中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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円錐−体積の比較

円錐 目次 >

 異なる立体の体積を比べる問題を解いてみましょう。

練習
1. 下のア、イは、体積が等しい立体のそれぞれの投影図です。アの立体の h の値を求めてください。

    円錐_体積の比較1
(青森県高)


2. 半径 3 cm、高さ 62 cm の円柱が2つあります。それぞれの円柱の上に、ぴったりと重なる半球と、円錐をはりつけます。

    円錐_体積の比較2  横から見た図

 アの体積がイの体積より、6π cm 大きいとき、アとイの表面積は、どちらがどれだけ大きいですか。次の【 1 】と【 2 】を答えてください。
 【 1 】 の表面積が、【 2 】 cm 大きい。
(宮崎県高)

答 え












答 え
1.
 円錐と球の体積が等しいので、
  (π×)h/3=(4π×)/3
   4h=4×
   h=27/4 ・・・(答)

(参考) 球の表面積と体積
 球の半径がのとき、
 球の表面積=4πr   (心配ある二女、心配ある事情)
 球の体積=4πr/3  (身の上に心配ある三女)

2.
(考え方)
 体積の差、表面積の差の計算で、円柱部分は不要。
 円錐部分の表面積の計算で、底面積は不要。

 半球の体積=(4π×/3)/2=18π
 円錐の高さを h とすると、
 円錐の体積=(π×)h/3=3π
 半球の体積−円錐の体積=6π から、
  18π−3πh=6π
  h=4
  母線=(3+4)=5

 半球の表面積=(4π×)/2=18π ・・・
 扇形の中心角を求める。
  底面の円周=扇形の弧の長さ から、
  2π×3=(2π×5)×(中心角/360)
  中心角=216
 扇形の面積=(π×25)×(216/360)
           =15π ・・・
 ´△ら、
 半球の表面積−扇形の面積=18π−15π=3π
(答)
 【 ア 】 の表面積が、【 3π 】 cm 大きい。


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円錐−容器に注水

円錐 目次 >

 円錐の容器に水を入れる問題を解いてみましょう。

練習
1. 底面の半径が 4cm の円錐の形をした、深さが 12cm の容器があります。この容器に水を入れ、下の図のように水面が容器の底面と平行になるようにしました。このとき、水面の高さが 9cm になりました。この状態の容器に、はじめに入れた水と等しい体積の水を加えると、容器から水があふれるか、あふれないかを答え、その理由を式と言葉を用いて書いてください。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

    円錐_容器に注水1 横から見た図
(秋田県高)


2. 下の図のような円錐の容器に深さ 3cm まで水が入っています。この容器にさらに水を 98 cm 入れると、水面が 3cm 高くなりました。水面をさらに 3cm 高くするためには、あと何 cm の水が必要ですか。

     円錐_容器に注水2
(法政大高)

答 え












答 え
(考え方)
 容器の体積の半分よりも水の体積が大きければ水はあふれ、小さければあふれない。

(解答) 円錐の体積で比べる。
答え: 水はあふれない。
理由:
 容器の体積/2=(4π×12/3)/2
           =32π/3 (cm) ・・・
 水の体積の底面の半径は、4×9/12=3 から、
 水の体積=3π×9/3=27π (cm) ・・・
  筬◆,ら、
 容器の体積の半分よりも、水の体積が小さいので、あふれない。

(別解) 円錐の体積比で比べる。
答え: 水はあふれない。
理由:
 容器の円錐の体積をA、水の円錐の体積をBとする。
  Aの底面の半径=4
  Bの底面の半径=4×9/12=3
 2つの円錐は相似なので、体積比は半径の3乗の比となり、
  A:B=4:3=64:27
 A/2>B から、水はあふれない。

2.
(解答) 円錐の体積から求める。
 下図の大・中・小の円錐で、円錐大の底面の半径を r とする。

    円錐_容器に注水2解答

 相似から、
  円錐・中の半径は、6r/9=2r/3
  円錐・小の半径は、3r/9=r/3
 2段目の円錐台の体積は 98 から、
  (2r/3)π×6/3−(r/3)π×3/3=98
  (8/9)π−(1/9)π=98
  (7/9)π=98
  π=126 ・・・
 1番上の円錐台の体積は、
  rπ×9/3−(2r/3)π×6/3
 =3π−(8/9)π
 =(19/9)π  ,ら、
 =(19/9)×126=19×14=266 (cm

(別解) 円錐の体積比から求める。
 大・中・小の円錐は相似なので、
 体積比は、高さの3乗の比となり、
  大:中:小=9:6:3=27:8:1
 2番目に大きな円錐台の体積は 98 なので、
 1番大きな円錐台の体積を x とすると、
  98:x=(8−1):(27−8)
  98:x=7:19
  x=98×19/7=266 (cm

(参考) 練習問題を別解で解くための基礎知識
 相似な立体図形の体積比は、相似比の3乗。


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円錐−最短距離2

円錐 目次 >

 前回に続き、円錐上の線が最短になる問題を解いてみましょう。

練習
 図は、線分AB を直径とする円を底面とし、線分 AC を母線とする円錐です。AB=6cm、AC=10cm のとき、(3)に答えてください。

    円錐_最短距離_問題3

(1)(2) 前回の練習2
(3) この円錐の表面上に、点 A から線分 BC と交わるように。点 A まで線を引きます。このような線のうち、長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めてください。
(神奈川県高)

答 え












答 え
(3)
(解答) 三角形の内側に二等辺三角形を作る。
 側面の展開図をかくために、扇形の中心角を求める。
 中心角を a とすると、弧の長さと底面の円周が等しいので、
  (2×10)π×(a/360°)=(2×3)π
  10a/360°=3   a=108°

 AとA'(=A)の最短経路は直線なので、AA'=x を求める。
 108°=72°+36° から、 DC =DA’ となる点 D をとる。

   円錐の最短距離の問題

  図から、2組の角がそれぞれ等しいので、
  △CAA' △DA'C
   10:(x−10)=x:10
   x−10x=100  平方完成するため25をたすと、
   x−10x+25=125
   (x−5)x=125
   x=5±5
   x>0 から、x=5+55 (cm) ・・・(答)

(別解) 三角形の外側に二等辺三角形を作る。
 中心角108° を求める過程は同じ。
 AC を延長し、A’C =A’E となる点 E をとる。

   円錐_最短距離_解答3

 頂角が36° の二等辺三角形の両底角は、
  (108ー36)/2=72°
 三角形の外角は、隣り合わない内角の和と等しいので、
  36+36=72°
 図から、2組の角がそれぞれ等しいので、
  △AA’E △A’EC
  AA’ を x cm とすると、
  x:10=10:(x−10)
  x−10x=100  両辺に (10/2) をたすと、
  x−10x+5=125
  (x−5)=125
  x=5±125=5±5
  x>0 から、x=5+55 (cm) ・・・(答)

(参考) この問題を解くための基礎知識
二等辺三角形の両底角は等しい。
  頂角が36° の二等辺三角形の両底角は 72°
三角形の外角は、隣り合わない内角の和に等しい。
2組の角がそれぞれ等しい2つの三角形は相似である。
2次方程式を、平方完成または解の公式で解く。


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円錐−最短距離

円錐 目次 >

 円錐の側面に、最短距離で糸をかける問題を解いてみましょう。

例題
 下の円錐で、底面の円周の1点Pから側面を通って点 P まで糸をかけます。かける糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さを求めてください。底面の半径は 1cm 、母線の長さは 6cm です。

   円錐_最短距離_例題
(駿台甲府高)
 点 P から頂点まで切った展開図を考える。
 点 P と重なる点を P’ とすると、
 両辺が 6cm の二等辺三角形の底辺が糸の最短距離になる。

   円錐_最短距離_例題_展開図

 扇形の中心角を求める。
  底面の円周=扇形の弧の長さ から、
  2π×1=2π××中心角/360
  中心角=60 (°)
  頂点と P、P’ を結ぶと正三角形になるので、
  底辺=6 (cm) ・・・(答)

練習
1. 下図のように底面の半径が 1cm、母線の長さが 3cm の円錐があります。このとき、次の問いに答えてください。

    円錐_最短距離_問題1

(1) この円錐の体積を求めてください。
(2) この円錐の表面積を求めてください。
(3) 底面の円周上の点 P から円錐の側面を 1 周して、点 P までひもをかけます。ひもの長さが最も短くなるときの、ひもの長さを求めてください。
(富山県高)


2. 図は、線分AB を直径とする円 O を底面とし、線分 AC を母線とする円錐であり、点 D は線分 BC の中点です。AB=6cm、AC =10cm のとき、次の問いに答えてください。

    円錐_最短距離_問題2

(1) この円錐の体積を求めてください。
(2) この円錐において、2点 A、D 間の距離を求めてください。
(神奈川県高)

答 え












答 え
1.
(1)
 底面の半径=1
 円錐の高さ=(3−1)=8=2
 体積=(π××2/3
    =(22/3)π (cm) ・・・(答)
(2)
 表面積=円の面積+扇形の面積 ・・・
 扇形の中心角を求める。
  底面の円周=扇形の弧の長さ から、
   2π×1=2π××中心角/360
   中心角=120 (°)
 扇形の面積=(π××120/360=3π
 円の面積=π×π
  А”縮明僉瓧ππ=4π (cm) ・・・(答)

(3)
 下図の 線分 PP’ が最短距離になる。
 30°、60° の直角三角形の辺の比から、
 PP’=33/2+33/2=33 (cm) ・・・(答)

    円錐_最短距離_解答1
2.
(1)
 底面の半径=3
 円錐の高さ=(10−3)=91
 体積=3π×√91/3
    =(391)π (cm) ・・・(答)
(2)
 △ABC で、底辺の二等分線 AD と C O の交点Gは重心である。

    円錐_最短距離_解答2

 AD=AG+GD ・・・
  重心から、AG:GD=2:1  GD=AG/2
   А。腺帖瓧腺如棕腺如殖押瓠複魁殖押烹腺如 ΑΑΝ
 △GAO で、
  重心から、GO =C O/3=91/3
  AO =3
  AG={(91/3)+3
     =(172/9)=243/3
 ◆А。腺帖瓠複魁殖押×43/3
       =43 (cm) ・・・(答)


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円錐−回転

円錐 目次 >

 回転に関する円錐の問題を解いてみましょう。

例題
 底面の円の直径が 4cm 、母線の長さが 12cm の円錐があります。図のように、この円錐を頂点 O を中心として平面上をすべることなくころがしました。円錐が点線で示した円の上を1周してもとの位置に戻るまでに何回転するか求めてください。

   円錐_円錐を回転_例題
(青森県高)
 回転数=点線の円周/底面の円周
      =2π×12/(2π×2)=6 (回転) ・・・(答)

練習
1. 図のように、底面の半径が 3cm で、高さが 4cm の円錐があります。
(1) 円錐は、ある平面図形を直線のまわりに 1 回転させてできる立体とみることができます。直線を回転の軸として 1 回転させたとき、円錐ができる図形として正しいものはどれですか。

   円錐_回転体

(2) 図の円錐の体積を求めてください。
(3) 図の円錐の側面となる扇形の半径と、中心角の大きさを求めてください。
(長野県高)

2. 鉄でできた円錐の形をした重りがあります。図1のように重りを倒し、平面上を回転させたところ、重りは 5 回転して半径 10 cm の円をちょうど 3周しました。このとき、次の各問いに答えてください。

   円錐_円錐を回転_練習

(1) 半径 10 cm の円の円周の長さを求めてください。
(2) この重りの底面の半径を求めてください。
(3) 水が入っている円柱の形をした水槽(すいそう)があります。水の高さは 2cm です。ここに図1の重りを図2のように入れると、水の高さが最初の高さの 2倍になりました。この水槽の底面の半径を求めてください。ただし、水槽の厚みは考えないものとします。
(沖縄県高)

答 え












答 え
1.
(1) イ

(2) 円錐の体積=底面積×高さ/3
           =3π×4/3
           =12π (cm) ・・・(答)
(3)
 扇形の半径を x cm 、中心角を y ° 、とすると、
 扇形の弧の長さ=底面の円周 から、
  2π×(y/360)=2π×3 ・・・
 三平方の定理から、
  x=(3+4)=25=5  ,紡綟すると、
  5×(y/360)=3
  y=3×360/5=216
(答) 半径 5cm  中心角 216°

2.
(1) 円周=2π×半径
       =2π×10=20π (cm) ・・・(答)

(2) 重りの底面の半径を x cm とする。
 重りが5回転して3周したので、
  (2πx)×5=(20π×
  x=6 (cm) ・・・(答)

(3) 水槽(円柱)の底面の半径を x cm とする。
 三平方の定理から、
  円錐の高さ=(10−6)=64=8
 円錐台の高さは、2cmの2倍になったので、4cm
 円錐台の体積=円柱内の水が2cm増加した体積 である。

   円錐_円錐を回転_練習_各長さ

 円錐台の体積=円錐の体積−小さい円錐の体積
          =6π×8/3−3π×4/3
          =(96−12)π=84π      ・・・
 円柱内の水が2cm増加した体積=xπ×2  ・・・
  甅◆А。牽π=2xπ
 x>0 から、x=42 (cm) ・・・(答)


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