中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< July 2017 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >>

式の値 - 連立方程式

式の値を求める3 目次 >

 連立方程式をもとに、式の値を求めてみましょう。

例題
x+y=4  ・・・
x−y=  ・・・
 このとき、xy と x+y の値を求めてください。

(解答) 方程式を解く
  椨◆А。横=4+2 x=(4+2)/2
  櫚◆А。横=4−2 y=(4−2)/2
 xy=(16−2)/4=7/2 ・・・(答)
 x+y=(x+y)−2xy
      =16−7=9 ・・・(答)

(別解) 方程式を変形する
 
  (x+y)−(x−y)=14
  4xy=14
  xy=7/2 ・・・(答)
 
  (x+y)+(x−y)=18
  2x+2y=18
  x+y=9 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. 2x+3y=5
3x+2y=10 のとき、
−2xy+y−4x+4y−5
(成城高)
2. x+y=
x−y=3 のとき、
x/y−y/x
(大阪星工学院高)
3. 7x+5y=1
5x−7y=1 のとき、
−y
(城北高)
4. a+b−3ab=5
2a+2b+ab=3 のとき、
+b
(明治大付属明治高)

答 え












答 え
1.
 2x+3y=5   ・・・
 3x+2y=10  ・・・
 x−2xy+y−4x+4y−5
=(x−y)−4(x−y)−5 ・・・
◆櫚 А。−y=5 から、
 =25−20−5=0 ・・・(答)
2.
 x+y=5  ・・・
 x−y=3  ・・・
 x/y−y/x
=(x−y)/(xy)
=(x+y)(x−y)/(xy) ・・・

 4xy=2 xy=1/2
 =3/(1/2)
  =215 ・・・(答)
3.
 7x+5y=1 ・・・
 5x−7y=1 ・・・

7: 7x+(35)y=7 ・・・
5: 5x−(35)y=5 ・・・
◆椨:
 12x=7+
 x=(√7+√5)/12
5:(35)x+5y=5 ・・・
7:(35)x−7y=7 ・・・
ぁ櫚ァ
 12y=5−
 y=(√5−√7)/12
 x−y
=(x+y)(x−y)
=(5/6)×(7/6)
35/36  ・・・(答)
4.
 a+b−3ab=5  ・・・
 2a+2b+ab=3 ・・・
 a+b=(a+b)−2ab ・・・
◆滷魁椨 
 7(a+b)=14 a+b=2
◆櫚 滷押
 7ab=−7 ab=−1
 =4+2=6 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

式の値 - 因数分解2

式の値を求める3 目次 >

 次の因数分解を利用し、式の値を求めてみましょう。
 共通因数でくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 係数を分解する  係数で因数分解
 式を整理する   x+xy+yz+zx  x の次数順にすると、
=x
+(y+z)x+yz
=(x+y)(x+z)

例題1
 x=3−1
 y=3+2 のとき、
 x+xy+y−1 の値を求めてください。

 最低次数のyで式を整理する。
 x+xy+y−1
=(x+1)y+x−1
=(x+1)y+(x+1)(x−1) 共通因数でくくる。
=(x+1)(y+x−1)
3×23=6 ・・・(答)

例題2
 a=1−
 b=1/3 のとき、
 a−ab−12b の値を求めてください。

 a−ab−12b たすきがけで因数分解すると、
=(a+3b)(a−4b)
=(1−3+3/3)(1−3−4/3)
=1−3−43/3
=(3−73)/3 ・・・(答)
×  3b  3ab
−4b −4ab
積a −12b 和−ab

練習
 式の値を求めてください。
1. x=−1.6、y=2.8 のとき、
4x−4xy−24y
(日大第三高)
2. a=5+3、y=5−3 のとき、
b+2a+ab
(函館ラ・サール高)
3. a=6+2、b=6−2 のとき、
+b−3a+3b
(豊島岡女子学園高高)
4. x:y=1/4:1/5 のとき、
(x−4xy+4y)/(x−y
(法政大高)
5. x=1+1/2、y=1−1/2 のとき、
4x−x−y+4xy−2x+2y
(東大寺学園高)

答 え












答 え
1.
 x=−1.6、y=2.8 のとき、
 4x−4xy−24y
=4(x−xy−6y) かっこ内を因数分解すると、
=4(x−3y)(x+2y)
=4(−1.6−8.4)(−1.6+5.6)
=−40×4
=−160 ・・・(答)
×  −3y −3xy
  2y  xy
積x 積−6y 和−xy
2.
 a=5+3、y=5−3 のとき、
 ab+2a+ab 共通因数をくくると、
=ab(a+2ab+b
=ab(a+b)
=(5−3)(25)
=40 ・・・(答)
3.
 a=6+2、b=6−2 のとき、
 a+b−3a+3b
=(a−b)+2ab−3(a−b)
=(a−b)(a−b−3)+2ab
=4+2(6−4)
=8 ・・・(答)
4.
 x:y=1/4:1/5=5:4
 x=5y/4
 (x−4xy+4y)/(x−y
=(x−2y)/(x−y) を代入すると、
=(5/4−2)/(25/16−1)
=(9/16)/(9/16)
=1 ・・・(答)
5.
 x=1+1/2、y=1−1/2 のとき、
 4x−x−y+4xy−2x+2y
=(2xy)+4xy−(x+y−2xy)
 −2xy−2(x−y)
=(2xy)+2xy−(x−y)
 −2(x−y) ・・・
 ここで、
 xy=1−1/2=1/2
 x−y=2/2=
 瓧院棕院檻押檻
 =−22 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

式の値 - 因数分解1

式の値を求める3 目次 >

 因数分解を利用し、式の値を求めてみましょう。はじめに、基本的な因数分解を確認してください。
 x−y=(x+y)(x−y)
 x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)

例題
 x=1/3+1/2、
 y=1/3−1/2 のとき、
 x−y の値を求めてください。

 x−y 2乗の差=和と差の積 から、
=(x+y)(x−y)
=(2/3)×(2/2)
=4/6 分母を有理化すると、
=46/6
=26/3 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x=1.8、y=0.2 のとき、
+2xy+y
(愛知県高)
2. x=5+3、y=5−3 のとき、
2x−2y
(山形県高)
3. a=5/11、b=3/11 のとき、
−4ab+4b
(明治学院高)
4. x=5/16、y=−2/3 のとき、
(4x+3y)−(3y−4x)
(國學院大久我山高)
5. (a+b)−(a−b) を求め、
2017×2019 を計算してください。
必要ならば、4036=16289296
を用いてもよい。
(巣鴨高)

答 え












答 え
1.
 x=1.8、y=0.2 のとき、
 x+2xy+y
=(x+y)
=(1.8+0.2)
=4 ・・・(答)
2.
 x=5+3、y=5−3 のとき、
 2x−2y 共通因数の2でくくると、
=2(x−y) 2乗の差=和と差の積 から、
=2(x+y)(x−y)
=2×(25)×6
=245 ・・・(答)
3.
 a=5/11、b=−3/11 のとき、
 a−4ab+4b
=(a−2b)
=(5/11+6/11)
=1 ・・・(答)
4.
 x=5/16、y=−2/3 のとき、
 2乗の差=和と差の積 から、
 (4x+3y)−(3y−4x)
=(6y)×(8x)
=48xy
=48×(−10/48)
=−10 ・・・(答)
5.
(解答) 題意にしたがって解く
 a=2019、b=2017
 (a+b)−(a−b)=2a×2b=4ab
 よって、
 ab={(a+b)−(a−b)}/4
  4036=16289296 から、
 ab=(4036−2)/4
   =16289296/4−1
   =4072323 ・・・(答)

(別解) 和と差の積=2乗の差 から解く
 2017×2019
=2019×2017
=(2018+1)(2018−1)
=2018−1
=(4036/2)−1 4036=16289296
=16289296/4−1
=4072323 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

式の値 - 対称式

式の値を求める3 目次 >

 対称式の値を求めてみましょう。文字を交換しても変わらない式を対称式といいます。
例: x+y  xy 
   x+y  1/x+1/y
   (a−b)  ← (b−a) と等しい。

例題
 a=5+2、b=5−2 のとき、
 a−ab+b の値を求めてください。

 対称式は、文字の和や積の式で表すことができる。
 a−ab+b は対称式であり、
 a+b=2
 ab=(5+2)(5−2)
   =5−4=1
 a−ab+b 平方完成すると、
=(a+2ab+b)−3ab
=(a+b)−3ab       
=20−3==17 ・・・(答)

(別解)
 a−ab+b 平方完成すると、
=(a−2ab+b)+ab
=(a−b)+ab
=4+1=17 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x=2、y=1 のとき、
−2xy+y
(長崎県高)
2. x=3−22、y=3+22 のとき、
y+xy
(東京電機大高)
3. x=3+2、y=3−2 のとき、
2x+2y+5xy
(函館・ラサール高)
4. x=(5+3)/2、
y=(5−3)/2 のとき、
(x+3y)+ (3x−y)+20xy
(都立高)
5. a+b+c=0、abc=−3 のとき、
b+cc+aa+b
(お茶の水女子大附属高)

答 え












答 え
1.
 x=2、y=1 のとき、
 x−2xy+y
=(x−y)=1 ・・・(答)
2.
 x=3−22、y=3+22 のとき、
 xy=(3−22)(3+22)
   =9−8=1
 x+y=6 から、
 xy+xy
=xy(x+y)=6 ・・・(答)
3.
 x=3+2、y=3−2 のとき、
 x+y=2
 xy=3−2=1
 2x+2y+5xy 平方完成すると、
=2(x+2xy+y)+xy
=2(x+y)+xy
=24+1=25 ・・・(答)
4.
 x=(5+3)/2、
 y=(5−3)/2 のとき、
 (x+3y)+ (3x−y)+20xy
=10x+10y+20xy
=10(x+2xy+y
=10(x+y)
=10×5=250 ・・・(答)
5.
 a+b+c=0、abc=−3 のとき、
 (b+c)(c+a)(a+b)
=a
=(abc)
=−3=−243 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

式の値 - 条件式を変形

式の値を求める3 目次 >

 条件の式を変形し、式の値を求めてみましょう。

例題
 a=2−1 のとき、
 a+2a+5 の値を求めてください。

 a=2−1 右辺を √2 にすると、
 a+1=2 両辺を2乗すると、
 a+2a+1=2
 a+2a=1 両辺に5をたすと、
 a+6a+5=6 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. a=7−3 のとき、
+6a+6
(市川高)
2. x=(3−1)/2 のとき、
2x+2x+1
(立命館高)
3. x=1+3 のとき、
+3x+2
(国立工業高専)
4. x=(−1+5)/2 のとき、
4x+ 4x−2x−1
(西大和学園高)
5. +2xy+y=10
x−y=2 のとき、
xy
(久留米大附設高)

答 え












答 え
1.
 a=7−3 右辺を √7 にすると、
 a+3=7 両辺を2乗すると、
 a+6a+9=7
 a+6a=−2 両辺に6をたすと、
 a+6a+6=4 ・・・(答)
2.
 x=(3−1)/2 を変形すると、
 2x+1=3 両辺を2乗すると、
 4x+4x+1=3
 4x+4x=2
 2x+2x=1 両辺に1をたすと、
 2x+2x+1=2 ・・・(答)
3.
 x=1+3 式を変形すると、
 x-1=3 両辺を2乗すると、
 x-2x+1=3
 x-2x=2 両辺に 5x+2 をたすと、
 
+3x+2=5x+4
       =5(1+3)+4
       =9+53 ・・・(答)
(別解)
 x+3x+2 因数分解すると、
=(x+1)(x+2) =1+√3 から、
=(2+3)(3+3)
=6+53+3
=9+53 ・・・(答)
4.
 x=(−1+5)/2 式を変形すると、
 2x+1=5 ・・・ 両辺を2乗すると、
 4x+4x+1=5
 4x+4x=4 ・・・
 4x+ 4x−2x−1
=x(4x+4x)−(2x+1) ´△ら、
=4x−
=2(−1+5)−
5−2 ・・・(答)
5.
 x+2xy+y=10 ・・・
 x−y=2 両辺を2乗すると、
 x−2xy+y=4  ・・・
 櫚◆
 4xy=6
 xy=3/2 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink