中学から数学だいすき!

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公立高校入試2017 計算1

 公立高校入試の計算問題を解いてみましょう。

問題
1. 次の計算をしてください。
 (−7)+(−9)
 −1/3+3/8
 32a÷4ab
 75+12/

2. 次の問いに答えてください。
 (x+5)(X+9)−(x+6) を計算してください。
 (x−3)−2(x−3)−35 を因数分解してください。
 2次方程式 2x−5x−1=0 を解いてください。
 下の図において、四角形ABC Dは平行四辺形で、点Eは辺ADの中点です。
 また、BF:FC =3:1で、C G:GD=2:1です。
 このとき、線分BHと線分HGの長さの比を最も簡単な整数の比で表してください。

   2017線分比

答 え










答 え
1.
 (−7)+(−9) マイナスをつけ、2数をたすと、
=−(7+9)
=−16
 −1/3+3/8  最小公倍数で通分すると、
=(−8+9)/24
=1/24
 32a÷4ab  指数の計算で、b=1 から、
=(32/4)a2−11−1
=−8a
 75+12/3  75=25×3 から、
=53+12/3  3 をかけて分母の有理化をすると、
=53+123/3
=53+4
=9

2.
 (x+5)(x+9)−(x+6)  乗法公式から、
=x+14x+45−(x+12x+36) 同類項をまとめると、
=(14−12)x+45−36
=2x+9
 (x−3)−2(x−3)−35  (x−3)=A とおくと、
=A−2A−35  係数を分解して因数分解すると、
=(A+5)(A−7)  Aをもどすと、
=(x−3+5)(x−3−7)
=(x+2)(x−10)
 2x−5x−1=0  解法比較から、解の公式で解くと、
 x={5±(25+8)}/4
  =(5±33)/4

(考え方)
 線分比を求めるので、次の´↓を考える。
相似比を使えないか
平行線と比の定理を使えないか
中点連結定理を使えないか

  2017線分比解答

平行線Gを引く。
 水色の三角形が相似なので、
 BH:HG=3a:x
FC:ED=a:2a=1:2 なので、
 中点連結定理から、JC=C D=3
△泙燭廊,ら、
 3:a=(3+2):x
 3x=5a  x=5a/3
よって、
 BH:HG=3a:x=3a:5a/3=9:5 ・・・(答)


参考文献
読売新聞 2017年2月16日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」


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変化の割合−規則性

 変化の割合を利用し、規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のようにタイルを並べていきます。 x 回目のタイルの個数を y 個として、y を x の式で表してください。

  変化の割合の応用_規則性タイル

 (x,y)の関係を表にします。
回目
10 15 2次関数
差1 1次関数
差2 定数

 差1は、y の隣の項との差です。差2は、差1の隣の項との差です。
 このとき、差1、差2は変化の割合になっています。
 なぜなら、x の増加分=1 から、
  y の増加分/x の増加分= y の増加分 だからです。
 差2は定数なので、差1は1次関数(直線)上の点です。
 差1は1次関数なので、y は2次関数(放物線)上の点です(注)
(注)
 y を、 y=ax+bx+c (2次関数) とする。
  x が、 x から x+1 に変化するとき、
 差1=a(x+1)+b(x+1)+c−(ax+bx+c)
    =a{(x+1)−x)}+b
    =a(2x+1)+b
    =2ax+a+b (1次関数)
 差2=2a(x+1)+a+b−(2ax+a+b)
    =2a (定数)
(解答)
 表の差から、(x,y)を次の2次関数上の点とする。
 y=ax+bx+c
 (x,y)=(1,1)、(2,3)、(3,6) から、
1= a+ b+c ・・・
3=4a+2b+c ・・・
6=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。押瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
 −◆А。魁瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
 ァ櫚ぁА。院瓧横瓠 。瓠瓧院殖
 ぁА。癲瓧押檻械瓠瓧院殖
  А。磧瓧院檗複瓠棕癲法瓧
 a=b=1/2、c=0 から、
  y=x/2+x/2=x(x+1)/2 ・・・(答)

(別解1) 数字の和から求める
 x 回目は、
  y=1+2+3+・・・+(x−1)+x
 逆に並べると、
  y=x+(x−1)+・・・+3+2+1
 2式をたすと、
  2y=(x+1)x
   y=x(x+1)/2 ・・・(答)  ガウス少年の計算方法

回目
1+2 1+2 1+2+3+…+

(別解2) 図形から求める
 元の図に、逆にした図を加えて2で割る。
   i規則性を図形で解く

 3通りの解き方を示しました。(解答)は機械的に解けます。(別解1)は、1+2+3+… に気がつき、和の計算が必要です。(別解2)は、思いつくと答えが簡単に求まります。
解き方 特徴 計算 確実性
 変化の割合 機械的 面倒 高い
 数字の和 論理的 知識要 普通
 図形 発明的 簡単 低い

問題
1. 下図は、1段目に10個の煉瓦(れんが)を置き、積み上げていく様子を表しています。 x 段目まで積み上げたとき、使った煉瓦の総数を y 個とします。

 れんが積みの規則性

(1) x 段目まで積むとき、y を x の式で表してください。
(2) x の範囲を答えてください。
(3) 煉瓦を52個使うと、何段目まで積めますか。

2. 球を平らな床にピラミッド状に積み重ねていきます。例えば3段に積み重ねる場合、横から見ると1段目は1個、2段目は2個、3段目は3個です。上から見ると1段目は1個、2段目は4個、3段目は9個で、2段目以降は4隅の球の中心を結ぶと正方形になります。

   積み重ねた球

(1) 5段積んだとき、使った球は全部で何個ですか。
(2) x 段積んだとき、使った球の総数を y 個として、y を x の式で表してください。
(3) 16段積んだとき、使った球は全部で何個ですか。

答 え











答 え
1.
(1)
 下の表から、y は2次関数なので、
 y=ax+bx+c とする。
段目
段個数 10
y 個 10 19 27 34 40 2次関数
差1 1次関数
差2 −1 −1 −1 −1 定数
 (x,y)=(1,10)、(2,19)、(3、27) から、
 10=a+b+c   ・・・
 19=4a+2b+c ・・・
 27=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。后瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
 −◆А。検瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
 ぁ櫚ァА。院瓠檻横瓠 a=−1/2
 ぁАb=9−3a=9+3/2=21/2
  Аc=10−(a+b)=
 よって、
  y=−x/2+21x/2
   =x(21−x)/2 ・・・(答)

(2)
 表から、 x+(x 段の個数)=11
 最上段の個数は1なので、
 x+1=11  x=10
 よって、1≦x≦10 ・・・(答)
(3)
 y=x(21−x)/2 で、y=52 から、
 52=x(21−x)/2
 xー21x+104=0
 (x−8)(x−13)=0
 1≦x≦10 から、x=8 (段目) ・・・(答)
2.
(1)
 y=1+2+3+4+5
  =1+4+9+16+25
  =55 (個) ・・・(答)
(2)
 下の表の差から、(x,y)は3次関数上の点なので、
 y=ax+bx+cx+d とする。
段目
y 個 14 30 55 3次関数
差1 16 25 2次関数
差2 11 1次関数
差3 定数
 (x,y)=(0,0)、(1,1)、(2,5)、(3,14) から、
  0=d
  1=a+b+c     ・・・
  5=8a+4b+2c  ・・・
 14=27a+9b+3c ・・・
 ◆檻× А。魁瓧僑瓠棕横癲   ΑΑΝ
 −3× А。隠院瓧横苅瓠棕僑癲 ΑΑΝ
 ァ檻×ぁА。押瓧僑瓠 a=1/3
 ぁА。横癲瓧魁檻僑瓠瓧院 b=1/2
  Аc=1−(a+b)=1−5/6=1/6
 a=1/3  b=1/2  c=1/6  d=0 から、
  y=x/3+x/2+x/6
   =(x/6)(2x+3x+1)
   =x(x+1)(2x+1)/6 ・・・(答)
(3)
 y=1+2+3+・・・+x
  =x(x+1)(2x+1)/6
 x=15 のとき、
 y=15×16×31/6
  =1240 (個) ・・・(答)


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変化の割合−減速

 変化の割合について、これまで学習したことを整理します。確認後、ボールを上に投げる問題を解いてみましょう。

 変化の割合には、2点間の直線の傾き(=平均変化率)と、2点が一致する場合の接線の傾き(=変化率)があります。

変化の割合の応用_変化率 図は、x=0 から、x=3 に
変るときの平均変化率と、
x=3 での変化率を表します。

 落下するボールの平均変化率は平均の速さで、変化率は(瞬間の)速さです。

 落下距離を y m 、落下時間を x 秒とすると、y=4.9x の関係があります。
 2点の x 座標が x=p、x=q のとき、
  平均変化率=4.9(q−p)/(q−p)
          =4.9(p+q) ・・・平均の速さ (直線の傾き)
  変化率=4.9(p+p)=9.8p
       =4.9(q+q)=9.8q ・・・速さ (接線の傾き)
 ここで、p=q=x とすると、速さの式が一般化され、
  速さ=9.8x となります。

 変化の割合から速さの式を求めるのは手間がかかります。練習問題で得られた知識を使って、速さの式を求めてみましょう。
 y=ax のとき、x における変化率は、anxn−1 なので、
 y=4.9x のとき、x における変化率(=速さ)は、
  速さ=4.9×2x2−1=9.8x となり、変化の割合を計算せずに、速さの式が求まります。

(参考)
 anxn−1 の式を使って、y=4.9x から、速さ=9.8x の式を計算することを微分(びぶん)といい、高校の数学で学習します。9.8x は、元の関数 y=4.9x から導き出されたので、導関数(どうかんすう)といい、y’( y ダッシュ)で表します。なお、微分は細かく分けるという意味です。
y=x y’=nxn−1
元の関数 微分 導関数
y=4.9x y’=9.8x
 例えば、y=ax+bx+cx+d のとき、
  y’=3ax3−1+2bx2−1+1cx1−1+0dx0−1 ← x=1
    =3ax+2bx+c 
 3次関数の y は、y’では2次関数になります。

例題
 ボールを秒速29.4m で地上から真上に投げ上げます。ボールの高さを y m とすると、x 秒後の高さは、y=29.4x−4.9x で表されます。ボールが最高点に達するのは何秒後ですか。また、最高点は何m ですか。

 最高点では、ボールの速さ(=接線の傾き)が 0 になるので、
  y’=29.4×(1x1−1)−4.9×(2x2−1
    =29.4−9.8x=0
   x=29.4/9.8=3 (秒後) ・・・(答)
  x=3 のとき、
   y=29.4x−4.9x
    =4.9x(6−x)
    =4.9××3=44.1 (m) ・・・(答)

   変化の割合の応用_投げ上げ

(別解) 2次方程式を解き、何秒後かを求める。
 y=29.4x−4.9x=0 とすると、
 x−6x=0
 x(x−6)=0  
 x=0,6 から、投げ上げた時間と着地した時間の中点が最高点の時間なので、
 (0+6)/2=3 (秒後) ・・・(答)
 x=3 のとき、
  y=29.4x−4.9x
   =4.9x(6−x)
   =4.9××3=44.1 (m) ・・・(答)

問題
 14.7 m の高さから、ボールを真上に毎秒9.8 m で発射します。x 秒後のボールの地上からの高さは、y=14.7+9.8x−4.9x です。このとき、次の問いに答えてください。
1. ボールが最高点に達するのは何秒後ですか。そのときの高さは何 m ですか。
2. ボールが14.7 m の高さを通過するのは何秒後ですか。
3. ボールが着地するのは何秒後ですか。

答 え











答 え
1.
 y=14.7+9.8x−4.9x から、ボールの速さは、
 y’=0+9.8×(1x1−1)−4.9×(2x2−1
   =9.8−9.8x
 最高点では、速さが 0 なので、
  9.8−9.8x=0
  x=1 (秒後) ・・・(答)
 x=1 のとき、
  y=14.7+9.8x−4.9x
   =14.7+9.8−4.9
   =19.6 (m) ・・・(答)
2.
 y=14.7+9.8x−4.9x=14.7 から、
 9.8x−4.9x=0
 x(2−x)=0
 x>0 から、x=2 (秒後) ・・・(答)
3.
 y=14.7+9.8x−4.9x=0 から、
 3+2x−x=0
 x−2x−3=0
 (x+1)(x−3)=0
 x>0 から、x=3 (秒後) ・・・(答)

  変化の割合の応用_投げ上げ解答


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変化の割合−加速

 関数 y=ax の接線の傾きは、anxn−1 で表されることが分かりました。この知識を利用して、加速の問題を解いてみましょう。

例題
 ボールが自然に落ちるとき、落下距離を y m 、落下時間を x 秒とすると、y=4.9x の関係になっています。高さ10m からボールが自然に落ちるとき、着地時のボールの速さを求めてください。

 y=4.9x で、y=10 から、
  10=4.9x
  x=100/49
  x>0 から、x=10/7
 ボールの速さは、放物線 y=4.9x の接線の傾きなので、
  速さ=4.9×2x2−1
     =9.8x  x=10/7 から、
     =9.8×10/7
     =14 (m/秒) ・・・(答)

   変化の割合の応用_落下速度

問題
 列車が x 秒間に進む距離を y m とするとき、加速して20秒までは y=x/2 で進み、20秒後からはそのまま同じ速さで進みます。このとき、次の問いに答えてください。
1. 20秒後の列車の速さを求めてください。
2. x≧20 のとき、y を x の式で表してください。
3. 列車の進んだ距離が500mになるのは何秒後ですか。

答 え











答 え
1.
 0≦x≦20 のとき、y=x/2 から、
  速さ=2x2−1/2=x  x=20 のとき、
     =20 (m/秒) ・・・(答)
2.
 x=20 のとき、y=x/2=200
 x≧20 での速さは、20(m/秒) で一定なので、
 y=20x+b とおくと、(20,200) から、
 200=400+b  b=−200
 よって、y=20x−200 ・・・(答)
3.
 x=20 のとき、y=200 から、
 y=500 になるのは、x≧20 のときなので、
  500=20x−200
  x=700/20=35 (秒後) ・・・(答)

  変化の割合の応用_加速から等速


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変化の割合−n次関数

 変化の割合は、2点間の直線の傾きを表します。2点が一致する場合、変化の割合は接線の傾きになり、ボールの落下では、落下速度になります。

 これから、n 次関数の変化の割合を求めてみましょう。

例題
 関数 y=x で、x が p から q に増加するとき、変化の割合Rを求めてください。また、p=q=x のときの変化の割合を求めてください。ただし、a−b=(a−b)(a+ab+b) です。

 R=(q−p)/(q−p)
  =(q−p)(q+qp+p)/(q−p)
  =p+pq+q ・・・(答)
 p=q=x のとき、
  R=p+pq+q=3x ・・・(答)

 次の表から、y=x のグラフをかいてみましょう。
−3 −2 −1
−27 −8 −1 27
 y=x のグラフは、原点(0,0)を中心として点対称です。
 x=2 のとき、接線の傾きは、3x=12 です。

 変化の割合の応用_3次関数のグラフ

問題
 下表の関数についてA〜C の問いに答え、 銑Δ硫鯏欄を完成してください。
関数のグラフを選び、記号で答えてください。 a>0 とします。
x が p から q に増加するとき、2点間の直線の傾きを求めてください。ただし、q−p=(q−p)(q+qp+p) です。
x における接線の傾きを求めてください。

変化の割合の応用_n次関数のグラフ

  解答欄
関数 グラフ 直線の傾き 接線の傾き
y=a
y=ax
y=ax
y=ax
y=ax
y=ax

答 え











答 え
 変化の割合を R (Rate of change)で表すことにする。
 。辧瓠複瓠檻瓠法拭複顱檻陝法瓧
 直線の傾き=0
 接線の傾き=0
◆。辧瓧瓠複顱檻陝法拭複顱檻陝法瓧
 直線の傾き=a
 接線の傾き=a
 R=a(q−p)/(q−p)=a(p+q)
 直線の傾き=a(p+q)
 接線の傾き=a(x+x)=2ax
ぁ。辧瓧瓠複−p)/(q−p)
   =a(q−p)(q+qp+p)/(q−p)
   =a(p+pq+q
 直線の傾き=a(p+pq+q
 接線の傾き=a(x+x+x)=3ax
ァ。辧瓧瓠複−p)/(q−p)
   =a(q+p)(q−p)/(q−p)
   =a(q+p)(q+p)(q−p)/(q−p)
   =a(p+q)(p+q
 直線の傾き=a(p+q)(p+q
 接線の傾き=a(x+x)(x+x
         =a(2x)(2x)=4ax
Α。=ax で、n=0〜4 までの接線の傾きを表にする。
接線の傾き 0a 1a 2ax 3ax 4ax
 接線の傾きは、係数が n の値で、すべてに a がつき、xn−1 となっている。よって、接線の傾き=anxn−1

  解答欄
関数 グラフ 直線の傾き 接線の傾き
y=a
y=ax
y=ax a(p+q) 2ax
y=ax a(p+pq+q 3ax
y=ax a(p+q)(p+q 4ax
y=ax anxn−1

変化の割合の応用_n次関数のグラフ解答


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