中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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確率−玉の色

確率を求める3 目次 >

 玉を取り出す確率を求めてみましょう。

 取り出した玉をもどすか、もどさないかによって、場合の数が異なります。
例: 4個の玉が入った袋の中から、1個の玉を取り出します。
(1) 玉をもどし、もう1個を取り出し並べる場合
  全ての場合の数Nは、N=4×
(2) 玉をもどさず、もう1個を取り出し並べる場合
   N=4×
  この計算は、同時に2個を取り出す場合と同じです。

例題
  赤玉3個と白玉3個が入っている袋があります。この袋の中から、同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めてください。
(大分県高)
 場合の数を求めるため、並べた6個の玉に番号をつけ区別します。
 ´↓きキ
 赤玉と白玉が1個ずつの並べ方は、
 { きいイΑ僉。仰未蝓← ´ぁきき き´ァきキ ぁ
 {◆きいイΑ僉。仰未
 {,いイΑ僉。仰未
 対象の場合の数 n は、n=6+6+6=18
 全ての場合の数Nは、N=6×5=30 ← 一方6通り、他方5通り
 求める確率 p は、p=n/N=18/30=3/5 ・・・(答)

練習
1.  白玉2個、黒玉3個が入っている袋があります。この袋から玉を1個取り出して色を調べ、それを袋の中にもどすことを2回くり返すとき、1回目、2回目ともに同じ色の玉が出る確率を求めてください。 
(佐賀県高)
2.  箱の中に赤玉2個、青玉2個、白玉1個の合計5個の玉が入っています。
 この箱の中から、A、Bの2人がこの順に1個ずつ玉を取り出します。ただし、取り出した玉は箱の中にもどさないものとします。
(1) Aが青玉を取り出す確率を求めてください。
(2) A、Bの2人のうち、少なくとも1人が青玉を取り出す確率を求めてください。
(福島県高)
3.  Aの箱には、2、3、4、5、6の数が1つずつ書かれた5個の玉が入っています。Bの箱には、4、5、6、7、8の数が1つずつ書かれた5個の玉が入っています。
 A、Bの箱から、それぞれ1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した2個の玉に書かれた数の積が2で割り切れない数である確率を求めてください。
(茨木県高)
4.  箱の中に、1、2、3、4と書かれた4個の玉が入っています。この箱の中から1個を取り出し、玉に書かれている数字を調べ、それを箱にもどしてからまた、1個を取り出し、玉に書かれている数字を調べます。
 はじめに取り出した玉に書かれている数字を十の位の数、次に取り出した玉に書かれている数字を一の位の数として2けたの整数をつくるとき、24以上の整数になる確率を求めてください。
(青森県高)
5.
 2つの袋A、Bがあり、袋Aの中には、1、3、5、7の数字が1つずつ書かれた4個の玉が、袋Bの中には、2、4、6,8の数字が1つずつ書かれた4個の玉が入っています。
 この2つの袋の中からそれぞれ玉を1個ずつ取り出すとき、袋Aから取り出した玉に書かれた数を a 、袋Bから取り出した玉に書かれた数を b とします。このとき、2a+b の値が3の倍数になる確率を求めてください。
(愛媛県高)
答 え











答 え
1.
 場合の数を求めるため、並べた5個の玉に番号をつけ区別します。
 白´ 黒き
 同じ色の並べ方は、
 { き  {◆き◆ {,} {ぁきぁ {ァきァ僉。議未
 { き◆ {,ぁ {ぁきァ {ァき} 8通り
 対象の場合の数 n は、n=5+8=13
 全ての場合の数Nは、N=5×5=25 ← もどすので
 求める確率 p は、p=n/N=13/25 ・・・(答)
(別解)
 異なる色の並べ方は、12通り
  { きかいァ僉。仰未
  {◆きかいァ僉。仰未
 全ての場合の数は、25通り
 求める確率は、1−12/25=13/25 ・・・(答)
2.
(1) 5個の玉に番号をつけて並べる。
  ´
 Aが青玉を取り出す場合は、
  かい裡可未
 Aは、5個から1個を取り出すので、
  求める確率は、2/5 ・・・(答)
(2) 2人が、赤玉か白玉を取り出すときの並べ方は、
  { き◆僉 亅 きァ僉 亅◆きァ僉。仰未
 全ての場合の数は、5×4=20 通り
 求める確率は、1−6/20=7/10 ・・・(答)
3.
 2数の積が2で割り切れない数(=奇数)となるのは、
 {奇数,奇数}の場合なので、並べ方は、
  (3,5) (3,7) 2通り
  {5,5) (5,7) 2通り
 対象の場合の数は、2+2=4
 全ての場合の数は、5×5=25
 求める確率は、4/25 ・・・(答)
4.
 (十の位の数,一の位の数)が24より小さくなる並べ方は、
 (2,3) (2,2) (2,1)
 (1,4) (1,3) (1,2) (1,1) の7通り
 全ての場合の数は、4×4=16
 求める確率は、1−7/16=9/16 ・・・(答)
5.
 2a+b の範囲を求める。
  1≦a≦7 から、2≦2a≦14
  2≦b≦8
  よって、4≦2a+b≦22
 2a+b が3の倍数になる場合は、
  2a+b=6,9,12,15,18,21
 並べ方を (a,b) で表す。 
  a=1,3,5,7  b=2,4,6,8
 b=6−2a:  (1,4)
 b=9−2a:   なし
 b=12−2a: (3,6) (5,2)
 b=15−2a:  なし
 b=18−2a: (5,8) (7,4)
 b=21−2a:  なし
 対象の場合の数は、5通り
 全ての場合の数は、4×4=16 通り
 求める確率は、5/16 ・・・(答)

(参考)
練習1の(別解)、練習2の(2)、練習4の確率は、「対象でない場合」を数えて確率を求めています。
 求める確率
=1−対象でない場合の数/全ての場合の数

練習1(別解) 
 同じ玉の色 ⇔ 異なる玉の色
練習2(2)  
 少なくとも1人が青玉 ⇔ 2人が赤玉か白玉
練習4
 24以上の整数 ⇔ 24より小さい整数


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確率−硬貨の表裏

確率を求める3 目次 >

 硬貨を投げたときの確率を求めてみましょう。

例題
 3枚の硬貨を同時に投げるとき、1枚は表で2枚は裏となる確率を求めてください。
(宮崎県高)
 3枚の硬貨をA、B、C とし、組合せを{A,B,C}で表す。
 1枚は表で2枚は裏の組合せは、
 {表、裏、裏} で、場合の数は3通り  ← 表の位置が3通り
 全ての場合の数は、2×2×2=8 通り
 求める確率は、 3/8 ・・・(答)

練習
1.  百円硬貨1枚を続けて2回投げます。1回目と2回目の図柄が異なる確率を求めてください。

2.  10 円、50 円、100 円の硬貨が1枚ずつあります。この3枚を同時に投げるとき、表が2枚、裏が1枚となる確率を求めてください。
(徳島県高)
3.  3枚の硬貨A、B、C を同時に投げるとき、少なくとも1枚が表になる確率を求めてください。

4.  4枚の硬貨A、B、C、Dを同時に投げるとき、2枚が表で2枚が裏の出る確率を求めてください。
(福岡県高)
5.
 1枚の硬貨と1個のさいころを同時に1回投げ、硬貨が表となった場合は、さいころの出た目の数を2倍した数を得点とし、裏となった場合は、さいころの出た目の数に1を加えた数を得点とします。得点が5点以上となる確率を求めてください。
(愛媛県高)
答 え











答 え
1.
 硬貨の組合せを{1回目,2回目}とする。
 異なる図柄になる組合せは、
 {表,裏} から、2通り
 全ての場合の数は、2×2=4
 求める確率は、2/4=1/2 ・・・(答)
(参考) 「桜」が表で、「100」が裏
  百円硬貨の表と裏 (出典: フリー百科事典「ウィキペディア」)
2.
 硬貨の組合せを{10円,50円,100円}とする。
 表2枚、裏1枚となる組合せは、
 {表,表,裏} から、3通り (裏の位置が3通りある)
 全ての場合の数は、2×2×2=8
 求める確率は、3/8 ・・・(答)
3.
 硬貨の組合せを、{A,B,C}とする。
 少なくとも1枚が表になる組合せは、
 {表,表,表} 1通り
 {表,表,裏} 3通り (裏の位置が3通りある)
 {表,裏,裏} 3通り (表の位置が3通りある)
 対象の場合の数は、n=1+3+3=7
 全ての場合の数は、N=2×2×2=8
 求める確率は、p=n/N=7/8 ・・・(答)
(別解)
 少なくとも1枚が表の確率=1−全てが裏の確率
 全てが裏になる場合は、{裏,裏,裏} の1通りから、
 求める確率は、1−1/8=7/8 ・・・(答)
4.
 硬貨の組合せを、{A,B,C,D}とする。
 2枚が表で2枚が裏の組合せは、
 {表、表、裏、裏}
 Aが表のとき、{B,C,D}は、{表,裏,裏} から3通り
 Aが裏のとき、{B,C,D}は、{表,表,裏} から3通り
 よって、対象の場合の数は、n=3+3=6
 全ての場合の数は、N=2×2×2×2=16
 求める確率は、p=n/N=6/16=3/8 ・・・(答)
5.
 硬貨の表裏と得点の場合を、{表裏,得点)で表す。
 (表,2か4か6か8か10か12) から、6通り
 (裏,2か3か4か5か6か7) から、6通り
 よって、全ての場合の数は、N=6+6=12
 得点が5以上の場合は、
 (表,6か8か10か12) から、4通り
 (裏,5か6か7) から、3通り
 よって、対象の場合の数は、n=4+3=7
 求める確率は、p=n/N=7/12 ・・・(答)


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確率−さいころと式

確率を求める3 目次 >

 さいころを投げ、数式が成り立つ確率を求めてみましょう。

例題
 大小2つのさいころを同時に1回投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、2a−b が3の倍数となる確率を求めてください。

 1≦a≦6 から、  2≦2a≦12  ・・・
 1≦b≦6 から、−6≦−b≦−1  ・・・
 椨◆А 檻粥紕横瓠檻癲紕隠院,鯔たす3の倍数は、
 2a−b=−3,3,6,9  
 この式を満たす (a,b) を求める。
2a−b=−3: (1,5)
2a−b=3 : (2,1) (3,3) (4,5)
2a−b=6 : (4,2) (5,4) (6,6)
2a−b=9 : (5,1) (6,3)
 対象の場合の数 n は、n=1+3+3+2=9
 全ての場合の数Nは、N=6×6=36
 求める確率 p は、
 p=n/N=9/36=1/4 ・・・(答)

練習
1.  大小2つのさいころを同時に1回投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、2つの等式 a−2b+5=0 と、a+b−7=0 の少なくとも一方が成り立つ確率を求めてください。
   (都立校)
2.  大小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、
(1) a=b となる確率を求めてください。
(2) 2a+b の値が素数になる確率を求めてください。
(三重県高)
3.  1つのさいころを2回投げ、1回目に出た目の数を a 、2回目に出た目の数を b とするとき、2b/a の値が整数となる確率を求めてください。
(山口県高)
4.  1つのさいころを2回投げます。1回目に出た目の数を十の位、2回目に出た目の数を一の位とする2けたの整数をつくるとき、その整数が7の倍数となる確率を求めてください。
(鹿児島県高)
5.  3個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が6となる確率を求めてください。
(市川高)
答 え











答 え
1.
 a−2b+5=0  ・・・
 a+b−7=0   ・・・
 少なくとも一方が成り立つ場合は、
 ,、△、,鉢 が成り立つ場合である。
 А。瓠瓧横癲檻機,ら、次のように3通り
 b=3 a=1
 b=4 a=3
 b=5 a=5
◆А。瓠棕癲瓧掘,ら、次のように6通り
 a=1 b=6
 a=2 b=5
 a=3 b=4
 a=4 b=3
 a=5 b=2
 a=6 b=1
,鉢◆А]⇔方程式を解く。
 ◆櫚,ら、3b−12=0 b=4 
 △ら、a=3
 対象の場合の数 n は、
 a=3 b=4 が3つ重複するので、1つと数えると、
 n=3+5=8
 全ての場合の数Nは、N=6×6=36
 確率 p=8/36=2/9 ・・・(答)
2.
(1) a=b の場合は、
 (a,b)=(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)
 n=6
 N=6×6=36
 p=6/36=1/6 ・・・(答)
(2) 2a+b の範囲を求める。
 1≦a≦6 から、
 2≦2a≦12 ・・・
 1≦b≦6   ・・・◆ ´ 椨△ら、
 3≦2a+b≦18 を満たす素数は、
 2a+b=3,5,7,11,13,17 ・・・
 を満たす(a,b)を求める。
2a+b=3:  (1,1)
2a+b=5:  (1,3) (2,1)
2a+b=7:  (1,5) (2,3) (3,1)
2a+b=11: (3,5) (4,3) (5,1)
2a+b=13: (4,5) (5,3) (6,1)
2a+b=17: (6,5)
 よって、
 n=1+2+3+3+3+1=13
 N=6×6=36
 p=13/36 ・・・(答)
3.
 2b/a が整数になる場合は、
 b=1 a=1,2
 b=2 a=1,2,4
 b=3 a=1,2,3,6
 b=4 a=1,2,4
 b=5 a=1,2,5
 b=6 a=1,2,3,4,6
 よって、
 n=2+3+4+3+3+5=20
 N=6×6=36
 p=20/36=5/9 ・・・(答)
4.
 1回目の数を a 、2回目の数を b とする。
 2けたの整数は、10a+b
 10≦10a≦60  1≦b≦6 から、
 11≦10a+b≦66 これを満たす7の倍数は、
 10a+b=14,21,28,35,42,49,56,63
 出た数を、(a,b) で表す。
10a+b=14: (1,4)
10a+b=21: (2,1)
10a+b=28:  なし
10a+b=35: (3,5)
10a+b=42: (4,2)
10a+b=49:  なし
10a+b=56: (5,6)
10a+b=63: (6,3)
 よって、n=6
 N=6×6=36
 p=n/N=6/36=1/6 ・・・(答)
5.
 各さいころ目を a ,b , c とする。
 a+b+c=6 となる組合せ{a,b,c}は、
 {1,1,4} 3通り 4の位置が3通り
 {1,2,3} 6通り  が3通りで が2通りから、3×2
 {2,2,2} 1通り
 n=3+6+1=10
 N=6×6×6
 p=n/N=10/(6×6×6)=5/108 ・・・(答)


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確率−さいころの目

確率を求める3 目次 >

 さいころを投げたときの、目の出方の確率を求めてみましょう。

 はじめに用語を確認します。自然数は正の整数です。素数は1を含まず、素数の約数は1かその数だけです。0は整数で偶数です。整数・偶数・奇数には負の数が含まれます。

自然数  1,2,3,…
素数  2,3,5,7,11,…
整数  0,±1,±2,±3,…
偶数  0,±2,±4,…
奇数  ±1,±3,±5,…
倍数  2の倍数: 2,4,6,…
約数  6の約数: 1,2,3,6

例題
 さいころを1つ投げます。奇数の素数が出る確率を求めてください。

 全ての場合の数は、N=6
 奇数は、1,3,5  このうち素数は、3,5 なので、
 対象の場合の数は、n=2
 確率は、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)

例題2
 大小2個のさいころを同時に投げるとき、目の積が5以上になる確率を求めてください。

 全ての場合の数は、N=6×6=36
 対象の場合の数 n を求める。
 大の目を a 、小の目を b とする。
 目の出方の組合せを{a,b} で表すと、
 ab≧5 となる場合は、
 {1,5} {1,6} 4通り ← 15 51 16 61
 {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} 8通り
 {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} 7通り ← 33 は1通り
 {4,4} {4,5} {4,6} 5通り
 {5,5} {5,6} 3通り
 {6,6} 1通り
 n=4+8+7+5+3+1=28
 求める確率 は、p=n/N=28/36=7/9 ・・・(答)

(別解)
 (積≧5 の確率)=1−(積<5 の確率) から、
 ab<5 となる場合は、
 {1,1} {1,2} {1、3} {1,4} 7通り
 {2,2} 1通り
 n=7+1=8
 p=1−n/N=1−8/36=1−2/9=7/9 ・・・(答)

練習
1.  1から6の目が出る大小2つのさいころを同時に1回投げるとき、出る目の数の和が10以下になる確率を求めてください。
(東京都)
2.  1から6の目のついた1つのさいころを2回投げるとき、1回目に出た目の数を a、2回目に出た目の数を b とします。このとき、a<b となる確率を求めてください。
(新潟県高)
3.  1つのさいころを2回投げるとき、1回目に出た目の数が、2回目に出た目の数の倍数となる確率を求めてください。
(愛知県高)
4.  2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が12となる確率を求めてください。
(大阪府高)
5.  大小2つのさいころを同時に投げます。
(1) 出る目の数の和が5になる場合は何通りですか。
(2) 出る目の数の和が10 の約数になる確率を求めてください。
(熊本県高)
答 え











答 え
1.
 全ての場合の数は、N=6×6=36
 対象の場合の数 n を求める。
 大の目を a 、小の目を b とする。
 目の出方の組合せを{a,b} で表すと、
 a+b≦10 となる場合は、
 {1,1〜6} 11通り ← 11 12 21 13 31 …
 {2,2〜6}  9通り
 {3,3〜6}  7通り
 {4,4〜6}  5通り
 {5,5}     1通り
 n=11+9+7+5+1=33
 p=n/N=33/36=11/12 ・・・(答)
(別解) 
 (和≦10 の確率)=1−(和>10 の確率) から、
 a+b>10 となる場合は、
 {5,6} {6,6} の3通り
 p=1−3/36=33/36=11/12 ・・・(答)
2.
 a<b となる場合(a,b)は、
 (1,2〜6) 5通り
 (2,3〜6) 4通り
 (3,4〜6) 3通り
 (4,5〜6) 2通り
 (5,6)    1通り
 対象の場合の数は、n=5+4+3+2+1=15
 全ての場合の数は、N=6×6=36
 p=n/N=15/36=5/12 ・・・(答)
3.
 a が b の倍数となる場合(a,b)は、
 (1,1)         1通り  ← 1は、1の倍数
 (2,1か2)      2通り
 (3,1か3)      2通り
 (4,1か2か4)    3通り
 (5,1か5)      2通り
 (6,1か2か3か6) 4通り
 対象の場合の数は、n=14
 全ての場合の数は、N=6×6=36
 p=n/N=14/36=7/18 ・・・(答)
4.
 一方の目を a ,他方の目を b とする。
 ab=12 となる組合せ{a,b}は、
 {2,6} {3,4} から、
 対象の場合の数は、n=4
 全ての場合の数は、N=6×6=36
 p=n/N=4/36=1/9 ・・・(答)
(参考)
 場合を(a,b)で表すと、
 (2,6) (6,2) (3,4) (4,3) となり、
、書く量が増え、もれも起きやすい。
5.
(1)
 大の目を a ,小の目を b とする。
 a+b=5 となる組合せ{a,b}は、
 {1,4} {2,3} から、
 求める場合の数は、4通り ・・・(答)
(2) 
 10の約数は、1,2,5,10
 このうち、a+b が10の約数となる組合せ{a,b}は、
 {1,1}       1通り
 {1,4} {2,3} 4通り
 {4,6} {5,5} 3通り
 対象の場合の数は、n=1+4+3=8
 全ての場合の数は、N=6×6=36
 p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)


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確率−基礎知識

確率を求める3 目次 >

 「確率を求める3」では、最新の入試問題を取り上げます。はじめに、確率の基礎知識を確認しましょう。

確率を求める
 確率 p : 対象の事柄が起こる可能性の度合い。
 p=n/N   (p:probability)
 n : 対象の場合の数  N: 全ての場合の数
 どの場合が起きることも同様に確からしいとする(本稿では省略)

例題1
 さいころ1個を投げて、3の目が出る確率を求めてください。

      3が出る確率

 全ての場合の数Nは、目の出かたが1〜6 なので、N=6 (通り)
 対象の場合の数 n は、3だけなので、n=1 (通り)
 求める確率 p は、p=n/N=1/6 ・・・(答)

名前をつけて場合を数える
 対象のそれぞれの場合に仮の名前をつけると、対象が区別でき、場合の数を数えることができます。
例題2
 2つのさいころを投げます。目の出かたは全部で何通りですか。

 さいころに、「一方」と「他方」という名前をつけると、
 一方は1〜6の6通りで、他方も6通りなので、
 N=6×6=36 (通り) ・・・(答)

例題3
 3枚の硬貨を投げると、表と裏の出かたは全部で何通りですか。

 硬貨をA、B、C とすると、
 Aは2通りで、Bは2通りで、C は2通りなので、
 N=2××2=8 (通り) ・・・(答)

例題4
 袋の中に、赤赤白白白の5個の玉があります。1個取り出したとき、赤である確率を求めてください。

 左から順に 銑イ量樵阿鬚弔韻襪函↓ 銑イ裡議未蠅△蝓■痢瓧
 赤玉は,△裡可未蠅覆里如 n=2、
 確率は、p=n/N=2/5 ・・・(答)

練習
1.  1個のさいころを1回投げます。1か6の目が出る確率を求めてください。
2.  2枚の硬貨を同時に投げるとき、表と裏が出る確率を求めてください。
3.  全てのトランプから1枚引くとき、ジョーカーが出る確率を求めてください。
4.  袋の中に赤玉2個と青玉1個が入っています。1個の球を取り出すとき、赤玉である確率を求めてください。
5.  1〜5の数字が書かれたカードがあります。1枚引いたとき、奇数である確率を求めてください。

答 え










答 え
1. 目の数は全部で6通りから、N=6
   1か6の目は、2通りから、n=2
   確率は、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)

2. 硬貨をA・Bとすると、A表、A裏、B表、B裏から、
    出方は全部で4通りあり、N=4
   表と裏の出方は、A表B裏 か B表A裏から、
    2通りで、n=2
   p=n/N=2/4=1/2 ・・・(答)

3. トランプの総数は、各13枚とジョーカー1枚から、
    N=4×13+1=53
   ジョーカーは1枚なので、n=1
   p=n/N=1/53 ・・・(答)

4. 玉に´の名前をつける。
   玉は3個なので、N=3
   赤玉は、なので、n=2
   p=n/N=2/3 ・・・(答)

5. 1〜5が書かれたカードは5枚なので、N=5
   奇数のカードは、1か3か5から、n=3
   p=n/N=3/5 ・・・(答)


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