中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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度数折れ線の形

資料の活用 >

 代表値と度数折れ線の関係を調べてみましょう。

 ヒストグラムは柱状のグラフです。度数折れ線は、各長方形の上の辺の中点を結んでできる折れ線グラフです。
度数折れ線
 図1〜3の平均値、中央値、最頻値を求めてみましょう。
 計算結果を図の横に示します。図1では、平均値=中央値=最頻値 です。図2では、右側のデータの影響から、中央値<平均値 となっています。図3では、左側のデータの影響から、平均値<中央値 となっています。
度数折れ線と代表値 左右対称の山
 平均値 3点
 中央値 3点
 最頻値 3点

 平均値=中央値=最頻値
左が高い山
 平均値 2.7点
 中央値 2.5点
 最頻値 2点

 最頻値<中央値<平均値
右が高い山
 平均値 3.3点
 中央値 3.5点
 最頻値 4点

 平均値<中央値<最頻値
(計算)
(1+10)/2=5.5 から、中央値は5番目と6番目の中央の値となる。
図1: 平均値=(1+4+12+8+5)/10=3(点)
    5番目が3点、6番目が3点から、
    中央値=3(点)
    最頻値=3(点)

図2: 平均値=(1+8+9+4+5)/10=2.7(点)
    5番目が2点、6番目が3点から、
    中央値=(2+3)/2=2.5(点)
    最頻値=2(点)

図3: 平均値=(1+2+9+16+5)/10=3.3(点)
    5番目が3点、6番目が4点から、
    中央値=(3+4)/2=3.5(点)
    最頻値=4(点)

練習
1. 3つのクラスから15人ずつランダムに生徒を選び、ある期間に各人が読んだ本の冊数を調べました。下図1〜3は、各クラスの結果をヒストグラムに表したものです。
ヒストグラム_山の形
 図1〜3の代表値(平均値、中央値、最頻値)を求め、次の表を完成してください。
代表値\図 図1 図2 図3
平均値 (冊)
中央値 (冊)
最頻値 (冊)

2. 下の図は、ある中学校男子の握力の分布を表したヒストグラムです。
ヒストグラム_代表値の大小
 この資料における中央値、最頻値、平均値を示す値を左から小さい順に並べるとき、正しく述べられているものを、下のア〜カの中から1つ選んでください。
中央値 最頻値 平均値
中央値 平均値 最頻値
最頻値 中央値 平均値
最頻値 平均値 中央値
平均値 最頻値 中央値
平均値 中央値 最頻値
(広島大附属高)

答 え











答 え
1.
 中央値は、(1+15)/2=8 から、8番目の冊数
図1
 平均値:
  (1×1+2×4+3×3+4×2+5×2+6×1+7×1+8×1)/15
  =57/15=3.8(冊)
 中央値: 1+4+3=8 から、8番目は3冊
 最頻値: 2冊
図2
 平均値:
  (1×1+2×1.5+3×3+4×4+5×3+6×1.5+7×1)/15
  =60/15=4(冊)
 中央値: 1+1.5+3=5.5 から、8番目は4冊
 最頻値: 4冊
図3
 平均値:
  (1××1+3×1+4×2+5×2+6×3+7×4+8×1)/15
  =78/15=5.2(冊)
 中央値: 1+1+1+2+2=7 から、8番目は6冊
 最頻値: 7冊
代表値\図 図1 図2 図3
平均値 (冊) 3.8 5.2
中央値 (冊)
最頻値 (冊)

(参考) 山の形と代表値の傾向
ヒストグラム_分布の形と代表値

2.
   ヒストグラム_代表値の大小
 ヒストグラムの形から、最頻値が一番小さい。
 また、平均値は右側のデータの影響を受けるので、
 中央値<平均値
 最頻値<中央値<平均値 から、ウ ・・・(答)

(別解)
 ヒストグラムの形から、中央値<平均値 ・・・
 最頻値は22.5 ・・・
 中央値を求める。
  生徒数は、5+17+12+9+5+3+2+1=54
  (1+54)/2=27.5 から、
  中央値は、27番目の27.5kgと、28番目の27.5kgの中央の値から、
  中央値は27.5 ・・・
 ´↓から、最頻値<中央値<平均値
(答) ウ


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相対度数の問題

資料の活用 >

 相対度数の問題を解いてみましょう。

 相対度数は、階級の度数を度数合計で割った値で、合計に対する割合を表します。相対度数の合計は1です(相対度数が小数第2位まで表される場合は、1.00と書きます)。
 相対度数=度数/度数合計

練習
1. 下の表は、A中学校の2年生男子40人の握力を度数分布表にまとめたもので30 kg 以上35kg 未満の階級の相対度数を求めてください。
階級(kg 度数
以上   未満
15 〜 20
20 〜 25
25 〜 30
30 〜 35
35 〜 40
40 〜 45



13
10

40
(北海道高)

2. 下の表は、A校の生徒80人とB校の 生徒210人のある日の通学時間を度数分布表にまとめたものです。2校につい て、通学時間が15 分以上20分未満の生徒の割合が大きい のはA校とB校のどちらですか。そ う判噺した理由とあ わせて書いてください。
階級(分)
A校 B校
度数 (人) 度数 (人)
以上  未満
0 〜 5

 5 〜 10
10 〜 15
15 〜 20

20 〜 25
25 〜 30
30 〜 35
35 〜 40



16
20
21



12
25
42
42
39
24
18

80 210
(石川県高)

3. 下の表は、次郎さんのクラスの40人について、10月に読んだ本の冊数を度数分布表に整理したものです。この表から、この40人が10月に読んだ本の冊数の中央値を含む階級の相対度数を求めてください。
 階級(冊) 度数(人)
以上   未満
0 〜 5
 5 〜 10
10 〜 15
15 〜 20
20 〜 25

14

10

40
(香川県高)
答 え











答 え
1.
 相対度数=10/40=0.25 ・・・(答)

2.
 15 分以上20分未満の相対度数は、
 A校: 20/80=0.25
 B校: 42/210=0.2
(答) A校 15 分以上20分未満の相対度数が大きいので。

3.
 (1+40)/2=20.5
 中央値は、20番目と21番目の中央の値から、
 中央値を含む階級は、5〜10
 相対度数=8/40=0.2 ・・・(答)
 階級(冊) 度数(人) 度数累計
以上   未満
0 〜 5
 5 〜 10
10 〜 15
15 〜 20
20 〜 25

14

10


14
22
40


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3つの代表値

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 平均値、中央値、最頻値の問題を解いてみましょう。

練習
1. ある学級で、40人の生徒について通学時間を調べたところ、次の度数分布表のようになりました。
 通学時間(分) 度数(人)
以上   未満
0 〜 20
20 〜 40
40 〜 60
60 〜 80
80 〜 100

14
10


40
(1) 最頻値を求めてください。
(2) 中央値が含まれる階級を答えてください。
(3) この度数分布表から、通学時間の平均値を求めてください。
(広島大附属高)

2. あるクラスの生徒40人に実施したテストの得点をヒストグラムに表すと、下の図のようになりました。このとき、平均値、中央値、最頻値の関係を正しく表したものを、次のア〜エから1つ選んでください。
代表値3つの問題
 平均値 <中央値 <最頻値
 中央値 <平均値 <最頻値
 最頻値 <平均値 <中央値
 最頻値 <中央値 <平均値
(兵庫県高)

3. 下の表は、あ る中学校のクラスで1日のテ レビの視聴時間を調べて作っ たものです。中央値は40分以上60分未満の階級に属し、最頻値は30分です。このとき、平均値が最大となるような x 、y の値と、そのときの平均値 をそれぞれ求めてください。
 階級(分) 度数(人)
以上   未満
0 〜 20
20 〜 40
40 〜 60
60 〜 80
80 〜 100





10
50
(中央大杉並高)
答 え











答 え
1.
(1)
 度数が最大の階級は、0〜20
 階級値は、(0+20)/2=10 (分) ・・・(答)
(2)
 (1+40)/2=20.5 から、
 20番目と21番目を含む階級は、
 度数累計から、20分以上40分未満 ・・・(答)
(3)
 平均値=(度数×階級値)合計/40
      =1480/40=37 (分) ・・・(答)
 通学時間(分) 度数(人) 度数累計 階級値 度数×階級値
以上   未満
0 〜 20
20〜 40
40 〜 60
60 〜 80
80 〜 100

14
10



14
24

10
30
50
70
90

140
300
350
420
270
40
1480

2.
 ヒストグラムを度数分布表にする。
階級値(分) 10
度数(人) 10 12 40
度数累計 13 23
階級値×度数 12 24 42 80 108 50 316
 平均値=316/40=7.9 (分)
 中央値は、(1+40)/2=20.5 20番目と21番目を含む階級値は8から、中央値=8 (分)
 最頻値=9 (分)
 よって、平均値 <中央値 <最頻値
(答) ア

3.
 度数合計から、8+x+y+3+10=50
  x+y=29 ・・・
 最頻値が30分から、10<x  y<x ・・・
 中央値は(1+50)/2=25.5 (番目)から、25番目と26番目が40〜60分の階級に属する。
  8+x<25 (番目)  x<17 ・・・
 ↓から、10<x<17
 11≦x≦16
 ´△ら、
  (x,y)=(16,13),(15,14)
 平均値=(80+30x+50y+210+900)/50
      =(3x+5y+119)/5 から、
 (16,13): 3x+5y=48+65=113
 (15,14): 3x+5y=45+70=115 (最大)
 (x,y)=(15,14) のとき、
 平均値=(115+119)/5=234/5=46.8 (分)
(答) x=15 y=14 平均値 46.8分
 階級(分) 度数(人) 度数累計 階級値 度数×階級値
以上   未満
0 〜 20
20 〜 40
40 〜 60
60 〜 80
80 〜 100





10


8+



10
30
50
70
90

80
30

50

210
900
50


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最頻値の問題

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 最頻値の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の表は、ある年の2月の最低気温を調べて、度数分布表に整理したものです。最低気温の最頻値を求めてください。
 階級(℃) 度数(日)
以上   未満
−2 〜 0
 0〜 2
 2 〜 4
 4 〜 6
 6 〜 8

 8 〜 10






28
(徳島県高)

2. 下の度数分布表は、あるクラブの選手15人について、通学時間をまとめたものです。
 通学時間(分) 階級値(分) 度数(人)
以上   未満
10 〜 30
30〜 50
50 〜 70
70 〜 90
90 〜 110

20
40
60
80
100





15
(1) 中央値を含む階級の階級値を求めてください。
(2) 最頻値を求めてください。
(3) この度数分布表にマネージャー1人の通学時間を加えたところ、度数分布表による通学時間の平均値は70分となりました。マネージャーの通学時間が属する階級の階級値を求めてください。
(立教新座高)

3. 20人のクラスで数学の小テストを行いましたが2人が欠席でした。下の表は、受験した18人の得点をまとめたものです
得点 10
人数 18
(1) 中央値を求めてください。
(2) 翌日、欠席した2人の試験を行い、その得点を含めて最頻値と平均値を求めたところ、最頻値は5点のみ、平均値は5.55点になりました。また、2人とも0点ではありませんでした。このとき、2人の得点を求めてください。
(和洋国府台女子高)
答 え











答 え
1.
 度数の最大は 9日 で、その階級は 2〜4℃であり、
 その階級値が最頻値なので、
  (2+4)/2=3 (℃) ・・・(答)

2.
(1) (1+15)/2=8 (番目) が中央値である。
 度数の累計から、70〜90の階級に含まれるので、
 階級値は、80分 ・・・(答)
 通学時間(分) 階級値(分) 度数(人) 度数累計
以上   未満
10 〜 30
30〜 50
50 〜 70
70 〜 90
90 〜 110

20
40
60
80

100









10
(2) 度数の最大は5人から、
 最頻値は、100分 ・・・(答)
(3) マネージャー1人の階級値を x 分とする。
 16人の平均値が70分から、
 (20×1+40×2+60×4+80×3+100×5
 +x×1)/16=70
 (20+80+240+240+500+x)=160
 1080+x=1120
 x=40 (分) ・・・(答)

3.
(1) (1+18)/2=9.5
 中央値は、9番目と10番目の中央の値である。
 人数の累計から、9番目は5点、10番目は6点から、
  (5+6)/2=5.5 (点) ・・・(答)
得点 10
人数 18
人数累計 13
(2) 2人の得点を x 、y (1≦x≦y)とする。
 平均値の条件から、
 20人の平均値は5.55点である。
  (4×4+5×5+6×4+7×3+8+10
 +x+y)/20=5.55
  16+25+24+21+8+10+x+y=111
  104+x+y=111
  x+y=7 
  1≦x≦y から
  (x,y)=(1,6),(2,5),(3,4)
 最頻値の条件から、
 最頻値は2人が加わっても5点のみで変わらない。
  (1,6): 最頻値が5点と6点になりので、不適
  (2,5): 適する
  (3,4): 最頻値が4点と5点になりので、不適
(答) 2人の得点は、2点と5点


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中央値の問題

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 中央値の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の表は、あるクラスの男子生徒10人のハンドボール投げの記録です。この10人の記録の中央値を求めてください。
生徒 10
記録(m) 24 26 21 24 28 20 25 18 22 23
(千葉県高)

2. 下の表は、ある中学校の3年生70人のある日の学習時間を調査し、その結果を度数分布表にまとめたものです。
階級(分) 度数(人)
以上   未満
0 〜 30
30〜 60
60 〜 90
90 〜 120
120 〜 150

150 〜 180
180 〜 210
210 〜 240




10
14
15

【 ア 】
70
(1) 表の【 ア 】にあてはまる数字を求めてください。
(2) 中央値はどの階級に入っていますか。
(愛媛県高)

3. 下のの図のように、A〜Jの10人が10点満点のゲームを行い、点数表を作りましたが、汚れてしまい、G、Hの点数がわからなくなりました。ただし、点数は自然数であり、Hの点数がGの点数より低いことがわかっています。このとき、Hの点数と中央値を求めてください。
平均値 範囲
点数 6.0
(福井県高)

4. 20人の生徒に5点満点のテストを行ったところ、得点と人数は下の表のようになりました中央値が 3.5 のとき、a 、b の値を求めてください。
得点(点)
人数(人)
(桐朋高)
答 え











答 え
1.
 記録を小から大に並べる。
 18 20 21 22 23 24 24 25 26 28
 (1+10)/2=5.5 から、
 中央値は、5番目と6番目の中央の値なので、
 (23+24)/2=23.5 (m) ・・・(答)

2.
(1) 度数合計が70なので、
 ア=70−(3+6+8+10+14+15+6)
   =70−62=8 ・・・(答)

(2) (1+70)/2=35.5 から、
 中央値は、35番目と36番目の中央の値になる。
 度数の累計から、
 35番目と36番目が含まれる階級は、120 〜 150
(答) 120分以上150分未満
階級(分) 度数(人) 度数累計
以上   未満
0 〜 30
30〜 60
60 〜 90
90 〜 120
120 〜 150




10
14



17
27
41

3.
 Gの点数、Hの点数をG、Hとする。
 条件から、
  G>H ・・・
 平均値は6から、
  (9+5+9+6+3+9+G+H+4+2)/10=6
  G+H+47=60
  G+H=13 ・・・
 範囲が8から、
1) G=10 のとき、J=2 が最小値となり、
  ´△ら、H=3
2) G=9 のとき、Hが最小値となり、H=1
  しかし△鯔たさないので不適
1)2)から、G=10 (点)、H=3 (点) ・・・(答)
 中央値を求める。点数を小から大に並べる。
  2 3 3 4 5 6 9 9 9 10
 (1+10)/2=5.5 から、
 中央値は、5番目と6番目の中央の値となる。
  (5+6)/2=5.5 (点) ・・・(答)

4.
 人数合計は20から、
  0+2+3+a+b+6=20
  a+b=9 ・・・
 (1+20)/2=10.5 から、
 人数の累計が、a+5=10 (番目)のときと、a+6=11 (番目)のときに、中央値が3.5になるので、
  a=5
 ,ら、b=9−5=4
(答) a=5、b=4
得点(点)
人数(人)
人数累計 +5 +5
=14
+11
=20


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