中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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式の値−方程式から

式の値 >

 連立方程式や2次方程式から、式の値を求めてみましょう。

例題1
 x+y=7、x−y=5 のとき、xy の値を求めてください。
(同志社高)

 各式を2乗する。
 x+2xy+y=7
 x−2xy+y=5  2式の差をとる。
 4xy=2
 xy=1/2 ・・・(答)

例題
 x−x−3=0 の解を a、b (a>b) とするとき、a−b の値を求めてください。
(土浦日大高)

 x−x−3=0  解の公式から、
 x={1±(1+12)}/2
  =(1±13)/2
 a−b
=(1+13)/2−(1−13)/2=13 ・・・(答)
(別解) 係数を比較する
 2次方程式の解が a、b なので、
 x−x−3=(x−a)(x−b)=x−(a+b)x+ab
 係数を比較すると、
 a+b=1 ab=−3
 求める式は、
 (a−b)=(a+b)−4ab=1+12=13
 a>b から、a−b=13 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x+y=4、x−y=2 のとき、 x+y
(成城高)
2. x+y=5、x−y=3 のとき、x/y−y/x
(大阪星工学院高)
3. −5x+1=0 のとき、
(1) x+1/x  (2) x+1/x
(同上 (2)追加)
4. a+b−3ab=5、2a+2b+ab=3 のとき、a+b
(明治大付属明治高)
5. 3x−5x+1=0 の2つの解を a,b(a>b)
とするとき、 a−b
(豊島岡女子学園高)
答 え












答 え
1.
 x+y=4、x−y=2 のとき、
 各式を2乗する。
 x+2xy+y=16
 x−2xy+y=2  2式の差をとる。
 4xy=14  xy=7/2
 求める式は、
 x+y=(x+y)−2xy=16−7=9 ・・・(答)
2.
 x+y=5、x−y=3 のとき、
 x/y−y/x=(x−y)/xy=(x+y)(x−y)/xy ・・・
 条件の各式を2乗すると、
 x+2xy+y=5
 x−2xy+y=3  2式の差をとる。
 4xy=2  xy=1/2
 よって,蓮
 (x+y)(x−y)/xy
5×3×2=215 ・・・(答)
3.
(1)
 x−5x+1=0 x≠0 なので、x でわる。
 x+1/x=5 のとき、
 x+1/x
=(x+1/x)−2=25−2=23 ・・・(答)
(2)
 x+1/x
=(x+1/x−2
=23−2=527 ・・・(答)
4.
 a+b−3ab=5、2a+2b+ab=3 から、
 a+b=x、ab=y と置くと、
 x−3y=5
 2x+y=3 から、6x+3y=9
2式の和: 7x=14  x=2
 y=3−2x=−1
 よって求める式は、
 a+b
=(a+b)−2ab=x−2y=4+2=6 ・・・(答)
5.
 3x−5x+1=0 の2つの解が a、b (a>b) から、
 x−(5/3)x+1/3=(x−a)(x−b)
=x−(a+b)x+ab  係数を比較すると、
 a+b5/3  ab=1/3
 (a−b)=(a+b)−4ab=25/9−4/3=13/9
 a>b から、a−b=√13/3
 よって求める式は、
 a−b
=(a+b)(a−b)
=(5/3)×√13/3=5√13/9 ・・・(答)

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式の値−因数分解を利用

式の値 >

 因数分解を使って、式の値を求めてみましょう。

 因数分解の方法には、共通因数をくくる(=まとめる)、和と差の積にする、和か差の2乗にする、係数を分解する、最低字数順にする、があります。

 共通因数をくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

 因数分解を使って、計算をしやすくしましょう。例題1は、条件式を因数分解しています。例題2は、求める式を因数分解しています。

例題1
 x=3、y=2 のとき、(x+y)−(x−y) の値を求めてください。
(茨木県高)

 (x+y)−(x−y)  2乗の差=和と差の積 から、
=(c+y+x−y)(x+y−x+y)
=2x×2y
=4xy  x、y を代入する。
=46 ・・・(答)

例題
 x=1+23、y=−1+3 のとき、x−xy−2y の値を求めてください。
(都立立川高)

 x−xy−2y  係数を分解して因数分解する。
=(x+y)(x−2y)  x、y を代入する。
=33(1+23+2−23)
=93 ・・・(答)
×  y  xy
−2y −2xy
−2 −xy

練習
 式の値を求めてください。
1. x=7−2、y=3−22 のとき、x−xy+3x
(国立高専)
2. a=(1+3+5)/2、b=(−1+3−5)/2 のとき、
−b
(都立新宿高)
3. x=121、y=131 のとき、x−xy−2x+2y
(慶應義塾高高)
4. x=22−3、y=−2+23 のとき、
2x+5xy+2y
(東大寺学園高)
5. x=2−2、y=2 のとき、xy/2+xy
(日大第三高)
答 え












答 え
1.
 x=7−2、y=3−22 のとき、
 x−xy+3x  共通因数 x をくくる。
=x(x−y+3)  x、y を代入する。
=(7−2)(7−2−3+22+3)
=(7−2)(7+2)  2乗の差にする。

=5 ・・・(答)
2.
 a=(1+3+5)/2、
 b=(−1+3−5)/2
 a−b  2乗の差=和と差の積 から、
=(a+b)(a−b)  a、b を代入する。
3(1+5)
3+15 ・・・(答)
3.
 x=121、y=131 のとき、
 x−xy−2x+2y  共通因数 x と2をくくる。
=x(x−y)−2(x−y)  共通因数 (x−y) をくくる。
=(x−y)(x−2)  x、y を代入する。
=−10×119
=−1190 ・・・(答)
(別解)
 x−xy−2x+2y  最低次数 y の順に整理する。
=(2−x)y+x−2x  共通因数 x をくくる。
=(2−x)y+x(x−2)  共通因数 (2−x) をくくる。
=(2−x)(y−x)
=−119×10=−1190 ・・・(答)
4.
 x=22−3、y=−2+23 のとき、
 2x+5xy+2y  係数を分解して因数分解する。
=(2x+y)(x+2y)  x、y を代入する。
=(42−23−2+23)
 ×(22−3−22+43)  順にかける。
=32×3
=96 ・・・(答)
×  2y  4xy
2x   y  xy
2x 5xy
(別解) 対称式から求める
 2x+5xy+2y
=2(x+y)+xy  x、y を代入する。
=2(2+3)+(22−3)(−2+23)
=(10+46)+(−4+46+6−6)
=96 ・・・(答)
5.
 x=2−2、y=2 のとき、
 xy/2+xy  共通因数 xy をくくる。
=xy(x+2)/2  x、y を代入する。
=(2−22)×2/2
=(1−2)×
2−2 ・・・(答)

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式の値−対称式から

式の値 >

 求める式を2数の和と積に変形し、式の値を求めてみましょう。

 x+y や xy で表すことができる式を対称式といい、x と y を交換できます。
例:  x+y=y+x  xy=yx
 1/x+1/y=(x+y)/xy
 x+xy+y=(x+y)−xy
 (a−b)=a−2ab+b=(a+b)−4ab

例題1
 x=6+2、y=6−2 のとき、xy+xy の値を求めてください。
(神奈川県高)

 求める式を変形する。
  xy+xy=xy(x+y)
 条件式から、xy、x+y を求める。
  xy=−2=2
  x+y=2
 求める式を計算する。
  xy(x+y)=2×6=46 ・・・(答)

例題
 x+y=7、x−y=5 のとき、(1)〜(2)の式の値を求めてください。
(1) xy
(2) 1/x+1/y
(3)  y/x+x/y
(同志社高 (2)(3)追加)

(1) 条件式をそれぞれ2乗する。
 x+2xy+y=7
 x−2xy+y=5  2式の差をとる。
  4xy=2  xy=1/2 ・・・(答)
(2) 求める式を変形する。
 1/x+1/y
=(x+y)/xy  x+y=7、xy=1/2 から、
=27 ・・・(答)
(3) 求める式を変形する。
 y/x+x/y
=(x+y)/xy
={(x+y)−2xy}/xy
=(x+y)/xy−2  x+y=7、xy=1/2 から、
=7×2−2=12 ・・・(答)
(別解)
 y/x+x/y
=(x+y)/xy
={(x−y)+2xy}/xy
=(x−y)/xy+2  x−y=5、xy=1/2 から、
=5×2+2=12 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x+y=11、x−y=3 のとき、x
(筑波大附属高)
2. x=7+3、y=7−3 のとき、
x/y−y/x
(日大第二高)
3. a=(1+2)/2、b=(1−2)/2 のとき、
3(ab−1)+(a+2)(b+2)
(久留米大附設高)
4. (a+1)(b+1)=7、(a−1)(b−1)=−1 のとき、
(a+2)(b+2)
(城北高)
5. x=(6+3)/2、y=(6−3)/2 のとき、
2xy+2xy−x−y
(早実高等部)
答 え












答 え
1.
 求める式を変形する。
  x=(xy)
 条件式から、xy を求める。
 x+y=11 x−y=3 
 それぞれの式を2乗する。
  x+2xy+y=11
 x−2xy+y=3  2式の差をとる。
 4xy=8  xy=2
 求める式を計算する。
 (xy)=2=32 ・・・(答)
2.
 求める式を変形する。
 x/y−y/x
=(x−y)/xy=(x+y)(x−y)/xy
 条件式から、x+y、x−y、xy を求める。
 x=7+
 y=7−3 から、
  x+y=2
  x−y=2
  xy=7−3=4
 求める式を計算する。
 (x+y)(x−y)/xy
=27×23/4=21 ・・・(答)
(参考)
 x/y−y/x は対称式ではありません。変形すると、(x−y) が含まれるからです。
3.
 求める式を変形する。
 3(ab−1)+(a+2)(b+2)
=3(ab−1)+ab+2(a+b)+4
=4ab+2(a+b)+1
 条件式から、ab、a+b を求める。
 a=(1+2)/2
 b=(1−2)/2 から、
 ab=(1−2)/4=−1/4
 a+b=1
 求める式を計算する。
 4ab+2(a+b)+1
=−1+2+1=2 ・・・(答)
4.
 求める式を変形する。
 (a+2)(b+2)
=ab+2(a+b)+4
 条件式から、ab、a+b を求める。
 ab+(a+b)+1=7
  ab+(a+b)=6  ・・・
 ab−(a+b)+1=−1
  ab−(a+b)=−2 ・・・
 椨◆А。横瓧癲瓧粥 。瓧癲瓧
 櫚◆А。押複瓠棕癲法瓧検 。瓠棕癲瓧
 求める式を計算する。
 ab+2(a+b)+4
=2+2×4+4=14 ・・・(答)
5.
 求める式を変形する。
  2xy+2xy−x−y
=2xy(x+y)−(x+y)  共通因数でくくる。
=(x+y)(2xy−1)
 条件式から、x+y、xy を求める。
 x=(6+3)/2
 y=(6−3)/2 から、
 x+y=
 xy=(6−3)/4=3/4
 求める式を計算する。
 (x+y)(2xy−1)
6(3/2−1)=6/2 ・・・(答)

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式の値−条件式を変形

式の値 >

 条件の式を変形し、式の値を求めてみましょう。

例題
  x=5−2 のとき、x+4x+5 の値を求めてください。
(都立隅田川高)

 x=5−2  式を変形する。
 x+2=5  両辺を2乗する。
 x+4x+4=5 から、
 x+4x+5=5+1=6 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. a=7−3 のとき、a+6a+6
(市川高)
2. x=(3−1)/2 のとき、2x+2x+1
(立命館高)
3. x=1+3 のとき、x+3x+2
(国立工業高専)
4. x=(−1+5)/2 のとき、4x+ 4x−2x−1
(西大和学園高)
5. +2xy+y=10、x−y=2 のとき、xy
(久留米大附設高)
答 え












答 え
1.
 a=7−3 右辺を √7 にする。
 a+3=7 両辺を2乗する。
 a+6a+9=7
 a+6a=−2 両辺に6をたす。
 a+6a+6=4 ・・・(答)
2.
 x=(3−1)/2 を変形する。
 2x+1=3 両辺を2乗する。
 4x+4x+1=3
 4x+4x=2
 2x+2x=1 両辺に1をたす。
 2x+2x+1=2 ・・・(答)
3.
 x=1+3 を変形する。
 x-1=3 両辺を2乗する。
 x-2x+1=3
 x=2x+2 を求める式に代入する。
 
+3x+2
=5x+4
=5(1+3)+4
=9+53 ・・・(答)
(別解)求める式を因数分解する
 x+3x+2
=(x+1)(x+2)  =1+√3 を代入する。
=(2+3)(3+3)
=6+53+3
=9+53 ・・・(答)
4.
 x=(−1+5)/2 式を変形する。
 2x+1=5 ・・・ 両辺を2乗する。
 4x+4x+1=5
 4x+4x=4 ・・・
 4x+ 4x−2x−1
=x(4x+4x)−(2x+1) ↓,ら、
=4x−
=2(−1+5)−
5−2 ・・・(答)
5.
 x+2xy+y=10 ・・・
 x−y=2 両辺を2乗する。
 x−2xy+y=4  ・・・
 櫚◆
 4xy=6
 xy=3/2 ・・・(答)

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式の値−値を代入

式の値 >

 値を代入して式の値を求めてみましょう。

 求める式が計算できるなら簡単にして、値を代入します。

例題
 x=1/5、 y=3 のとき、3(x−5y)−2(4x−7y)
の値を求めてください。
(秋田県高)

 3(x−5y)−2(4x−7y)  分配法則から、
=3x−15y−8x+14y  同類項をまとめる。
=−5x−y  値を代入する。
=−1−3=−4 ・・・(答)

練習
 次の式の値を求めてください。
1.  x=2、 y=−3 のとき、2(x−3y)−(3x−5y)
(群馬県高)
2.  a=1/8 のとき、(2a−5)−4a(a−3)
(静岡県高)
3.  x=3+1、y=3−1 のとき、xy+x
(青森県高)
4.  x/2=y/3=z/4 のとき、
 (x+y+z)/(xy+yz+zx)
(西大和学園高)
5.  a=4+32 b=4−32 c=−4 のとき、
 (−2abc)÷(b/2a)
(大阪星光学院高)
答 え











答 え
1.  x=2、 y=−3 のとき、
 2(x−3y)−(3x−5y)  分配法則から、
=2x−6y−3x+5y  同類項をまとめる。
=−x−y  x と y を代入する。
=−2+3=1 ・・・(答)
2.  a=1/8 のとき、
 (2a−5)−4a(a−3) 乗法公式、分配法則から、
=(4a−20a+25)−4a+12a  同類項をまとめる。
=−8a+25  a を代入する。
=−1+25=24 ・・・(答)
3.  x=3+1、y=3−1 のとき、
 xy+x
=(3+1)(3−1)+3+1  和と差の積=2乗の差
=3−1+3+1
=3+3 ・・・(答)
4.  x/2=y/3=z/4=a とする。
 x=2a y=3a z=4a
 (x+y+z)/(xy+yz+zx)  値を代入する。
=(4a+9a+16a)/(6a+12a+8a
=29/26 ・・・(答)
5.   a=4+32 b=4−32 c=−4 のとき、
 (−2abc)÷(b/2a)  わり算を逆数のかけ算にする。
=(−2abc)×(2a/b  (  )の累乗を計算する。
=−8a×4a/b  数字と、文字の累乗を計算する。
=−32a3+29−43−6
=−32a−3
=−32(ab)/c  各値を代入する。
=−32{(4+32)(4−32)}/64
=32{(32+4)(32−4)}/64  和と差の積から、
=32(18−16)/64
=32×32/64=16 ・・・(答)

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