(3-2)  分母の有理化
=3+2

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無理数 規則集2

無理数の計算 >

無理数−加減乗除
 (a)2=(a2)=a  根号の2乗
 √(a2b)=ab   根号内の最小化
 2a+3a-a=4a   たし算・ひき算
 √√b=(ab)  かけ算
 √a/√b=(a/b)  わり算
 1/a=a/(a×√a)=a/a@  分母の有理化@

例: (1/2)(6+24)  係数を分配する。
  =(6/2)+(24/2)
  =3+12  根号内を最小にする。
  =3+23
  =33

無理数−分母の有理化
分母の有理化:分母から根号をなくし有理数にすること。
方法1:分母と同じ数をかける。
 1/a  分子と分母にa をかける。
=a/(a)=a/a
方法2:分母が2乗の差になる式をかける。
 1/(a+b)  分子と分母に (a-b) をかける。
=(a-b)/{(a+b)(a-b)}
=(a-b)/(a2-b2) ← 和と差の積=2乗の差
=(a-b)/(a-b)

例1: 3/3+43-27  分母を有理化する。
   =33/(3)+43-33
   =3+43-33
   =23

例2: 6/(5+3)  分母を有理化する。
   = 6(5-3)/{(5+3)(5-3)}
   =6(5-3)/(52-32)
   =35-33

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無理数 規則集1

無理数の計算 >

無理数ー数の大小
a,b,c が正のとき、
a<b<c ⇔ a2<b2<c2  (⇔:双方向の「ならば」)
数の大小
例: 7、3、6/6 の大小
 72=7
 32=9
 (6/6)2=6 から、
 6/6<7<3

無理数−自然数の値
根号内が2乗の数のとき、その数を根号の外に出せる。
 (a2b)=ab
例1:
 36=62=6
 50=(52×2)=52
 (n+1)2=n+1

例2:
 (153n) の値が整数となるような自然数nが小さいものから5番目の数を求める。
 (153n)=(32n)=3n
 n=12,22,32,42,52,… から、
 5番目は、n=25 ・・・(答)

例3:
 a が正の整数であるとき、(15-2a) の値が整数となるような a の値をすべて求める。
 根号内は0以上なので、15-2a≧0 2a≦15 a≦7.5
 aは正の整数から、a=1,2,3,…,7
 15-2a が2乗の数となるaを求める。
 a=1: 15-2a=13 不適
 a=2: 15-2a=11 不適
 a=3: 15-2a=9
 a=4: 15-2a=7  不適
 a=5: 15-2a=5  不適
 a=6: 15-2a=13 不適
 a=7: 15-2a=1
(答) a=3,7

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無理数−方程式

無理数の計算 >

 無理数を含む方程式を解いてみましょう。

例題
 次の連立方程式から、xとxyを求めてください。
{ 5x+3y=1  ・・・
3x-5y=1  ・・・
(日本大習志野高)

yを消去する。
 5:5x+15y=5
3:3x-15y=3
 2式の和から、
 8x=3+5
 x=(3+5)/8 ・・・
xを消去する。
 3:15x+3y=3
5:15x-5y=5
 2式の差から、
 8y=3-5
 y=(3-5)/8 ・・・
 澂◆xy=(3+5)/8×(3-5)/8
     =(3-5)/64=-1/32
(答) x==(3+5)/8、y=-1/32


練習
 次の方程式を解いてください。
1.  (0.75)=(3)x        
(和洋国府台女子高)
2.
{ x-y=5
x2-y2=15
(城北高)
3.
{ x+y=2
3x-2y=82
(東工大附属科学技術高)
4.
{ (5+2)x+(5-2)y=5
(5-2)x-(5+2)y=2
(慶應義塾高)
5.  2次方程式 x2-2x+1-2a=0 の1つの解が
x=1+2 のとき、定数aの値を求めてください。
(国学院大久我山高)
答 え










答 え
1.  0.75=(3)x
 x=(0.75/3)
  =0.25=(1/4)=1/2 ・・・(答)
2.
{ x-y=5  ・・・
x2-y2=15  ・・・
◆(x+y)(x-y)=15 ,鯊綟する。
 5(x+y)=15
 x+y=15/5=35 ・・・
yを消去する。
+:2x=45 x=25
:y=35-x=5
(答) x==25、y=5
3.
{ x+y=2  ・・・
3x-2y=82  ・・・
yを消去する。
 2+◆5x=102 x=22
 y=2-x=-2
(答) x=22、y=-2
4.
{ (5+2)x+(5-2)y=5  ・・・
(5-2)x-(5+2)y=2  ・・・
yを消去する。
 (5+2):(5+2)2x+3y=5(5+2)
◆(5-2):(5-2)2x-3y=2(5-2)
 2式の和から、
 18x=1+45 x=(1+45)/18
xを消去する。
 (5-2):x+(5-2)2y=5(5-2)
◆(5+2):x-(5+2)2y=2(5+2)
 2式の差から、
 18y=1-45 y=(1-45)/18
(答) x=(1+45)/18、y=(1-45)/18
5.  x2-2x+1-2a=0  (x-1)2 にする。
 x2-2x+1=2a
 (x-1)2=2a ・・・
 解の1つが、x=1+2 から、
 x-1=2  ,紡綟する。
 2=2a a=1 ・・・(答)

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