中学から数学だいすき！

<< July 2010 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >>

扇形と円錐　規則集１

扇形	円錐
	ｈ：母線
面積：　　円の面積`×`弧の長さ／円周＝円の面積`×`中心角／３６０	底面積：　半径ｒの円の面積側面積：　半径ｈの扇形の面積表面積：　底面積＋側面積　体積：　底面積`×`高さ／３

扇形の弧の長さ

扇形の弧の長さ＝円周×中心角／３６０

円錐の底面の円周＝側面の弧の長さ

2010.07.30 Friday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

円錐と円柱

　円錐と円柱の関係をもとに、問題を解いてみましょう。

例題
　下の図は、円柱、円錐の形をした容器です。それぞれの容器の底面は合同な円で、高さは等しいことが分かっています。この円柱の容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

　　　

　このとき、下のアからオの中に、円柱の容器に入っていた水と同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選んでください（▼は満杯、▽は途中までを表す）。　（学力テスト数学Ａ）

	ア		`▼`　`▽`
	イ		`▼　▼`
	ウ		`▼　▼　▽`
	エ		`▼　▼　▼`
	オ		`▼　▼　▼　▽`

　底面積と高さが等しいので、円柱の体積＝円錐の体積×３　です。
　したがって、答えはエです。

練習
　円柱の容器Ａと円錐の形をした鉄のおもりＢがあります。容器Ａ、おもりＢは、どちらも底面の半径が６ｃｍ、高さが１５ｃｍです。下図のように、容器ＡにおもりＢを入れ、底面が水平な状態で水を入れていきます。ただし、容器の厚みは考えないものとします。また、円周率をπとします。

　　　円錐と円柱

１．　水面の高さが、おもりＢを入れた容器Ａの高さの半分になったとき、水面の面積を求めてください。

２．　おもりＢを入れた容器Ａいっぱいにたまった水を、１辺が１２ｃｍの立方体の容器にＣに残らず移しました。容器Ｃの水面の高さを求めてください。ただし、容器Ｃは底面が水平になるように置いてあるものとします。　（長野県高）

答え

答え
１．
　中点連結定理から、円錐の断面の円の半径は、底面の半径の
１／２なので、
　　６／２＝３（ｃｍ）
　水面の面積は、底面積から、半径３ｃｍの円の面積を引いたものなので、
　　３６π－９π＝２７π（ｃｍ^２）　・・・（答）

２．
　水の容積は、円柱の容積の２／３なので、
　　３６π×１５×２／３＝２４×１５π
　１２ｃｍの立方体の水の高さをｘｃｍとすると、
　　１２^２ｘ＝２４×１５π
　　ｘ＝５π／２（ｃｍ）　・・・（答）

2010.07.27 Tuesday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

円錐上の最短距離

　円錐上の最短のひもの長さを求めてみましょう。

例題
　底面の円の半径が１０ｃｍで、母線の長さが３０ｃｍの円錐があります。頂点をＯとし、底面の１つの直径をＡＢとします。ＡからＯＢの中点Ｍに至る側面上の線のうちで最も短いものの長さを求めてください。　（城北高）

　　　円錐上の最短距離　例題

　扇形の紙を使ってＡＭの線を確かめてみましょう。最短の線は直線なので、ＡＭは下図のようになります。

　円錐上の最短距離　図解１

　△ＯＡＭはどのような三角形か調べてみましょう。
　弧ＡＢの長さは２０πなので、
　２∠ＡＯＭ＝３６０×２０π／（６０π）
　２∠ＡＯＭ＝１２０
　∠ＡＯＭ＝６０
　ＯＡ：ＯＭ＝３０：１５＝２：１　なので、
　∠ＯＭＡ＝９０
　よって、ＡＭ＝１５√３（ｃｍ）　・・・（答）

練習
　下図のように、底面の円の直径ＡＢが４ｃｍ、母線の長さが４ｃｍの円錐があります。

　　　数学総合　扇形と円錐　練習

１．　円錐の体積を求めてください。円周率をπとします。

２．　円錐の表面積を求めてください。

３．　点Ａから円錐の側面にそって点Ｂまでひもをかけます。ひもの長さが最も短くなるようにするとき、このひもの長さを求めてください。ただし、ひもの太さは考えないものとします。　（京都府高）

答え

答え
１．
　円錐の高さは、√（４^２－２^２）＝２√３
　よって体積は、
　４π×２√３／３＝８√３π／３（ｃｍ^３）　・・・（答）

２．
　扇形の中心角は、
　３６０×４π／（８π）＝１８０
　表面積は、底面積＋側面積　なので、
　４π＋１６π×１８０／３６０＝１２π （ｃｍ^２）　・・・（答）

　　　円錐上の最短距離　図解２

３．
　最短距離は扇形上のＡとＢを結ぶ直線である。
　∠ＡＯＢ＝１８０／２＝９０
　ＯＡ＝ＯＢ＝４　なので、
　ＡＢ＝４√２（ｃｍ）　・・・（答）

2010.07.26 Monday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

円錐と他の図形

　円錐と他の図形に関する問題を解いてみましょう。

例題
　底面の円の直径が４ｃｍ、母線の長さが１２ｃｍの円錐があります。図のように、この円錐を頂点Ｏを中心として平面上をすべることなくころがしました。円錐が点線で示した円の上を１周してもとの位置にかえるまでに何回転するか求めてください。　（青森県高）

　　　円錐の回転

　回転数は、点線の円周÷底面の円周　なので、
　２４π／（４π）＝６（回転）　・・・（答）

練習
１．　直角をはさむ辺の長さが５ｃｍと２ｃｍの直角三角形があります。５ｃｍの辺を軸に１回転させてできる立体の体積を求めてください。円周率をπとします。　（栃木県高）

２．　底面の半径が２ｃｍ、母線の長さがｘｃｍ（ｘ＞２）の円錐について、側面の展開図の扇形の中心角をｙ ° とします。ｙをｘの式で表してください。　（熊本県高）

３．　高さが等しい円柱Ａと円錐Ｂがあります。Ａの底面の半径はＢの半径の２倍です。Ａの体積はＢの体積の何倍ですか。　（群馬県高）

答え

答え
１．
　立体は円錐になるので、体積は、
　４π×５／３＝２０π／３（ｃｍ^３）　・・・（答）

２．
　底面の円周と、扇形の弧の長さが等しいので、
　４π＝２πｘ（ｙ／３６０）
　２＝ｘｙ／３６０
　ｙ＝７２０／ｘ　・・・（答）

３．
　Ｂの高さをｈ、半径をｒとすると、
　Ａの体積／Ｂの体積
＝π（２ｒ）^２ｈ／（πｒ^２ｈ／３）＝１２（倍）　・・・（答）

2010.07.24 Saturday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

円錐の体積

　円錐の体積に関する問題を解いてみましょう。円錐の体積は、円柱の体積の３分の１でしたね。理由は、「角錐・円錐の体積」を参照してください。

例題
　底面の半径が３ｃｍ、体積が１８πｃｍ^３の円錐があります。この円錐の高さを求めてください。

（福島県高）

　円錐の高さをｘｃｍとすると、
　１８π＝（３^２π）ｘ／３
　１８π＝３πｘ
　ｘ＝６（ｃｍ）　・・・（答）

練習
１．　底面の半径が２ｃｍ、母線の長さが７ｃｍの円錐の展開図があります。この円錐の体積を求めてください。ただし、円周率をπとします。　（滋賀県高）

２．　底面の半径が１ｃｍ、高さが√（１５）ｃｍの円錐があります。
（１）円錐の母線の長さは何ｃｍですか。
（２）円錐の体積は何ｃｍ^３ですか。
（３）円錐の表面積は何ｃｍ^２ですか。　　（長崎県高）

答え

答え
１．
　三平方の定理から円錐の高さは、
　　√（７^２－２^２）＝√（９×５）＝３√５
　円錐の体積は、
　　（２^２π×３√５）／３＝（４√５）π （ｃｍ^３）　・・・（答）

２．
（１）　三平方の定理から母線の長さは、
　　√｛１^２＋（√１５）^２｝＝４（ｃｍ）　・・・（答）

（２）　円錐の体積は、
　１^２π×√（１５）／３＝√（１５）π／３（ｃｍ^３）　・・・（答）

（３）　円錐の表面積は、底面積＋扇形の面積なので、
　１^２π＋４^２π×（２π×１）／（２π×４）
＝（１＋４）π＝５π （ｃｍ^２）　・・・（答）

2010.07.22 Thursday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

円錐の表面積

　円錐の表面積に関する問題を解いてみましょう。

例題
　底面の半径が３ｃｍ、母線の長さが１０ｃｍの円錐があります。この円錐の表面積を求めてください。円周率をπとします。

（神奈川県立多摩高）

　円錐の表面積は、底面積＋扇形の面積です。
　底面積＝３^２π＝９π
　側面積＝扇形を含む円の面積×（弧の長さ／円周）
　　　　　＝１０^２π（２π×３）／（２π×１０）
　　　　　＝３０π
　よって、表面積＝９π＋３０π＝３９π（ｃｍ^２）　・・・（答）

練習
　図は、円錐を、底面に平行で底面からの距離が１２ｃｍの平面で切った立体の展開図です。∠ＡＯＢ＝〔　ア　〕度であり、この展開図の全面積は〔　イ　〕ｃｍ^２です。　（灘高）

　　　円錐の表面積

答え

答え
ア．
　中心角をｘ度、小さい扇形の半径をｙｃｍとする。
　大きい扇形の半径は、
　　ｙ＋√｛１２^２＋（１２－７）^２｝＝√（１６９）＝ｙ＋１３
　小さい扇形の弧の長さは、
　　２πｙ（ｘ／３６０）＝１４π　なので、
　　ｘｙ＝１４×１８０　・・・①
　大きい扇形の弧の長さは、
　　２π（ｙ＋１３）（ｘ／３６０）＝２４π　なので、
　　ｘｙ＋１３ｘ＝２４×１８０　・・・②
　①を②に代入すると、
　　１４×１８０＋１３ｘ＝２４×１８０
　　１３ｘ＝１８０（２４－１４）
　　ｘ＝１８００／１３（度）　・・・（答）

　①から、ｙ＝１４×１８０（１３／１８００）＝９１／５

イ．
　全面積＝小円の面積＋大円の面積＋帯状の面積　である。
　小円の面積は、４９π
　大円の面積は、１４４π
　帯状の面積は、大きな扇形の面積－小さな扇形の面積　である。
　　｛（９１／５＋１３）^２π－（９１／５）^２π｝（１８００／１３）／３６０
　＝１３（１８２／５＋１３）（５／１３）π
　＝（１８２＋６５）π＝２４７π
　よって全面積は、
　　（４９＋１４４＋２４７）π＝４４０π（ｃｍ^２）　・・・（答）

2010.07.20 Tuesday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

円錐の側面積

　円錐の側面積に関する問題を解いてみましょう。

例題
　母線の長さが２ｃｍ、底面の半径が１ｃｍの円錐があります。この円錐の側面積は何ｃｍ^２ですか。円周率をπとします。

（鹿児島県高）

　円錐の側面積は、扇形の面積なので、
　側面積＝扇形を含む円の面積×（弧の長さ／円周）
　　　　　＝２^２π（２π×１）／（２π×２）
　　　　　＝２π（ｃｍ^２）　・・・（答）

練習
１．　底面の半径が３ｃｍ、母線の長さが８ｃｍの円錐があります。この円錐の側面積は側面積の何倍ですか。　（和歌山県高）

２．　底面の半径がそれぞれ５ｃｍ、３ｃｍである２つの円錐Ａ、Ｂがあります。それぞれの円錐の側面の展開図を同じ平面上で重ならないようにして合わせると、円ができました。
　このとき、円錐Ａの側面積を円周率をπを用いて求めてください。　（山口県高）

　　　円錐の側面積

答え

答え
１．
　側面積＝扇形を含む円の面積×（扇形の弧の長さ／円周）
　　　　　＝８^２π（２π×３）／（２π×８）
　　　　　＝２４π
　底面積＝３^２π＝９π
　よって、２４π／（９π）＝８／３（倍）　・・・（答）

２．
　円錐ＡとＢの扇形を合わせると円になるので、母線の長さは同じである。
　母線の長さををｘｃｍとすると、
　円周＝Ａの扇形の弧の長さ＋Ｂの扇形の弧の長さ　なので、
　２πｘ＝２π×５＋２π×３
　ｘ＝８
　Ａの側面積＝８^２π（２π×５）／（２π×８）
　　　　　　　　＝４０π（ｃｍ^２）・・・（答）

2010.07.16 Friday | written by 筆者 | ページの先頭へ

- | 中学から数学だいすき！　目次 | comments(0) | trackbacks(0) | permalink

中学から数学だいすき！目次

関連学習　　コメント　メルマガ

記事

RSS Atom

月別記事

中学から数学だいすき！

扇形と円錐 規則集１

円錐と円柱

円錐上の最短距離

円錐と他の図形

円錐の体積

円錐の表面積

円錐の側面積

扇形と円錐　規則集１