中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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因数分解3 まとめ1

因数分解する3 目次 >

因数分解 - 方法
 次の式を因数分解してください。
1. a−8a
2. x−25
3. x−13x+36
4. −x+y+4x−4
5. x+ax+a−1

答 え

因数分解 - 共通因数
 次の式を因数分解してください。
1. x−6x
2. 2x+2x−24
3. (x−1)−3x+3
4. xy+xy−xy−xy
5. (a−b)(x+2)+9y(b−a)

答 え


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因数分解3 規則集3

因数分解する3 目次 >

因数分解 - 最低字数順
 式を最低字数順にする。
例: x+2xy+6y−9  x は2次、y は1次から、
  =2(x+3)y+ x−9  和と差の積にする。
  =2(x+3)y+(x+3)(x−3)  共通因数をくくる。
  =(x+3)(2y+x−3)
  =(x+3)(x+2y−3)

因数分解 - 因数の順序
因数を規則的に並べる目安を示す。
 解が昇順  (x+2)(x−1)  x=−2,1
 次数順  (a+1)(a+1)
 abc  (a+1)(b+1)
 循環abc@  abc(a−b)(b−c)(c−a)
例:
 。坑−16y=(3x+4y)(3x−4y)
◆。−y+2y−1=(x+y−1)(x−y+1)
 a−b−c+4a−2bc+4
 =(a+b+c+2)(a−b−c+2)

因数分解 - いろいろ
 2次方程式を解く方法もある。
例: x−24x−1081 は、係数の分解が難しい。
2次方程式を平方完成で解き、因数分解する。
 x=a,b なら、(x−a)(x−b)=0 となる。
 x−24x−1081=0  (24の半分) をたす。
 x−24x+12=1081+12
 (x−12)=1225=35
 x=12±35
 x=−23,47
 よって、
 x−24x−1081
=(x+23)(x−47)


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因数分解3 規則集2

因数分解する3 目次 >

因数分解 - 和と差の積
 x−y=(x+y)(x−y)
例: 72x−128y  (72,128)の最大公約数をくくる。
  =8(9x−16y)  和と差の積にする。
  =8(3x+4y)(3x−4y)

因数分解 - 和・差の2乗
 x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 左辺の は、
 2yの半分) になっている。
例: 4x−y+6y−9
  =4x−(y−6y+9)  差の2乗にする。
  =(2x)−(y−3)  和と差の積にする。
  =(2x+y−3)(2x−y+3)

因数分解 - 係数を分解
例1: 2x+7x+3 は、
    2x=(2x)×(1x)
    3=1×3
    7x=1x+6x から、次の因数分解になる。
 係数で因数分解
例2: x−2xy-24y  4×(−6)=−24  4−6=−2 から、
   =(x+4y)(x−6y)
×  4  4
−6 −6
積1 積−24 和−2


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因数分解3 規則集1

因数分解する3 目次 >

因数分解 - 方法
よく使われる5つの方法がある。
 共通因数をくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

因数分解 - 共通因数
共通する因数をくくる(一まとめにする)因数分解は、分配法則の逆の計算。
 分配法則: a(x+y)=ax+ay
 因数分解: ax+ay=a(x+y)  a: 共通因数
因数分解: 多項式 ax+ay を、共通する a をかっこの外にくくり、因数 a と因数 (x+y) の積に変形。


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因数分解 - いろいろ

因数分解する3 目次 >

 いろいろな因数分解をしてみましょう。

練習
 次の式を因数分解してください。
1. a+b−(1−ab)
(成蹊高)
2. x−24x−1081

3. (2x+3)−(3x+2)(x+1)−(2x+3)
(東工大附属科学技術高)
4. a+b+c+2ab+2bc+2ca

5. (a+2c)(a−2c)−b(b−4c)
(ラ・サール高)
答 え












答 え
1.
 a+b−(1−ab)  の次数順にする。
=b(a+1)+a−1  和と差の積にする。
=b(a+1)+(a+1)(a−1) 共通因数をくくる。
=(a+1)(b+a−1)  abc順にする。
=(a+1)(a+b−1) ・・・(答)
2.
(考え方)
 2次方程式を平方完成で解き、因数分解する。
 x=a,b なら、(x−a)(x−b)=0 となる。
 x−24x−1081=0  (24の半分) をたす。
 x−24x+12=1081+12
 (x−12)=1225=35
 x=12±35
 x=−23,47
 よって、
 x−24x−1081
=(x+23)(x−47) ・・・(答)
3.
 (2x+3)−(3x+2)(x+1)−(2x+3) 共通因数をくくる。
=(2x+3)(2x+3−1)−(3x+2)(x+1)
=2(2x+3)(x+1)−(3x+2)(x+1) 共通因数をくくる。
=(x+1)(4x+6−3x−2)
=(x+1)(x+4)  ・・・(答)
4.
 a+b+c+2ab+2bc+2ca   の次数順で考える。
=(a+2ab+b)+c+2bc+2ca  和の2乗にする。
=(a+b)+2(a+b)c+c  a+b=x とする。
=x+2xc+c  和の2乗にする。
=(x+c)  をもどす。
=(a+b+c)  ・・・(答)
5.
 (a+2c)(a−2c)−b(b−4c)  2乗の差にする。
=a−4c−b+4bc
=a−(b−4bc+4c)  和の2乗にする。
=a−(b−2c)  和と差の積にする。
=(a+b−2c)(a−b+2c) ・・・(答)


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