中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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無理数−自然数の値

無理数の計算 >

 n は「ルートn」と読み、 を根号といいます。これから、n が自然数(=正の整数)になる問題を解いてみましょう。

規則
 根号内が2乗の数のとき、その数を根号の外に出せる。
 √(a2b)=ab
例:
 2=5
 50=(52×2)=52
 √(n+1)2=n+1

例題1
 2<a<3 を満たす自然数 a を小さい順にすべて書いてください。
(群馬県高)

 2<a<3 を2乗すると、
 4<a<9 aは自然数なので、
 5≦a≦8
 a=5,6,7,8 ・・・(答)

例題2
 (n2+55) が自然数となるような自然数 n の値を求めてください。
(福岡大付属大濠高)

 (n2+55) が自然数なので、
 n2+55=m2 (m>n) と書ける。
 m2-n2=55
 (m+n)(m-n)=55 m+n=a,m-n=b (a>b) とおく。
 ab=55=1×55=5×11 a,bは自然数なので、
 (a,b)=(11,5),(55,1) a,bを戻す。
  m+n=11 m-n=5 から、(m,n)=(8,3)
  m+n=55 m-n=1 から、(m,n)=(28,27)
(答) n=3,27

練習
1. n を自然数とするとき、4<n<10 を満たす n の値は何個あるか求めてください。
(茨城県高)

2. 45に最も近い自然数を求めてください。
(沖縄県高)
3. Nを自然数とします。N≦n<N+1 を満たす n の個数が31個あるとき、Nの値を求めてください。
(秋田県高)
4. (2019+n) が自然数となるような最小の自然数 n を求めてください。
(豊島岡女子学園高)
答 え










答 え
1.
 4<n<10 を2乗すると、
 16<n<100
 17≦n≦99 から、
 nの個数は、99-17+1=83 (個) ・・・(答)
2.
 36=62<452<49=72 から、
 6<45<7 45は、6か7に近い。
 6.52=42.25<45 から、
 6<6.5<45<7
 よって、45が最も近い数は7 ・・・(答)
3.
 N≦n<N+1 を2乗する。
 N2≦n<(N+1)2 …
 例えば、12≦n<22 を満たす n は、n=1,2,3
  n の個数は、22-12=3 (個)
 ,鯔たす n は31個なので、
 (N+1)2-N2=31
 2N+1=31
 N=15 ・・・(答)
4.
 452=2025  (参考)のように暗算できる。
 442=1936 から、
 442<2019<452
 最小の n は、2019+n=2025
 n=6 ・・・(答)

(参考) 2桁の5の倍数の2乗の暗算
 〇52=〇(〇+1)25
 152=225  252=625  352=1225
 452=2025 … 952=9025

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無理数−数の大小

無理数の計算 >

 「無理数の計算」では、(ルート)がつく数について、最新の入試問題をもとに学習します。
 ・数の大小
 ・自然数の値
 ・加減乗除
 ・分母の有理化
 ・乗法公式
 ・式の値
 ・整数部分と小数部分
 ・方程式

 中学で学習する数(実数)には有理数と無理数があります。有理数は分数(=整数/整数)で表すことができる数で、分数で表すことができない数が無理数です。

 整数・小数・分数は有理数で、2、3、…、π(円周率)は無理数です。2 は、「ルート2」と読み、2乗すると2になる数です。

 無理数は小数が無限に続きます。ただし、0.3333… のように同じ小数が循環する数は分数(=1/3)で表されるので無理数ではありません。
2=1.41421356… (一夜ひとよに人見ごろ)
3=1.7320508… (人並みにおごれや)
5=2.2360679… (富士山麓オウム鳴く)
6=2.449489… (煮よ よく弱く)
7=2.64575…  (菜に虫いない)
@π=3.14159265… (産医師 異国に向こう)

例題1
 次の数を有理数と無理数に分けてください。
 -5 0.121212… 2/3 π/4 4 7 

有理数 -5(=-5/1) 0.121212…(=4/33) 2/3 4(=2=2/1)
無理数 π/4 7

(参考) 循環小数 0.121212… を分数にする。
   x=0.121212…  両辺に100をかける。
 100x=12.121212… 2式の差をとる。
  99x=12
   x=12/99=4/33

例題2
 3つの数 53、8、79 の大小を不等号を使って表してください。
(神奈川県高)

規則
 a,b,c が正のとき、
 a<b<c ⇔ a2<b2<c2  (⇔:双方向の「ならば」)

  数の大小
(解答)
 各数を2乗する。
 (53)2=25×3=75
 82=64
 (79)2=79 から、
 82<(53)2<(79)2
 よって、8<53<79 ・・・(答)

練習
1. 次の数の大小を不等号を使って表してください。
 33 26 26
(長崎県高)
2. 次の数の大小を不等号を使って表してください。
 31 8/2 5.5
(大阪府高)
3. 3つの数のうち、最も大きい数はどれですか。
 3.3 10/3 11
(奈良県高)
答 え










答 え
1.
 (33)2=9×3=27 
 (26)2=4×6=24
 (26)2=26 から、
 26<26<33 ・・・(答)
2.
 (31)2=31
 (8/2)2=64/2=32
 (5.5)2= 30.25 から、
 5.5<31<8/2 ・・・(答)
3.
 (3.3)2=10.89
 (10/3)2=100/9=11.111…
 (11)2=11 から、
 最も大きい数は、10/3 ・・・(答)

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無理数の計算

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無理数ー数の大小
無理数−自然数の値
 


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文章題を解く4 まとめ9

文章題を解く4 >

文章題4−運動
 AさんとBさんが、Cさんのスタートの合図で階段を上り、ストップの合図で止まるという運動を3回行いました。その運動の内容は下の通りです。ただし、AさんとB さんは同じ場所から階段を上り始め、この3回の運動の間は下ることはしませんでした。また、この階段は3回の運動を行うのに十分な段数があったものとします。
1回目の運動では、Aさんは一歩で1段ずつ、Bさんは 一歩で2段ずつ、それぞれx歩上りました。
2回目の運動では、Aさんは一歩で2段ずつ、'Bさんは、一歩で1段ずつ、それぞれ2x歩上りました。
3回日の運動では、Aさんは一歩で3段ずつy歩上り、Bさんは一歩で3段ずつ3y歩上りました。
 この結果、Aさんの歩数の合計は93歩で、Bさんの上った段数の合計はAさんの上った段数の合計より45段多くなりました。
 Cさんは、AさんとBさんの運動の結果を、下の表にまとめようとしています。
\\ Aさん Bさん
1歩の段数 歩数 上った段数 1歩の段数 歩数 上った段数
1回目 1 x 【 ア 】 x
2回目 2 【 イ 】
3回目 3 y 3y 【 ウ 】
 このとき、次の問いに答えてください。
1. 上の表の【 ア 】にあてはまる数を書いてください。また【 イ 】、【 ウ 】にあてはまる式をxやyを用いて表わしてください。
2. xとyの値をを求めてください。

答 え

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文章題を解く4 まとめ8

文章題を解く4 >

文章題4−給水
1. 容積100Lの水槽に水を人れるのに、A管のみで7分間入れたあとB管のみで12分間入れると満水になり、またA管のみで19分間人れたあとB管のみで4分入れろと満水にななります。このとき次の問いに答えてください。
(1) A管のみで水を入れると阿分で滴水になりますか。
(2) 22分間で満水にするには、A管のみで何分間水を入れたあとB管のみで水を入れればよいですか。

2. 問題1を、「ロボットA」と「ロボットB」という言葉を使って、100m先のゴールに到達する速さの問題に直してください。また、直した問題の答えを求めてください。

答 え

文章題4−製造
 ある工場では、機械Aと機械Bをそれぞ れ1台ずつ使って、 製品Pと製品Qを作っています。それぞれの機械は、どちらの製品も作ることができますが、両方の製品を同時に作ることはできません。
 Aを使ってQだけを作ると、Pだけを作るときに比べて、1時間に作ることができる製品の個数は2割多くなります。また、Bを使ってQだけを作ると、Pだけを作るときに比べて、1時問に作ることができる製品の個数は1割少なくなります。
 AとBの両方を使って、Pだけを作ると1時問に55個 でき、Qだけを作るとI時間に57個できます。
 次の1、2の問いに答えてきださい。
1. AとBのうち. どちらか1台を使って1時間に作る ことができる製品の個数を、太郎さんは次のように求めました。【 ア 】にはxを使った式を、【 イ 】にはyを使った式を、【 ウ 】〜【 カ 】には数を、それぞれ当てはまるように書いてください。
 Aを使って1時問に作ることができる製品の個数に ついて、Pだけを作るときをx個とすると、Qだけを作るときは2割多いので、【 ア 】個と表すことができる。
 また、Bを使って1時間に作ることができる製品の個数について、Pだけを作るときをy個とすると、Q だけを作るときは1割少ないので【 イ 】個と表すことができる。
 1時間に作ることができる製品の個数から連立方程式をつくると.
{ x+y=55
【 ア 】+【 イ 】=57
となる。これを解くと、x=【 ウ 】、y=【 エ 】となる。
 よって、AとBのうち、どちらか1台を使って1時間に作ることができる製品の個数は、次の表のように なる。
A B
Pだけを作るとき(個) 【 ウ 】 【 エ 】
Qだけを作るとき(個) 【 オ 】 【 カ 】
2. 別の工場ではAとBをそれぞれ複数台使って、Qだけを1時間に600個作っています。このとき、Aの台数をすべて求めてください。

答 え

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