中学から数学だいすき！

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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絶対値の応用　規則集４

絶対値のグラフ
ｙ＝｜ｘ｜ のグラフはＶ字形で０以上。
　ｙ＝｜ｘ｜ は下表から、
　ｘ≧０　のとき、ｙ＝｜ｘ｜＝ｘ
　ｘ＜０　のとき、ｙ＝｜ｘ｜＝−ｘ

ｘ … −２ −１ ０ １ ２ …
ｙ＝｜ｘ｜ … ２ １ ０ １ ２ …

　　　絶対値のグラフ 　ｙ＝｜ｘ｜

場合を分けると、絶対値をはずすことができる。
　ｘ≧０　のとき、｜ｘ｜＝ｘ
　ｘ＜０　のとき、｜ｘ｜＝−ｘ

例１：　｜−２｜＝−（−２）＝２
例２：　｜ｘ−１｜の絶対値をはずすと？
　ｘ≧１ のとき、｜ｘ−１｜＝ｘ−１
　ｘ＜１ のとき、｜ｘ−１｜＝−（ｘ−１）＝−ｘ＋１

方向と大きさ
正負の数の絶対値は数の大きさを表す。
　｜＋２｜＝２ 　（＋２の大きさは２）
　｜−３｜＝３ 　（−３の大きさは３）

正負の数と絶対値

速度は、方向と大きさがある。
速度 Ｖ は、矢印で方向と大きさを表す。
速度の大きさを速さといい、絶対値の記号を使って｜Ｖ｜、またはＶ と表す。

　　　速度の方向と大きさ

例１：
　　　船と流れの速さ

　船の上りの速さ＝船の速さ−川の速さ
　船の下りの速さ＝船の速さ＋川の速さ

例２：　時速１００ｋｍで走る車から、進行方向と反対方向に時速１００ｋｍでボールを発射した。ボールはどうなる？

車 ボール
←―――|―――→
100km/h 100km/h
―→
進むボール

　ボールが進む速さ＝ボールの速さ−車の速さ＝０
（答）　ボールは発射地点の真下に落ちる。


2012.05.20 Sunday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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絶対値の応用　規則集３

２数の差の絶対値
絶対値は数の大きさを表す。
　｜−３｜＝３　は、−３の大きさ３を表す。
　２数の差の絶対値は、差の大きさを表す。
　絶対値は０以上。
例１：
｜大きい数−小さい数｜＝｜小さい数−大きい数｜＞０

例２：　海面の高さが、干潮時−１．５ｍから満潮時２ｍになった。干満の差は？

　｜−１．５−２｜＝｜−３．５｜＝３．５ （ｍ）

差の絶対値の応用
誤差は、真の値との差の大きさで、ズレを表す。
　絶対誤差＝｜真の値−近似値｜
　相対誤差＝｜真の値−近似値｜／真の値

例：　円周率の測定結果から近似値は３．１５だった。円周率を３．１４とすると、相対誤差は何％？
　　　
　　　直径の位置決め円周率を測定で求める

　（｜３．１４−３．１５｜／３．１４）×１００
≒０．３０ （％）


2012.05.18 Friday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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絶対値の応用　規則集２

絶対値の範囲
絶対値を不等式で表す。
　｜ｘ｜＜２　のとき、 −２＜ｘ＜２

　　　　　 ←――――――――→
　――+――+――+――+――+――+――+―― ｘ
　　 -3 　-2　 -1　　0　　1 　 2　　3　

　｜ｘ｜≧２　のとき、 ｘ≦−２　または　２≦ｘ

　 ←―――　　　　　　　　　　―――→
　――+――+――+――+――+――+――+―― ｘ
　　 -3 　-2　 -1　　0　　1 　 2　　3

絶対値の範囲２
複数の条件は、範囲の重なりを確かめる。
例１：　｜ｎ｜＜３ で、｜ｎ｜≧１ となる整数 ｎ は？

　−３＜ｎ＜３ で、ｎ≦−１ または １≦ｎ　なので、
　−３＜ｎ≦−１　または　１≦ｎ＜３
　よって、ｎ＝−２，−１，１，２　・・・（答）

　　←―――――――――――――→
　←―――――　　　　　―――――→
――+――+――+――+――+――+――+―― ｘ
　 -3 　-2　 -1　　0　　1 　 2　　3

例２：　｜ｘ｜≦１２　のとき、素数となる ｘ は何個？

　−１２≦ｘ≦１２
　素数は、２以上で、その数か１以外では割れない数なので、
　ｘ＝２，３，５，７，１１
（答）　５個


2012.05.14 Monday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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絶対値の応用　規則集１

絶対値の定義
絶対値は±を取った数で、原点からの距離。
定義１　絶対値は、−や＋を取った数で、 ｜ ｜で表す。
例： 　｜−１．２｜＝１．２ 　｜＋３｜＝３
　｜０｜＝０ 　｜３｜＝３　（「絶対値３＝３」と読む）

定義２　絶対値は、数直線上で原点０との距離。
例： 　｜−２｜＝０−（−２）＝２
　｜＋２｜＝＋２−０＝２

　　　　 |←距離2→|←距離2→|
――+――+――+――+――+――+――+――
　 -3 　-2　 -1　　0　 +1　 +2　 +3

絶対値が３になる数
絶対値が３になる数は２つある。
　原点との距離が３になる数は？
　数直線から、 ｘ＝−３　または　ｘ＝３

　　|← 距離＝３ →|← 距離＝３ →|
――+――+――+――+――+――+――+―― ｘ
　 -3 　-2　 -1　　0　 +1 　+2　 +3

　絶対値が３になる数を ｘ とすると、
　｜ｘ｜＝３　　両辺を２乗すると、
　ｘ２＝３２　から、ｘ＝±３

数直線で解くか式で解く。
例：　ａ と ｂ は絶対値が等しく、 ａ は ｂ より６大きいとき、ａ と ｂは？
（解答１）
　数直線上で、ｂ＜０＜ａ　となっている。
　ａ と ｂ の距離は６で、
　原点と２数の距離は等しく、距離は、６÷２＝３
　ａ＝３　　ｂ＝−３　・・・（答）
　
（解答２）
　｜ａ｜＝｜ｂ｜　・・・��
　ａ−ｂ＝６　　　　 ・・・��
　�，領省佞鬘仮茲垢襪函� ａ２＝ｂ２　　因数分解すると、
　（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝０
　�△�ら、ａ＋ｂ＝０　・・・��
　�◆椨�から、２ａ＝６　　ａ＝３
　��から、ｂ＝−３
（答）　ａ＝３　　ｂ＝−３


2012.05.12 Saturday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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方向と大きさ

　数直線上で＋２は、＋方向で大きさ２の数です。−３は、−方向で大きさ３の数です。正負の数の絶対値は、数の大きさを表します。
　｜＋２｜＝２ 　（＋２の大きさは２）
　｜−３｜＝３ 　（−３の大きさは３）

　正負の数と絶対値

　正負の数は、数直線上で考えたときに＋や−の方向がある数です。しかし、東西南北や上下左右などの方向は実際にはありません。温度や長さも方向がない数です。

　速度は、方向と大きさがあります。東へ時速６０ｋｍで走る車の速度 Ｖ は、矢印で方向と大きさを表します。速度の大きさを速さといい、絶対値の記号を使って｜Ｖ｜と表します。また、｜Ｖ｜を Ｖ と書くことができます。　｜Ｖ｜＝Ｖ＝６０ （ｋｍ／時）　

　　　速度の方向と大きさ

（参考）　絶対値の記号は、大きさを表すときに使われています。
数の大きさ： 　｜−３｜＝３
速さ： 　｜Ｖ｜＝６０ （ｋｍ／時）　
行列の大きさ： （ ２　１ ） の大きさは ｜ ２　１ ｜＝１　（注）
５　３ ５　３
　（注）左辺を行列式といい、連立方程式を解くことができます。

例題
　時速５ｋｍで流れる川を、船が時速１２ｋｍで走るとき、上りと下りの速さを求めてください。

　　　船と流れの速さ

　上りは川の速さだけ遅くなるので、
　　１２−５＝７ （ｋｍ／時）
　下りは川の速さが加わるので、
　　１２＋５＝１７ （ｋｍ／時）
（答）　上り ７ｋｍ／時　　下り　１７ｋｍ／時

練習
１．　水が流れていないときの船の速さを ｘ 、川の速さを ｙ 、上りの速さを ａ 、下りの速さを ｂ とします。船の速さ ｘ と、川の速さ ｙを求めてください。

２．　（ｘ，ｙ）座標の原点（０，０）から、点Ｐが北東へ毎秒２ｃｍで進みます。１０秒後のＰの座標を求めてください。 ｙ 軸の上を北、 ｘ 軸の右を東とします。また、原点と（１，０）の距離を１ｃｍ、原点と（０，１）の距離を１ｃｍとします。

　　　速度の例題

答 え










答 え
１．
　上りの速さは、ａ＝ｘ−ｙ　・・・��
　下りの速さは、ｂ＝ｘ＋ｙ　・・・��
　�　椨△�ら、ａ＋ｂ＝２ｘ　よって、ｘ＝（ａ＋ｂ）／２　・・・（答）
　�◆櫚，�ら、ｂ−ａ＝２ｙ　よって、ｙ＝（ｂ−ａ）／２　・・・（答）

２．
　毎秒２ｃｍで１０秒進むので、移動距離は２０ｃｍ
　Ｐは４５度の角度で移動するので、求める座標（ａ，ａ）は、三平方の定理から、
　ａ２＋ａ２＝２０２
　ａ２＝２００
　ａ＝１０√２
（答）　（１０√２，１０√２）


2012.05.09 Wednesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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