中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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2次関数とグラフ まとめ6

2次関数−規則性
1. 下の図のように、黒と白のタイルを並べました。このとき、次の問いに答えてください。
  2次関数_規則性タイル

(1) 6番目のとき、白のタイルは何枚ですか。
(2) n 番目のとき、黒と白のタイルの合計は何枚ですか。
(3) 黒と白のタイルの合計が1861枚になるのは何番目ですか。

2. 下の図のように「」で正五角形を作ります。各正五角形における「」の個数を1辺 の個数 n に着目し、S(n) で表します。
 例えば、下の図では、それぞれ左から順に、S(1)=1、S(2)=5、S(3)=12 です。
  2次関数_規則性5角形

 このとき、次の値を求めてください。
 S(1)+S(2)+S(3)+S(4)+S(5)+S(6)

答 え

2次関数−動点
1. 下の図のような、AB=4cm、AD=2cmの長方形ABC Dと、辺上を動く点P、Qがあります。点P、Qは、Aを同時に出発して、それぞれ次のように動きます。
  2次関数_動点問題
【点P】 Aを出発して毎秒2 cm の速さで辺AB上をBに向かって進み、Bに到着すると、毎秒2 cm の速さでBA上をAに向かって進み、Aを出発してから4秒後に、Aに戻り停止します。
【点Q】 Aを出発して毎秒1 cm の速さで辺AD上をDに向かって進み、Dに到着すると、毎秒2 cm の速さでDC上をC に向かって進み、Aを出発してから4秒後に、C で停止します。
 点P、QがAを出発してから x 秒後の△APQの面積を y cm とします。ただし、x=0,4 のとき、y=0 とします。
 このとき、次の問いに答えてください。
1. x=1 のときと、x=3 のときの y の値をそれぞれ求めてください。
2. それぞれの場合について、y を x で表し、そのグラフをかいてください。
(1) 0≦x≦2 のとき
(2) 2≦x≦4 のとき
  2次関数_動点グラフ用紙

答 え


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2次関数とグラフ まとめ5

2次関数−停止距離
 健太さんは、お父さんが運転する車に乗っています。車は時速50 km で、前の車との車間距離は40 m です。
 「この状態で、前の車が急に止まっても追突しないで停止できるだろうか」、疑問に思った健太さんは帰宅後、車の速度と停止距離の関係を調べました。
 その結果、次のことが分かりました。
 車の速度を時速 x km、車が進む距離を y m とする。
 空走距離 … ブレーキを踏むが、効かずに進む距離。
          y は x に比例する。
 制動距離 … ブレーキが効き始め、止まるまで進む距離。
          y は x の2乗に比例する。
 停止距離 … 空走距離+制動距離
 次の問いに答えてください。
1. 車の速度が3倍になるとき、空走距離と制動距離はそれぞれ何倍になりますか。
2. 健太さんは、空走距離の表と、制動距離のグラフを見つけました。健太さんは下の表とグラフから、「時速50 kmで車間距離が40 m ならば、前の車が急に止まっても追突しないで停止できる」と判断しました。そのように判断できる理由を説明してください。
速度 (km/h) 20 40 60 80
空走距離 (m) 12 18 24
車の速度と制動距離
3. 健太さんはグラフから、時速80 km の制動距離は48m と読み取りました。車の速度が時速100kmのとき、前の車に追突しない車間距離は何m ですか。
4. 停止距離のグラフはどれですか。

車の速度と停止距離

答 え

2次関数−値下げ
1. 1個100円で売ると、1日に240個売れる商品があります。この商品は1円値下げするごとに、1日あたり4個多く売れます。この商品を円値下げした日の売り上げは25600円でした。このとき、次の問いに答えてください。
(1) x の方程式をつくり、x+ax+b=0 の形で表してください。
(2) 方程式の左辺を y として、x 軸との交点の座標を求めてください。
(3)  y の概略のグラフをかいてください。 y は上に開く放物線です。

2. ある商品をいくらかの値段で売ろうとしたところ、売れなかったので売値より x % 値下げして売りました。しかし、売れなかったので、さらに(x+10)% 値下げして売ったところ、最初の値段より 44% 値下げしたことになりました。このとき、次の問いに答えてください。
1. x の方程式をつくり、x+ax+b=0 の形で表してください。
2. 方程式の左辺を y とおき、x 軸との交点の座標を求めてください。
3. x の変域から、x の値を求めてください。

答 え


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2次関数とグラフ まとめ4

2次関数−落下・発射
1. 傾きが一定の斜面でボールを転がしました。ボールが転がり始めてから x 秒間に転がる距離を y m とすると、y は x の2乗に比例しました。ボールが転がり始めてから2秒間に転がる距離が6mだったとき、次の問いに答えてください。
(1)  y をx の式で表してください。
(2) 転がり始めてから2秒後から4秒後までの2秒間に、ボールが転がる距離と平均の速さをを求めてください。
(3) 瞬間の速さが15m/秒になるのは、何秒後ですか。

2. ロケットAを地面から垂直に打ち上げました。発射してから8秒間の地面からの高さは、発射してからの秒数の2乗に比例し、その後一定の速さで上昇しました。
 発射してからの秒数を x 、地面からの高さを y とすると、 y は x の関数であり、x の値が1から4まで増加したときの変化の割合は5でした。x の値が9から12まで増加したときの変化の割合は16でした。
 次の問いに答えてください。
(1) 発射してから10秒後の、ロケットAの地面からの高さを求めてください。
(2) ロケットBをロケットAと同時に地面から垂直に打ち上げました。ロケットBは、発射してから4秒間の地面からの高さは、発射してからの秒数の2乗に比例し、その後一定の速さで上昇しました。
 ロケットBについて、発射してからの秒数を x 、地面からの高さを y とすると、 y は x の関数であり、x の値が2から6まで増加したときの変化の割合は 21/2 でした。
 発射してから10秒後にロケットAとロケットBが同じ高さになりました。 x≧4 のときのロケットBの地面からの高さを x の式で表してください。

答 え

2次関数−加速から等速

 列車が x 秒間に進む距離を y m とします。加速して20秒までは y は x の2乗に比例し、20秒後からはそのまま同じ速さとします。動きはじめてから10秒後に進んだ距離は 50 m でした。このとき、次の問いに答えてください。
1. 0≦x≦20 のとき、x と y の関係を式で表してください。
2. x=10 から x=20 までの平均の速さ(=変化の割合)を求めてください。
3. x=20 のときの瞬間の速さを求めてください。瞬間の速さは、x=20 から x=20 までの平均の速さです。
4. 列車は、動きはじめてから35秒間に何m 進みますか。
5. x と y の関係をグラフに表してください。
6. 列車の進んだ距離が400 m になるのは何秒後ですか。

答 え


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2次関数とグラフ まとめ3

2次関数−変域
1. 関数 y=2x/3 について、x の変域が −6≦x≦3 のとき、y の変域を求めてください。

2. 関数 y=ax のグラフについて、次の問いに答えてください。
(1) x の値が2から4まで増加するときの変化の割合が3です。このとき、a の値を求めてください。
(2) x の変域が −2≦x≦3 のとき、y の変域は 0≦y≦18 です。このとき、a の値を求めてください。

3. 2次関数 y=ax について、x の変域が −1≦x≦2 のとき、y の変域が b≦y≦b+1 となりました。このような a,b の組をを求めてください。

答 え

2次関数−方程式の解
1. 2次関数 y=x と y=x−2x+1 について、x 軸との交点をそれぞれ答えてください。

2. 2次関数 y=x−2x−5 について、次の問いに答えてください。
(1)  x 軸との交点を求めてください。
(2) この2次関数のグラフは上に開く放物線となります。軸は、(1)で求めた2つの交点の中点を通り、y 軸に平行です。小さい方の解を a 、大きい方の解を b とするとき、x の変域が a≦x≦b のとき、y の変域を求めてください。

3. 1次関数 y=ax+b と、2次関数 y=x の交点の x 座標が2と3のとき、a 、b を求めてください。

答 え


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2次関数とグラフ まとめ2

2次関数−現象
1.  ボールが自然に落ちるとき、落下距離 y m は、落下時間 x 秒 の2乗に比例します。測定すると、2秒後に19.6m 落下しました。
(1) x と y の関係を式で表してください。
(2) 10m の高さからボールが落ちるとき、地上に着くのは何秒後ですか。

   2次関数の現象_落下

2. リーグ戦で試合をします。 参加チーム数は x です。
(1) 試合数 y を x の式で表してください。
(2) 試合数が15のとき、チーム数を求めてください。

答 え

2次関数−変化の割合
1. 1次関数 y=3x+1 と、2次関数 y=x について、次の問いに答えてください。
(1) y=3x+1 の変化の割合を求めてください。
(2) y=x について、x が0から1に変化する場合、1から2に変化する場合、2から3に変化する場合のうち、変化の割合が y=3x+1 の変化の割合と等しくなる場合を答えてください。

2. 関数 y=x/2 について、x の値が a から a+4 まで変化するときの変化の割合は5です。 a の値を求めてください。

答 え


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