中学から数学だいすき!

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規則性…紙の重なり

規則性を見つける4 >

 正方形の紙を貼り合わせる問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、1辺が5cmの正方形の紙 n 枚を、重なる部分がそれぞれ縦5cm、横1cmの長方形となるように、1枚ずつ重ねて1列に並べた図形をつくります。
 正方形の紙 n 枚を1枚ずつ重ねて1列に並べた図形の面積を n を使って表してください。
規則性4-貼り合わせ例題
(三重県高)

 左端の正方形(横5cm、縦5cm)に、の字形の長方形(横4cm、縦5cm)が (n−1)個加わるので、求める面積は、
 5×5+(4×5)(n−1)
=25+20n−20
=20n+5 (cm) ・・・(答)

練習
 1辺が5cmの正方形の紙を、図1のように重ねて貼り合わせていきます。■は重なる部分で、1辺が1cmの正方形です。
規則性4_貼り合わせ練習図1
 次の表は、1番目、2番目、3番目と、紙を貼り合わせていく様子を表しています。
  番目
 紙の枚数(枚) 16 25 36
 外枠の横の長さ(cm) 13 17 【ア】 25
 重なるの数(個) 16 【イ】

(1) 上の表の、【 ア 】【 イ 】にあてはまる数を求めてください。
(2) 9番目の正方形をつくるとき、8番目の正方形に何枚の紙を貼り合わせればよいですか。
(3) 4番目の正方形のとき、貼り合わせによって重なっている部分の面積を求めてください。
(4) 図2のように、正方形の紙を横に重ねて貼っていきます。重なる部分の横幅は1cmです。n 番目のとき、横の長さを求めてください。ただし、その過程がわかるように書いてください。
規則性4_貼り合わせ練習図2
(和歌山県高 問題要約)

答 え












答 え
(1)
【ア】 5cmの正方形に、横(5−1)=4(cm)のコの字形が(n−1)個加わるので、外枠の横の長さは、
 5+4(n−1)=4n+1
 n=5 のとき、4n+1=21 ・・・(答)
【イ】  ■の数は、(n−1) なので、
 n=6 のとき、(n−1) =25 ・・・(答)
  番目
 紙の枚数(枚) 16 25 36
 外枠の横の長さ(cm) 13 17 【ア】 25 5+4(n−1)
=4n+1
 重なるの数(個) 16 【イ】 (n−1)

(2) 紙の枚数は n から、
 9−8=(9+8)(9−8)=17 (枚) ・・・(答)

(3) n=4 のとき、外枠の長さは、17
 重なる細長い部分の面積は、1×17
  これが6個あるので、1×17×6=102
 ■の部分が9個重複し、
  9個の面積は、1×1×9=9
 求める面積は、102−9=93 (cm) ・・・(答)

(4) 5cmの正方形に、横(5−1)=4(cm)のコの字形が(n−1)個加わるので、n 番目の外枠の横の長さは、
 5+4(n−1)=4n+1 (cm)

(参考) n 番目の■の数=(n−1) がすぐわからないとき
 右隣りとの差から、式を求めることができる。
  番目
 重なるの数(個)S 16 2次関数
 右隣りとの差1  … 1次関数
 右隣りとの差2  … 定数
 右隣りとの差2が定数なので、右隣りとの差1は1次関数に従う。
 右隣りとの差1が1次関数なので、重なる■の数Sは2次関数に従う。(注)
 S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(1,0),(2,1),(3,4) から、
  0=  a+ b+c  ・・・
  1= 4a+2b+c  ・・・
  4= 9a+3b+c  ・・・
 ◆櫚 А。院瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
 −◆А。魁瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
 ァ櫚ぁА。押瓧横瓠 。瓠瓧
 ぁА。癲瓧院檻械瓠瓠檻
  А。磧瓠檗複瓠棕癲法瓧
よって、S=n−2n+1=(n−1)
(注) y=ax+bx+c (2次関数) とする。
  x が、 x から x+1 に変化するとき、変化の割合である差1、差2は、
 差1=a(x+1)+b(x+1)+c−(ax+bx+c)
    =a{(x+1)−x)}+b
    =a(2x+1)+b
    =2ax+a+b (1次関数)
 差2=2a(x+1)+a+b−(2ax+a+b)
    =2a (定数)

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規則性…分数の並び

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 規則的に並ぶ分数の問題を解いてみましょう。

例題
1/53、3/57、5/61、7/65、… と分数が規則的に並んでいます。
(1) 12番目の分数を求めてください。
(2) 13/43 は何番目の分数ですか。

(1)
 分子は奇数の並びなので、
  n 番目の分子=2n−1 ・・・
n 番目
分子 2n−1
分母 53 57 61 65 1次関数
 隣との差 一定
 分母の式を求める。隣との差が4で一定なので、
  分母は1次関数に従う。
  グラフの傾きは、4
  n=0 のとき、分母=53−4=49 から、
  分母=4n+49 ・・・
 ´△ら、
  n 番目の分数=(2n−1)/(4n+49)
 n=12 のとき、
 (2n−1)/(4n+49)
=23/(48+49)=23/97 ・・・(答)
(2) 
 (2n−1)/(4n+49)=13/43
 43(2n−1)=13(4n+49)
 86n−43=52n+13×49
 34n=637+43=680
 n=680/34=20 (番目) ・・・(答)

練習
1/2、1/4.3/4、1/8、3/8、5/8、7/8,1/16、… と分数が規則的に並んでいます。
(1) 1/64 は何番目の分数ですか。
(2) 10番目の分数を求めてください。
(大阪星工学院高)

答 え












答 え
(1)
 分子は、1、3,5、… の奇数で、分母は、2の累乗になっている。
 分母の値に対応する分子の個数を調べる。
  分母=2: 分子=1 → 1個
  分母=4: 分子=1、3 → 2個
  分母=8: 分子=1、3、5、7 → 4個
  分母=16: 分子=1、3、5、7、9、11、13、15 → 8個
 これらの関係と、分数の総数(=番目)を表にまとめる。
分母の累乗数
分母 16 32 64 128
分子の個数 16 32 64
分数の総数
(=番目)
1+2
=3
3+4
=7
7+8
=15
15+16
=31
31+32
=63
63+64
=127
 表から、1/32 での分数の総数は31から、
 1/64 は32番目 ・・・(答)
(2)
 分母が64のとき、分数の総数は63
 分母が128のとき、分数の総数は127 から、
 100番目の分母は128である。
  64=63+1: 分子=1
  65=63+2: 分子=1、3
  66=63+3: 分子=1、3、5
    :
  100=63+m: 分子=1、3、5、…、2m−1
  m=37 から、2m−1=73
 よって、100番目の分数は、73/128 ・・・(答)

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規則性…魔方陣

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 魔方陣の問題を解いてみましょう。

 魔方陣は、n×n 個の正方形に異なる数字を1つずつ入れ、縦・横・対角線のすべての並びについて合計が同じになるものをいいます。
例: 3×3の魔方陣
10

 異なる数字からなる。
 縦・横・対角線の数字の合計は同じ。

例題
 次の魔方陣には、1〜9の数字が1回ずつ使われています。a 〜 f の数字を求め、魔方陣を完成させてください。

 9個のマス目の合計は、
 1+2+3+…+9=45
 1行の3個の合計をNとすると、3行の合計は45から、
 3N=45  N=15
 Nは、縦・斜めの3個の合計でもあるので、
 d=15−(5+2)=8
 c=15−(3+5)=7
 f=15−(2+c)=6
 a=15−(5+f)=4
 b=15−(a+2)=9
(答)

練習
1. 3〜19の奇数の数字を1つずつ使い、下の図のような3×3の魔方陣をつくります。中央のイ涼佑魑瓩瓩討ださい。

2. 下の図において、A〜はすべて異なる整数から成り、縦、横、斜めの3つの数の和はすべて同じ数です。このようなものを魔方陣といいます。次の(1)〜(3)の問いに答えてください。
(1) 生徒のサトシ君は魔方陣についてあることに気づき、先生に正しいかどうかを聞いてみることにしました。次の会話文中の【 ア 】〜【 ウ 】に適切な数を入れてください。
生徒 先生、Eに人る数って、縦,横,斜めそれぞれの3つの数の和の【 ア 】倍だと思う のですが…。
先生 よし、一緒に調べてみよう。
まず,縦,横,斜めそれぞれの3つの数の和をNとしよう。
すると、魔方陣のルールからEを含む次の 4つの式が成り立ちますね。
  A+E+=N
  C+E+G=N
  D+E+F=N
  B+E+H=N
何か気づきませんか?
生徒 わかりました。この4つの式から
 N×【 イ 】+E×【 ウ 】=N×4 が成り立ちます。
先生 そうですね。すなわち,E×【 ウ 】=N
が成り立ちますから,E=N×【 ア 】 が成り立ちますね。

(2) 26〜34の整数を1つずつ使って、下の魔方陣を完成させてください。26、30、32はすでに使われています。
32 30
26
(3) 縦、横、斜めの3つの数の和が2018になるような魔方陣は存在しますか。「存在する・存在しない」のどちらかで答え、その理由を3行以内で説明してください。
(函館ラ・サール高)

答 え












答 え
1.
  椨◆棔帖椨
=3+5+7+9+11+13+15+17+19
=(3+19)+(5+17)+(7+15)+(9+13)+11
=22×4+11=99
 1行の3個の和をNとすると、3行の和は99から、
 3N=99  N=33
 斜め、縦の和も33から、
   椨ァ椨=33
  ◆椨ァ椨─瓧械
  +ァ椨А瓧械
  ぁ椨ァ椨Α瓧械
 4式をたすと、
   椨◆椨+…++ァ滷魁瓧械魁滷
  99+ァ滷魁瓧隠械
  ァ瓠複隠械押檻坑后/3=11 ・・・(答)
2.
(1)
 A+E+=N
 C+E+G=N
 D+E+F=N
 B+E+H=N
4つの式をたす。
 (A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+)+3E=4N
 3N+3E=4N
 3E=N  E=N/3
(答) 【 ア 】 1/3  【 イ 】 3 【 ウ 】 3
(2)
 (1)から、E=N/3=30
 N=90
 B=90−(30+26)=34
 F=90−(32+30)=28
 4隅の数を求める。
  A+C=90−B=56   ・・・
  G+=90−26=64 ・・・
 27、29、31、33 が未使用である。
 ,ら、27+29=56
  31+33=64 から、
 A=27 とすると、
  C=29
  =90−(27+30)=33
  G=90−(27+32)=31
 G、は△鯔たす。
(答)
27 34 29
32 30 28
31 26 33
(3)
 存在しない。
 なぜならば、E=N/3=2018/3=672.6… であり、
 Eは整数ではないからである。

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規則性…マッチ棒

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 マッチ棒を規則的に並べる問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、1回目は、マッチ棒4本で四角をつくります。2回目、3回目とマッチ棒を増やして正方形をつくっていきます。
(1) 10回目のマッチ棒の本数を求めてください。
(2) マッチ棒が55本になるのは、何回目ですか。

  マッチの規則性

(1) n 回目のマッチ棒の本数をSとすると、
 n=1: S=4
 n=2: S=4+3=4+3×1
 n=3: S=4+3+3=4+3×2
   :
 n=n: S=4+3(n−1)=3n+1
 よって、n=10 のとき、
  S=3×10+1=31 (本) ・・・(答)
(2) 3n+1=55
 3n=54  n=18 (回目) ・・・(答)

練習
 100本のマッチ棒を使って図1のように、マッチ棒を右方向のみに正方形をつくっていくとき、正方形は何個つくることができるか、求めてください。
 例えば、図2のように、9本のマッチ棒を使った場合、正方形は2個つくることができます。

  規則性4_マッチ棒
(鳥取県高)

答 え












答 え
 正方形の数を n 、正方形をつくるとき1本または2本の余りがでないマッチ棒の数を S とする。
 n=1: S=4
 n=2: S=4+3=4+3×1
 n=3: S=4+3+3=4+3×2
   :
 n=n: S=4+3(n−1)=3n+1
 S=100 として、n を計算し、n が整数ならば答えである。
 3n+1=100
 n=33 (個) ・・・(答)

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規則性…四角いタイル

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 正方形のタタイルを規則的に並べる問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、黒と白のタイルを並べていきます。
  規則性4_四角いタイル例題
模様の番号(番目)
黒のタイル(枚) 【A】
白のタイル(枚)
−1 −2 【B】
(1) 上の表の【A】、【B】にあてはまる数を求めてください。
(2) 差が6のとき、何番目の模様か求めてください。また、そのときの黒のタイルの枚数を求めてください。
(埼玉県高)

(1)
 5番目の最下段は黒が5枚なので、
  A=1+3+5=9 ・・・(答)
 6番目の最下段は白が6枚なので、
 白の合計は、2+4+6=12
 黒の合計は、1+3+5=9
 白−黒は、12−9=3 B=3 ・・・(答)
(2)
 白−黒 が正になるのは、n が偶数の場合である。
 n=2: 差=1
 n=4: 差=1+1=2
 n=6: 差=1+1+1=3
   :
 n=n: 差=n/2=6 n=12 (番目) ・・・(答)
 n=12 のとき、黒は、
  1+3+5+7+9+11=12×3=36 (枚) ・・・(答)

練習
1. 下の図のように、青と白の紙を並べていきます。
  規則性4_四角いタイル例題
n 番目
青紙の枚数 【ア】
白紙の枚数 【イ】
紙の総枚数 10
(1) 上の表の【ア】、【イ】にあてはまる数を求めてください。
(2) 青紙の枚数がはじめて36枚になるのは何番目のときか、求めてください。
(3) 30番目のとき、紙の総枚数を求めてください。
(4) 紙の総枚数が1275枚のとき、白紙の枚数を求めてください。
(千葉県高)


2. 下の図のように、灰色と白色のタイルを並べていきます。
  規則性4_四角いタイル
(1) 5番目のとき、灰色と白色のタイルの個数をそれぞれ求めてください。
(2) 2k−1 番目(奇数番目)のとき、灰色と白色のタイルの個数を、k を用いてそれぞれ答えてください。k は自然数とします。
(3) 2k 番目(偶数番目)のとき、灰色と白色のタイルの個数を、k を用いてそれぞれ答えてください。k は自然数とします。
(4) 灰色のタイルを221個使うのは何番目か、求めてください。
(新潟県高)

答 え












答 え
1.
(1) n=5 のとき、青紙の数は、
  1+3+5=9 ・・・【ア】
 n=6 のとき白紙の数は、
  2+4+6=12 ・・・【イ】
(2) n 番目のとき、青の枚数は、
 n=3 1+3=4
 n=5: 1+3+5=9
 n=7: 1+3+5+7=16
 n=9: 1+3+5+7+9=25
 n=11: 1+3+6+7+9+11=36
(答) 11番目
(3) 紙の総枚数をSとすると、
 S=1+2+3+…+30
 S=30+29+…+2+1
2S=31×30
 S=31×15=465 (枚) ・・・(答)
(4) S=1+2+3+…+n とする。
    S=n+…+3+2+1
   2S=(1+n)×n
    S=n(n+1)/2 ・・・
 S=1275 から、
 n(n+1)/2=1275
 n(n+1)=2550
 50=2500<n(n+1)<55=3025
 50×51=2550 から、n=50
n=50 のとき、白紙の枚数は、
 2+4+6+…+48+50
=2(1+2+3+…+25)  ,ら、
=25(25+1)=650 (枚) ・・・(答)

2.
(1) それぞれの個数を表にする。
 規則性4_四角いタイル解答
n 番目
灰色の個数 13
白色の個数 12
合計 16 25
(答) 灰色13個、白色 12個

(2) n=2k−1 のとき、総数は (2k−1)
 灰色は、{(2k−1)+1}/2
     =(4k−4k+2)/2
     =2k−2k+1 (個) ・・・(答)
 白色は、灰色−1=2k−2k (個) ・・・(答)

(3) n=2k のとき、総数は、(2k)=4k
 灰色と白色は同数となり、
  4k/2=2k (個) ・・・(答)

((4) 灰色が221個のとき、白色は220個
 総数は、221+220=441
 n=441=21
 n >0 から、n=21 (番目) ・・・(答)

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