中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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規則性…規則集2

規則性を見つける4 >

規則性…マッチ棒
最初の数、増加する数を式で表す。

  マッチの規則性

 n 回目のマッチ棒の本数をSとすると、
 n=1: S=4
 n=2: S=4+3=4+3×1
 n=3: S=4+3+3=4+3×2
   :
 n=n: S=4+3(n−1)=3n+1

規則性…分数の並び
 次の表で、n 番目の分母を式で表す。
n 番目
分子 2n−1
分母 53 57 61 65 1次関数
 隣との差 一定

 分母の隣の項との差は4で一定なので、
 分母は1次関数に従う。分母をSとすると、
 傾きは 4/1=4、n=0 のとき、S=53−4=49
 よって、S=4n+49

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規則性…規則集1

規則性を見つける4 >

規則性…三角のタイル
 1番目、2番目、3番目、… 、n 番目と、タイルなどが増加するとき、次の 銑い茲Δ兵阿覗躾遙咾表される例が多い。
  。咫瓧院棕押棕魁棔帖棕
 ◆。咫瓧押棕粥棕供棔帖棕横
  S=1+3+5+…+2n−1
 ぁ。咫瓧+2+3+…+n

 和の式のままでは、n の値が大きい場合や、n の値を示されて何番目か、という課題に答えることは難しい。

 そこで、和の式を積の式にする。ここでは、 銑の式について計算方法を示す。い侶彁司法は別途述べる。

 ー然数の和
 S=1+2+3+…+n  逆に並べる。
 S=n+…+3+2+1  2式をたす。
2S=(1+n)×n
 S=n(n+1)/2
◆ゞ数の和
 S=2+4+6+…+2n   2でわる。
 S/2=1+2+3+…+n  逆に並べる。
 S/2=n+…+3+2+1  2式をたす。
 S=(1+n)×n
  =n(n+1)
 奇数の和
 S=1+3+5+…+2n−1  逆に並べる。
 S=2n−1+…+5+3+1  2式をたす。
2S=2n×n
 S=n

規則性…四角いタイル
総数から、何番目かを求める方法
例: S=n(n+1)/2=1275 から n を求める。
 n+n−2550=0 は不等式で解く。
 n(n+1)=2550
 n<n(n+1)<(n+1)
 50=2500<n(n+1)<55=3025
 50×51=2550 から、n=50

(参考) 2桁の数 ○5 の暗算
2桁の数 ○5 を暗算で求める。
 ○×(○+1) を計算し、25をつける。
 =(× 2×100+25= 25
 =(× 3×100+25= 25
 =(× 4×100+25=1225
 =(× 5×100+25=2025
 =(× 6×100+25=3025 ←
 =(× 7×100+25=4225
 =(× 8×100+25=5625
 =(× 9×100+25=7225
 =(×10×100+25=9025

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規則性…魔方陣3

規則性を見つける4 >

 倍数、分数、不連続な整数などを使った、3×3の魔方陣の問題を解いてみましょう。

規則性: 魔方陣の計算
 魔方陣の各数に、同じ数をかけたり、たしたりできる。
×2+1 ×2+1 ×2+1
×2+1 ×2+1 ×2+1
×2+1 ×2+1 ×2+1
+1 +1 +1
+1 +1 +1
+1 +1 +1

規則性: 中央の数を含む3つの数の和
 a<b<c<d<e<f<g<h<i の数を1つずつ使うとき、
 次のように、(小さい数,大きい数)の組を作る。
  (a,i)、(b,h)、(c,g)、(d,f)、e
 e は中央の数で、
  各組の和/2=中央の数 となる。
  (a+i)/2=(b+h)/2=(c+g)/2=(d+f)/2=e
 a は最小値、i は最大値から、
  中央の数=(最小値+最大値)/2 で計算できる。
 各組の和は 2e から、
  3つの数の和=中央の数×3
  a+e+i=b+e+h=c+e+g=d+e+f=3e
 なお、e のマスの位置は中央だが、e 以外の a 〜 i のマスの位置は数値によって異なる。

例: 1、3、4、5、6、7、8、9、11 の魔方陣
 (小さい数,大きい数)の組を作る。
 (1,11)、(3,9)、(4,8)、(5,7)、6
 各組の和=12
 中央の数=(1+11)/2=6
 各組の和+中央の数=12+6=18
 辺の部分の和=18 になっている。
規則性 魔方陣

例題1
 3、6、9、12、15、18、21、24、27 の数字を1つずつ使って、次の魔方陣を完成してください。
 3、6、9、12、15、18、21、24、27
 n 番目は、3n (n=1,2,…,9) になっている。
 1,2,3,4,5,6,7,8,9 の魔方陣の各数に3をかける。
1〜9の魔方陣
← 和み
← 福呼ぶ
1〜9の魔方陣×3 (答)
6×3 1×3 8×3
7×3 5×3 3×3
2×3 9×3 4×3
18 24
21 15
27 12

例題2
 0、1、2、4、5、6、8、9、10  の数字を1つずつ使って、次の魔方陣を完成してください。
 (小さい数,大きい数)の組に並べる。
 (0.10)、(1,9)、(2,8)、(4,6)、5
 中央の数=5 とみなすと、
 小さい数+大きい数+5=10+5
  (0.10)、(1,9)、5 から、
10
 外枠の3つの和は、0+5+10=15 から、
10
 瓧隠機檗複亜棕后法瓧
◆瓧隠機檗吻 棕院法瓧
(2,8=◆ から、=2
(4,6=  から、ぁ瓧
(答)
10
4辺の3つの数の和は15
になっている。

練習
1. 1〜9を使った魔方陣をもとに、次の9個の数を使った魔方陣を完成してください。
 1 、1.5 、2 、2.5 、3 、3.5 、4 、4.5 、5
1〜9の魔方陣 問題

2. 1. 1〜9を使った魔方陣をもとに、次の9個の数を使った魔方陣を完成してください。
 2/3 、5/6 、1 、7/6 、4/3 、3/2 、5/3 、11/6 、2
1〜9の魔方陣 問題
2/3
5/3

3. 次の9個の数を使った使った魔方陣を完成してください。
 2、3、4、6、7、8、10、11、12

答 え












答 え
1.
 1 、1.5 、2 、2.5 、3 、3.5 、4 、4.5 、5
 n 番目は、n/2+0.5 (n=1,2,…,9) から、
 1〜9の魔方陣の各数を2でわり、0.5をたす。
魔方陣の数/2+0.5 (答)
6/2+0.5 1/2+0.5 8/2+0.5
7/2+0.5 5/2+0.5 3/2+0.5
2/2+0.5 9/2+0.5 4/2+0.5
3.5 4.5
1.5 2.5

2.
 2/3 、5/6 、1 、7/6 、4/3 、3/2 、5/3 、11/6 、2
 分母を6で通分する。
 4/6、5/6、6/6、7/6,8/6、9/6、10/6、12/6
 n 番目は、(n+3)/6 (n=1,2,…,9) から、
 1〜9の魔方陣の各数に3をたし、たした数を6でわる。。
(魔方陣の数+3)/6 (答)
(6+3)/6 (1+3)/6 (8+3)/6
(7+3)/6 (5+3)/6 (3+3)/6
(2+3)/6 (9+3)/6 (4+3)/6
3/2 2/3 11/6
5/3 4/3
5/6 7/6

3.
 (小さい数,大きい数)の組に並べると、
 (2,12)、(3,11)、(4,10)、(6,8)、7
 小さい数+大きい数+7=14+7=21
 (2,12)、(3,11)、7 を表に書く。
11
12
 瓧横院檗複押棕隠院法瓧
◆瓧横院檗吻 棕魁法瓧隠
11
10
12
(4,10) から、=4
(6,8) から、ぁ瓧
(答)
11
10
12
各辺の3つの数の和は21
になっている。

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規則性…魔方陣2

規則性を見つける4 >

 3×3の魔方陣の規則性を導き、問題を解いてみましょう。魔方陣は、縦・横・斜めのそれぞれの和がすべて等しいものをいいます。

規則性1: 9個の数を使う魔方陣
 魔方陣の定義から、縦・横・斜めのそれぞれの和を n とする。
 横の和から、
  a+b+c=n
  d+e+f=n
  g+h+i=n
 3式の和から、
  a+b+c+d+e+f+g+h+i=3n ・・・
 eを使う斜め・縦・横のそれぞれの和から、
  a+e+i=n
  b+e+h=n
  c+e+g=n
  d+e+f=n
 4式の和から、
  a+b+c+d+4e+f+g+h+i=4n
 ,ら、3n+3e=4n
 よって、n=3e
 中央の数=e から、
 残りの2数の和は、3e−e=2e
 つまり、次の規則性がある。
(9個の数の魔方陣)
 3つの数の和=3e
 中央の数=e
 残りの2数の和=2e

規則性2: 連続する9個の数を使う魔方陣
 連続する9個の数は、中央の数を e とすると、
  e−4、e−3、e−2、e−1、e、e+1、e+2、e+3、e+4
 (小さい数,大きい数)の組を作ると、
  (−4,+4)、(−3,+3)、(−2,+2)、(−1,+1)、
 この組で下図の魔方陣が成立する。
 縦・横・斜めの和は、すべて 3e となっている。
 また、e を除いた残り2数の和は、すべて2e となっている。
+1 −4 +3
+2 −2
−3 +4 −1
 以上から、次の規則性がある。
(連続する9個の数の魔方陣)
 外枠の2数の組は、
 (−4,+4)、(−3,+3)、(−2,+2)、(−1,+1)
 3つの数の和=3e
 中央の数 e=(最小値+最大値)/2 ← e が計算できる。
 残りの2数の和==2e

規則性3: 魔方陣の計算
 たし算・ひき算: 各数に同じ数をたす(ひく)。
6+2 1+2 8+2
7+2 5+2 3+2
2+2 9+2 4+2
10
11
 かけ算・わり算: 各数に同じ数をかける(わる)。
6×2 1×2 8×2
7×2 5×2 3×2
2×2 9×2 4×2
12 16
14 10
18

例題1
 1から9の異なる数を使って、
(1) 3×3の魔方陣を1つ作ってください。
(2) 魔方陣は何通りできますか。数字の位置が異なれば、別の魔方陣とします。

(1) 1、2、3、4、5、6、7、8、9 から、(大きい数,小さい数)の組を作ると、 (1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、5
  中央の数=(1+9)/2=5
  外枠の組の和=1+9=10
 中央の5を含む縦・横・斜めの4組は分かっているが、4辺に相当する外枠の数の位置は求まっていない。
 1の場所を図1と図2として、(x,y,z) を求める。
図1 図2
10−z
10−y
10−x
10−z
10−y
10−x
 図1において、
 x+y+z=15 ・・・
 x+1+(10−z)=15 から、x=z+4 ・・・
 (1,9)は使われているので、1<z<9  4をたすと、
 5<z+4=x<13  1<x<9 から、
 5<x<9  x=6,7,8
 ↓,ら、
 x=6: z=x−4=2 y=15−(x+z)=7
 x=7: z=3 y=5  5は使われているので不適
 x=8: z=4 y=3
 よって、(x,y,z)=(6,7,2)、(8,3,4) となり、
 次の魔方陣となる。
 図2において、
 1+x+(10−z)=15 から、x−z=4 ・・・
 1+y+z=15 から、y+z=14 ・・・
  椨:: x+y=18 ・・・
 ところが、9は使われているので、x+y<18
 は不適なので、図2は成立しない。

(2) 上に並ぶ3つの数(6,1,8)で、
 6と8を交換すると2通り、
 1の場所は、右、下、左もあるので、4通り
 2×4=8 (通り) ・・・(答)

規則性3: 魔方陣の計算
 たし算・ひき算: 各数に同じ数をたす(ひく)。
6+2 1+2 8+2
7+2 5+2 3+2
2+2 9+2 4+2
10
11
 かけ算・わり算: 各数に同じ数をかける(わる)。
6×2 1×2 8×2
7×2 5×2 3×2
2×2 9×2 4×2
12 16
14 10
18

例題2
 2〜18の偶数を1つずつ使い、3×3の魔方陣を作ります。中央の数を求めてください。

 2、4、6、8、10、12、14、16、18 の9個の数から、
 (小さい数,大きい数)の組を作ると、
 (2,18)、(4,16)、(6,14)、(8,12)、10
 よって、中央の値は10 ・・・(答)
12 16
14 10
18

練習
1. 次のような1〜9を使った魔方陣をもとに、3〜19の奇数の数字を1つずつ使った魔方陣を1つ作ってください。

(参考)
 覚え方
 和(なご)み
 福(ふく)呼(よ)ぶ

2. 1、3、4、5、6、7、8、9、10、11 の数を1つずつ使って魔方陣を作ります。中央の数と、縦・横・斜めの3つの数の合計を求めてください。

3. 26〜34の整数を1つずつ使って、下の魔方陣を完成させてください。26、30、32はすでに使われています。
32 30
26
(函館ラ・サール高)

答 え












答 え
1.
 3から始まる奇数なので、もとの魔方陣を2倍して1をたす。
(答)
6×2+1 1×2+1 8×2+1
7×2+1 5×2+1 3×2+1
2×2+1 9×2+1 4×2+1
13 17
15 11
19

2.
 1、3、4、5、6、7、8、9、11 から、(小さい数,大きい数)の組を作る。
 (1,11)、(3,9)、(4,8)、(5,7)、6
 中央の数は、6、合計は、1+11+6=18 ・・・(答)
11

3.
 26〜34の数から、(小さい数,大きい数)の組を作る。
 (26,34)、(27,33)、(28,32)、(29,31)、30
 3つの数の合計は、26+30+34=90
 B=34、F=28
 A+34+C=90  A+C=56  ・・・
 C+28+=90 C+=62 ・・・
 A+30+=90 A+=60  ・・・
−◆А。繊檻叩瓠檻押 牒
 椨ぁА。横繊瓧毅粥 。繊瓧横
ぁА。叩瓧繊棕押瓧横
 (A,)=(27,33) から、=33
 (C,G)=(29,31) から、G=31
(答)
27 34 29
32 30 28
31 26 33
(別解)
 和み福呼ぶから、1〜9の魔方陣を書く。
 26=1+25なので、各数に25をたす。
 A、B、C、F、G、が求まる。
6+25 1+25 8+25
+25 +25 +25
+25 +25 +25
G 31 26 I 33
32 30 F 28
A 27 B 34 C 29

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規則性…碁石

規則性を見つける4 >

 碁石を規則敵に並べる問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、碁石を左から右に規則的に並べていきます。
  ●○○●○○●○○●○○…
(1) 黒い碁石が1個、2個、3個、… x 個のとき、黒い碁石はそれぞれ1番目、4番目、7番目、… y 番目となります。 y を x で表してください。
(2) 26番目の碁石は何色ですか。
(3) 碁石を40個並べると、白い碁石は合わせて何個になりますか。

(解答)
(1) 黒の数と、黒が何番目かを表にまとめる。
黒の数
y 番目 10 13 1次関数
隣りとの差 一定
 y の隣りの項との差は3で一定なので、
 (x,y)のグラフは1次関数に従う。
 傾きは、3/1=3
 x=0 のとき、y 切片は y=1−3=−2 から、
 y=3x−2 ・・・(答)
(2) y=3x−2=26 とすると、x=28/3=9.3…
 26番目が黒なら割切れる。
 しかし、割切れないので白 ・・・(答)
(3) y=3x−2=40 とすると、
 x=42/3=14  黒は14個なので、
 白は、40−14=26 (個) ・・・(答)

練習
1. 白い碁石と黒い碁石がたくさんあります。これらの碁石を下の図のように、白、黒、黒、白、黒、黒、…と、白1個、黒2個の順で、1段目には1個、2段目には2個、3段目7には3個…と規則正しく置いていきます。
1列目 2列目 3列目 4列目 5列目 6列目
1段目 16 17 36
2段目 15 18 35
3段目 14 19 34
4段目 20 33
5段目 32
6段目
(1) 8段目に置かれている碁石のうち、白い碁石は全部で何個ですか。
(2) 1段目から15段目までに置かれている碁石のうち、3列目に置かれている碁石は全部で何個ですか。
(3) n 段目から (n+2)段目までに置かれている碁石の個数は、白と黒を合わせると全部で【 ア 】個で、そのうち白い碁石は【 ア 】個です。ア、イに当てはまる数を n を使って表してください。
(4) x 段目に置かれている碁石のうち、白い碁石の個数が全部で20個となるときの、x の値を全て求めてください。ください。
(愛媛県高)

答 え












答 え
1.
(1)
 7段目は、○●●○●●○
 8段目は、●●○●●○●● から、
 白は2個 ・・・(答)
(2)
 |別椶ら段目の3列目の縦の並びを横に書く。
 ´↓きキΝЛ┃
 空空●●○●●○●●○●●○●
 から、
 白は、4個 ・・・(答)
(3)
【 ア 』 n+(n+1)+(n+2)=3n+3 ・・・(答)
【 イ 】
 n 段を含む3段の、白の個数を表にまとめる。
段を
含む3段
+1
 表から白は、n+1 ・・・(答)
(4)
 x 段目の白と黒の個数を表にまとめる。
段目 10
黒は222、444、666 と繰り返している。
 x=2、3、4  のとき、黒=2=2×1
 x=5、6、7  のとき、黒=4=2×2
 x=8、9、10 のとき、黒=6=2×3
   :
 n=1,2,3,… とすると、
 x=3n−1、3n、3n+1 のとき、黒=2n
 白=x−2n=20 から、
 (3n−1)−2n=20 n=21 x=3n−1=62
 (3n)−2n=20    n=20 x=3n=60
 (3n+1)−2n=20 n=19 x=3n+1=58
(答) x=58、60、62

(参考) 2,5,8,11,… の n 番目の式 y
 隣りの項との差は3で一定なので、y は1次関数に従う。
 傾きは、3/1=3
 n=0 のとき、2−3=−1 から、
 y=3n−1 と表すことができる。

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