中学から数学だいすき!

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座標で解く(線分長5)

座標で解く 目次 >

 正三角形の辺の一部の長さを求めてみましょう。はじめに例題を通して、2点間の距離の求め方と、内分点の座標の求め方を確認します。

例題
 下図の直角三角形ABCで、A(x2,y2)、 B(x1,y2)のとき、
1. 線分ABの長さを求めてください。
2. 線分ABをa:bに内分する点(x,y)の座標を求めてください。 
  座標で解く_2点間の距離と中点
1.
 三平方の定理から、
 AB2=BC2+CA2
  =(x2-x1)2+(y2-y1)2
 AB={(x2-x1)2+(y2-y1)2} ・・・(答)
2.
 ABの内分点が(x,y)のとき、、
 平行線と比の定理(または相似)から、
 (x-x1):(x2-x)=a:b
  a(x2-x)=b(x-x1)
  ax2-ax=bx-bx1
  x=(bx1+ax2)/(a+b) ・・・(答)
 同様にして、
  y=(by1+ay2)/(a+b) ・・・(答)
 内分点の(x,y)

練習
 図のように、1辺の長さが 8cmの正三角形ABCの辺上 に、CD=2cm、AE=2cmとなるように2点D、Eをとります。線分ADと線分BEの交点をPとします。次の問いに答えてください。
1. △ABC の面積を求めてください。
2. 線分ADの長さを求めてください。
3. 線分APの長さを求めてください。
  座標で解く_正三角形
(東京電機大高)
答 え












答 え
(考え方) (3)
直線ADの式を求める。
点Aと点Cから、ACを2:6に内分する点Eの座標を求める。
直線BEの式が分かる。
直線ADとBEの式から、交点Pを求める。
APの距離を求める。
 座標で解く_正三角形_解答
1.
 △ABC=8×43÷2=163 (cm2) ・・・(答)
2.
 三平方の定理から、
 AD2=(43)2+(6-4)2=48+4=52
 AD=52=213 (cm) ・・・(答)
3.
 ADの式を求める。
 傾きは、-43/2=-23
 y=(-23)x+b とすると、D(6,0)を通るので、
 0=-123+b b=123
 よって、y=(-23)x+123 …
 Eの座標を求める。
 E(x,y)は、ACを2:6=1:3に内分するので、
 A(4,43) C(8,0)
 x=(4×3+8×1)/4=5
 y=(43×3+0×1)/4=33
 よって、E(5,33)
 BEの式を求める。
 傾きは、33/5 から、
 y=(33/5)x …
 ´△ら、交点P(x,y)を求める。
 (-23)x+123=(33/5)x  3でわる。
 -2x+12=(3/5)x  5をかける。
 -10x+60=3x x=60/13
 △ら、y=(33/5)x=(33/5)(60/13)=363/13
 よって、P(60/13,363/13) …
 APを求める。
 とA(4,43)から、
 AP2=(60/13-4)2+(363/13-43)2
   =(8/13)2+(-163/13)2
   =(8/13)2+(23×8/13)2
   =(8/13)2(1+12)
 よって、AP=813/13 (cm) ・・・(答)

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座標で解く(線分長4)

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 三角形内の線分の長さを求めてみましょう。

例題
 下図の直角三角形に内接する正方形の1辺の長さを求めてください。
座標で解く_正方形の辺
(駿台甲府高)

(考え方)
直線の式や交点が求めやすいように、原点を決める。
正方形の1辺をaとすると、(a,a)は斜辺の式を満たす。
 斜辺の式を求める。
 傾きは、-3/4  y切片は3から、
  y=(-3/4)x+3
 正方形の頂点(a,a)はこの直線上にあるので、
  a=(-3/4)a+3  4倍する。
  4a=-3a+12
  a=12/7 (cm) ・・・(答)

練習
 下図のように、AB=5、BC=4、CA=3 となる△ABCがあります。∠Cを3等分する直線と辺ABとの交点を点Aに近い方からJ順にD、Eとするとき、次の問いに答えてください。
1.∠BCEの大きさを求めてください。
2.CEの長さを求めてください。
  座標で解く_角3等分
(巣鴨高)
答 え












答 え
(考え方)
直線の式や交点を求めやすくするため、Cを原点にする。
斜辺BAの式と、CEの式から交点Eの座標を求める。
三平方の定理から、CEが求まる。
 座標で解く_角3等分_解答
1.
 3辺の長さから、△ABCは直角三角形で、∠C=90°
 ∠BCE=90/3=30 (°) ・・・(答)
2.
 斜辺BAの式を求める。
 傾きは、-4/3  y切片は4から、
  y=(-4/3)x+4 …
 直線CEの式は、∠ECA=60°から、
  y=3x …
 ´△ら交点E(x,y)を求める。
 (-4/3)x+4=3x  3倍する。
 -4x+12=33x
 x=12/(33+4)  分母を有理化する。
  =12(33-4)/(27-16)
  =12(33-4)/11 …
 E(x,y)から、CEを求める。
 三平方の定理から、
 CE2=x2+y2  △yを代入する。
   =x2+(3x)2
   =x2(1+3)=(2x)2
 CE=2x  のxを代入する。
  =24/(33+4) ・・・(答)

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座標で解く(面積4)

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 平行四辺形の面積を求めてみましょう。

練習
 下の図のような平行四辺 形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、Dから線分CEにひいた垂線とCEとの交点をHとし、AD=DH=CH=1 とします。平行四辺形ABCDの面積を求めてください。
  座標で解く_面積4
(同志社高)
答 え












答 え
(考え方)
直線の式や交点を求めやすくするため、図を横にする。
平行四辺形の高さをaとして、aを求める。
底辺となるCDは、直角二等辺三角形の斜辺から求まる。
灰色の三角形に三平方の定理を適用し、aを求める。
 座標で解く_面積4._解答
 平行四辺形の高さをaとする。
 底辺CDは、△HCDが直角二等辺三角形なので、
  CD=2 …
 Eのx座標を求め、Bのx座標を求める。
  直線CEは、y=x
  直線BAは、y=a
  2式から、x=a  E(a,a)
 BE=2/2 から、Bのx座標は、
  x=a-2/2  B(2/2,a)
 灰色の直角三角形で、三平方の定理から、
  a2+(a-2/2)2=12
  2a2-2a+1/2=1
  4a2-22a-1=0
  解の公式から、
   a={2(8+16)}/8
    =(224)/8
    =(6)/4
   a>0 から、a=(2+6)/4 …
 ´△ら、平行四辺形の面積は、
  底辺×高さ=2×(2+6)/4
       =(1+3)/2 ・・・(答)

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座標で解く(面積3)

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 平行四辺形内の三角形の面積を求めてみましょう。

練習
 下の図のような平行四辺形ABCDがあり、辺BC上に点Eを辺BCと線分AEが垂直に交わるようにとり、辺AD上に点FをAB=AFとなるようにとります。
 また、線分BFと線分ACとの交点をHとします。
 AB=15僉AD=25僉□BAC=90°のとき、三角形AGHの面積を求めてください。

  座標で解く_面積3

(神奈川県高)
答 え












答 え
(考え方)
 AとFの座標を求める。
 BFとACの式から、交点の座標Hを求める。
 GEを求める。
 △AGHの面積を、底辺AGと高さIHから計算する。
 座標で解く_面積3解答

 Aの座標(BE,AE)を求める。
  △ABC∽△EBA (2組の角の相等)から、
   BC:BA=AB:EB
   25:15=15:EB  BE=225/25=9
  三平方の定理から、AE=(152-92)=12
  よって、A(9,12)
 Fの座標(BF,12)を求める。
  BF=9+15=24
 よって、F(24,12)
 直線BFの式は、y=12x/24=x/2 …
 直線ACの式を求める。
  A(9,12) C(25,0) を通るので、y=ax+b とすると、
  12=9a+b
  0=25a+b 2式の差から、a=-12/16=-/6-3/4
  b=-25a=75/4
  よって、y=-3x/4+75/4 …
 ´△慮鯏Hを求める。
  x/2=-3x/4+75/4 4をかける。
  2x=-3x+75 x=15 ,ら、y=15/2
  よって、H(15,15/2)
 △AGHにおいて、
  高さ IH=15-9=6
  GEは、
   9:GE=15:15/2 から、GE=9/2
  底辺AGは、AG=12-9/2=15/2
 よって、△AGH=6×15/2÷2=45/2
(答) 45/2 (cm2)

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座標で解く(対角線)

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 四角形の対角線の長さを求めてみましょう。

練習
 図の四角形ABCDについて、辺BCと線分BDの長さを求めてください。

 座標で解く_対角線長

(ラ・サール高)
答 え












答 え
(考え方)
 三平方の定理を2回使って、BCを求める。
 D(a,b)とすると、BD2=a2+b2
 DA2=a2+(b-1)2=72
 DC2=(a-BC)2+b2=42
 2式から、a,bを求め、BDを求める。
 座標で解く_対角線長
BCを求める。
 三平方の定理から、AC2=72+42=65
 三平方の定理から、BC2=65-12=64
 BC=8 ・・・(答)

BDを求める。
 三平方の定理から、DA2=a2+(b-1)2=72 …
  a2+b2-2b-48=0  …
 三平方の定理から、DC2=(a-8)2+b2=42 …
  a2+b2-16a+48=0 …
-ぁ16a-2b-96=0
  b=8a-48 …

イ鬮,紡綟:
 a2+(8a-49)2=49
 65a2-16×49a+492-49=0
 65a2-16×49a+49×48=0
解の公式から、
 a=[16×49±{(16×49)2-4×65×49×48)}]/130
ここで、根号内を計算する。
 {(16×49)2-4×65×49×48)}
 ={(16×49)(16×49-65×12)}
 ={(16×49)×4}
 =56
よって、
 a=(16×49±56)/130
  =(392±28)/65
イら、b=8a-48>0 a>6
 a=420/65=84/13=6.4…>6 …適
 a=364/65=5.6 …不適

イら、b=8a-48=8×84/13-48=(672-624)/13=48/13
よって、(a,b)=(84/13,48/13)
 BD2=a2+b2
   =(842+482)/132=122(72+42)/132=122×65/132
 BD=1265/13 ・・・(答)

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