中学から数学だいすき!

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得意な人は、ミスをなくそう。
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確率_確率の計算

確率を求める4 目次 >

 確率の定義と計算方法を確認し、確率を求めてみましょう。

 1個のさいころを投げると、目の出方は全部で1〜6の6通りあります。3の倍数の出方は36の2通りです。
1 2 3 4 5 6
 もし、目の出方にかたよりがなく同じ様に出れば、3の倍数が出る割合を予想できます。この割合は、部分÷全体 で計算できます。
 3の倍数の場合の数÷全ての場合の数=2/6=1/3
この 1/3 を確率といいます。

 確率は、対象の事柄が起こる可能性の割合です。次のように計算します。
  p=n/N
  p:確率(p:probability)
  n:対象の場合の数
  N:全ての場合の数
 どの場合が起きることも同様に確からしい@
 とする。(本稿では省略します) 

 確率の求め方には、並べ方による方法と(例1)、並べ方または組合せによる方法(例2)があります。

例1:1〜6の目が出る大小2個のさいころを投げ、目の和が4になる確率を求める。

 大小の目の全ての並べ方は、
  N=6×6=36 (通り)
 対象の場合の並べ方を、(大の目,小の目)で表すと、
  (1,3) (2,2) (3,1) から、n=3 (通り)
 確率は、p=n/N=3/36=1/12 ・・・(答)

(参考) 例1は組合せで解けない
 例えば、並べ方(1,2)と(2,1)は別物なので、組合せ<1,2>に対応しません。したがって、組合せで場合の数を求めることはできません。
 確率4_組にできないさいころの目.gif

例2:4枚のカードA、B、C、Dから戻さないで同時に2枚を引くとき、AとBを引く確率を求める。

(解答) 並べ方で解く
 全ての場合の並べ方は、
  N=4×3=12 (通り)
 対象の場合の並べ方は、
  (A,B) (B,A) から、n=2 (通り)
 確率は、p=n/N=2/12=1/6 ・・・(答)

(別解) 組合せで解く
 全ての場合の組合せは、
  (4×3)/(2×1)=6 (通り)
 対象の場合の組合せは、
  <A,B> から、n=1 (通り)
 確率は、p=n/N=1/6 ・・・(答)

練習
 次の問題を解いてください。
1.  箱の中に1、2、3、4と書かれた玉が4個入っています。この箱の中から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した玉に書かれた数の和が5となる確率を求めてください。
(富山県高)
2.  大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が12となる確率を求めてください。
(大阪府高)
3.  3枚の硬貨を同時に投げるます。1枚が表で2枚が裏になる確率を求めてください。
(広島県高)
4.  6人の生徒A、B、C、D、E、Fがいます。これらの生徒の中から、くじびきで2人を選ぶとき、Bが選ばれる確率を求めてください。
(栃木県高)

答 え










答 え
1.
 組合せで解く。
 全ての場合は、
  N=(4×3)/(2×1)=6 (通り)
 対象の場合は、
  <1,4> <2,3> から、n=2 (通り)
 確率は、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)
2.
 並べ方で解く。
 全ての場合は、
  N=6×6=36 (通り)
 対象の場合を(大の目,小の目)で表すと、
  (2,6) (3,4) (6,2) (4,3) から、n=4
 確率は、p=n/N=4/36=1/9 ・・・(答)
3.
 並べ方で解く。
 全ての場合は、
  N=2×2×2=8 (通り)
 対象の場合の組合せは、表を1、裏を2とすると、
  <1,2,2> 並べ方にすると、
  (1.2.2) (2,1,2) (2,2,1,) から、n=3
 確率は、p=n/N=3/8 ・・・(答)
4.
 組合せで解く
 全ての場合は、
  N=(6×5)/(2×1)=15 (通り)
 対象の場合は、
  <B,B以外の5人> から、n=5 (通り)
 確率は、p=n/N=5/15=1/3 ・・・(答)

(比較) 並べ方で解く
 全ての場合は、6×5=30 (通り)
 対象の場合は、
  (B,B以外の5人) から、5通り
  (B以外の5人,B) から、5通り
  n=5+5=10 (通り)
 確率は、p=n/N=10/30=1/3 ・・・(答)

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確率_並べ方と組合せ

確率を求める4 目次 >

 場合の数の数え方には、並べ方によるものと、組合せによるものがあります。次の例で違いを確認しましょう。

例1:A、B、Cの文字から、2個の文字を取り出します。
(1) 2個の並べ方は何通りありますか。
(2) 2個の組合わせは何通りありますか。

(解答) 具体化して数える
(1) 並べ方は、(A,B) (B,A) (A,C) (C,A) (B,C) (C,B)
  から、6通りです。
(2) 組合せは、<A,B> <A,C> <B,C> から、3通りです。

 並べ方は、順序がある並びの数です。組合せは、順序がない組の数です。

(別解) 計算で求める
(1)
 並べ方は、1番目は3通りで、2番目は(3-1=2)通りです。
 積の法則から、3×2=6 (通り)
(2)
 3個から2個取り出すと、並べ方は(3×2=6)通り。
  (A,B) (B,A) (A,C) (C,A) (B,C) (C,B)
 例えば、1つの組合せ<A,B>は、2個の並べ方(A,B) (B,A)に対応します。
 2個の並べ方は、(2×1=2)通りなので、
 組合せは、(3×2)/(2×1)=3 (通り)

 5個から3個取り出すときの、並べ方と組合せの計算式を示します。
 5個から3個取り出すとき、
  並べ方=5×4×3 通り
  組合せ=(5×4×3)/(3×2×1) 通り@

例2:4人が1列に並びます。並び方は何通りありますか。

 先頭は4通り、2番目は3通り、3番目は2通りから、
 4×3×2=24 (通り) ・・・(答)

例3:1から5の数字から2個取り出し、2桁の整数をつくります。整数は何通りできますか。

 十の位は5通り、一の位は4通りから、
 5×4=20 (通り) ・・・(答)

 次の表で、並べ方と組合せの違いを確認してください。
並べ方 組合せ
違い  順序がある並び  順序がない組
名称  並び
 順列
 並べ方、並び方
 組
 組合せ
 選び方、取り出し方(注)
計算  5人から3人の並び
 (5×4×3)通り
 5人から3人の組
 (5×4×3)/(3×2×1)通り@
表記  (A,B,C) (本稿) 
 [A,B,C]
 {A,B,C}
 <A,B,C> (本稿) 
(注) 名前を指定する選び方は、並べ方になる(参考の◆法

(参考) 並べる意味
 何かを並べることを、次のように考えることができます。
 名前をつけた空の容器を並べて置く。
 容器1、容器2、… に入る物や数を考える。
大小2個のさいころを投げるとき、すべての目の出方
 (大、小)… 容器1、容器2
 大に、1〜6の6通りの数字が入る
 小に、1〜6字6通りの数字が入る
 目の出方の総数は、6×6=36 (通り)
7人からリーダーとサブリーダーを選ぶときの選び方
 (リーダー,サブリーダー)… 容器1、容器2
 リーダーに、1〜7の7通りの名前が入る。
 サブリーダーに、6通りの名前が入る。
 選び方は、7×6=42 (通り)
7人から2人を選ぶときの選び方
 並べない組合せなので、
 (7×6)/(2×1)=21 (通り)

練習
 次の場合の数を求めてください(確率の計算は省略)。
1.  [A] [B] [AB]と書かれた3枚のカードがあります。3枚のカードをよく切って1枚取り出し、書かれている文字を確認してからもとにもどします。この作業を3回行うとき、カードの取り出し方は全部で何通りありますか。
(宮城県高)
2.  1から6の目のある大小2つのさいころを同時に投げます。
(1) 目の出方は全部で何通りですか。
(2) 大小2つの目の数の積が奇数になる場合は何通りですか。
(長崎県高)
3.  3枚の硬貨を同時に投げるます。
(1) 表と裏の出方は全部で何通りですか。
(2) 1枚が表で2枚が裏になる場合は何通りですか。
(広島県高)
4.  6人の生徒A、B、C、D、E、Fがいます。これらの生徒の中から、くじびきで2人を選びます。
(1) 2人が選ばれる場合は何通りですか。
(2) 2人のうちBが選ばれる場合は何通りですか。
(栃木県高)

答 え










答 え
1.
 (1回目,2回目,3回目)で、それぞれ3通りある。
 積の法則から、3×3×3=27 (通り) ・・・(答)
2.
(1)
 (大,小)で、それぞれ6通りある。
 積の法則から、6×6=36 (通り) ・・・(答)
(2)
 大×小が奇数になる場合は、奇数×奇数である。
 (大,小)で、それぞれ1,3,5の3通りある。
 3×3=9 (通り) ・・・(答)
3.
(1)
 (硬貨1,硬貨2,硬貨3)で、出方はそれぞれ2通りから、
 2×2×2=8 (通り) ・・・(答)
(2)
 表を1、裏を2とする。
 組合せ<1,2,2>の並べ方が何通りあるか求める。
 (1,2,2) (2,1,2) (2,2,1)から、3通り ・・・(答)
4.
(1)
 6人から2人を選ぶ組合せは、
 (6×5)/(2×1)=15 (通り) ・・・(答)
(2)
 組合せは <B,AかCかDかEかF> から、5通り ・・・(答)

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確率_場合の数

確率を求める4 目次 >

 「確率を求める4」では、最新の入試問題を取り上げます。確率は、場合の数をもとに計算します。これから、場合の数の求め方を確認しましょう。

 場合の数を知る基本的な方法には、
 ・和の法則と積の法則
 ・樹形図(じゅけいず)
 ・集合の利用 があります。

場合の数
 ことがらが起こる数を場合の数といいます。場合の数は「〜通り」と数えます。

 さいころと経路を例に、場合の数が何通りあるか求めてみましょう。

さいころの場合の数
 1〜6の目のある1個のさいころを1回投げる場合を考えます。
 すべての目が出る場合は、1か2か3か4か5か6なので、6通り
 偶数の目が出る場合は、2か4か6なので、3通り
 素数のうち奇数の目が出る場合は、
 素数は2か3か5で、このうち奇数は3か5なので、2通りです。
  6面さいころ

経路の場合の数
 AからBへの道は2本あり、BからCへの道は3本あります。
 確率4_経路の場合.gif

 このとき、
 AからBへの行き方は、3通り
 BからCへの行き方は、2通り
 AからCへの行き方は、
  ,ら、アかイで、2通り
  △ら、アかイで、2通り
  から、アかイで、2通り 合わせて、6通りです。

 和の法則、積の法則を使って、場合の数を求めることができます。

和の法則

 さいころと経路の場合の数を求めるときに、「〜か〜か…」と場合をあげて、合計しました。
 ことがらXとYの起こり方に重複がないとき、
  XまたはYが起こる場合=X+Y(通り)
 AからBへは、,△なので、1+1+1=3(通り)
 BからCへは、アかイなので、1+1=2(通り)
 AからCへは、.△.い覆里如2(通り)
       ▲△▲い覆里如2(通り)
       アかイなので、2(通り)
       2+2+2=6 (通り)
積の法則
 ことがらXのどの場合に対しても、Yが起こるとき、
 XとYがともに起こる場合=X×Y(通り)
 AB間は3通りで、AB間のそれぞれに対してBC間は2通りなので、AC間は、3×2=6(通り)

樹形図
 経路の場合の数は、次の樹形図(じゅけいず)で数えることができます。
 樹形図の右端の場合の数を合計します。樹形図は、もれや重複を防ぐことができます。
 確率4_経路の樹形図.gif

和集合と積集合
 1個のさいころを投げ、素数でしかも奇数の目が出る場合の数を図に表してみましょう。
 素数は 2, 3, 5で、奇数は 1, 3, 5です。
 素数でしかも奇数は、積集合の記号∩(かつ, and)を使って表すと、
  素数∩奇数={3,5} (2通り)
 素数または奇数は、和集合の記号∪(または, or)を使って表すと、
  素数∪奇数={1, 2, 3, 5} (4通り)
 ここで、
 素数∪奇数=素数+奇数ー素数∩奇数
      =3+3-2=4(通り) になります。
 確率4_集合.gif

練習
1. 1〜12の目が出るさいころが1個あります。このさいころを1回投げるとき、目の出かたについて、ア〜イの場合の数を答えてください。
 確率4_12面さいころ.gif
ア すべての目の出かた
イ 3の倍数の目の出かた
ウ 奇数または素数の目の出かた

2.  1〜6の目が出るさいころと、1〜12の目が出るさいころを同時に投げます。目の出かたについて、ア〜イの場合の数を答えてください。
ア すべての目の出かた
イ 両方が偶数となる目の出かた
ウ 目の差が7となる目の出かた

3. 犬と猫について、20人から回答を得ました。
  犬が好き:10人
  猫が好き:7人
  両方好き:2人
 ア〜ウの人数を答えてください。
ア 犬だけが好き
イ 犬または猫が好き
ウ 両方好きでない

答 え










答 え
1.
ア 12通り ・・・(答)
イ 3の倍数は、3, 6, 12 から、3通り ・・・(答)

 奇数は、1, 3, 5, 7, 9, 11 から6通り
 素数は、2, 3, 5, 7, 11 から、5通り
 奇数でしかも素数は、3, 5, 7,11 から、4通り
 よって、
 奇数または素数は、6+5-4=7 (通り) ・・・(答)
  確率4_12面ダイスの奇数と素数.gif
2.

 目の出かたは、
 6面さいころが6通りで、12面さいころが12通り
 積の法則から、6×12=72 (通り) ・・・(答)

 偶数の目が出る場合は、
  6面さいころ:2,4,6 から、3通り
 12面さいころ:2,4,6,8,10,12 6通り
 積の法則から、3×6=18 (通り) ・・・(答)

 目の差が7となる場合は、
  12-5, 11-4, 10-3 から、3通り ・・・(答)
3.
ア 犬だけが好きは、10-2=8 (人) ・・・(答)
イ 犬または猫が好きは、10+7-2=15 (人) ・・・(答)
ウ 両方好きでないは、20-15=5 (人) ・・・(答)
 確率4_犬猫の好み.gif

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確率を求める4 目次

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関数_まとめ

関数 目次 >

 関数について、まとめの問題を解いてみましょう。

練習
1. 11の値を小数第1位まで求めてください。小数第2位の四捨五入は不要です。

2. (1)〜(3)について、yをxの式で表してください。
(1)
x 1 2 3 4
y 2 0 -2 -4
(2)
x 1 2 3 4
y 5 20 45 80
(3)
x 1 2 3 4
y 26 6 26/3 6/2

3.
(1) 問題2の(1)の関数で、-3≦x≦1 のとき、yの変域を求めてください、

(2) 問題2の(2)の関数で、yがx秒後の落下距離(m)を表すとき、ア〜ウの値を求めてください。
ア 10秒後の落下距離
イ 10秒間の平均の速さ
ウ 10秒後の瞬間の速さ

(3) 問題(3)の関数で、ア〜ウの問いに答えてください。
ア -2≦x≦-1 のとき、yの変域を求めてください、
イ xが2から6に増加するとき、変化の割合を求めてください。
ウ y=6x との交点をA、Bとするとき、線分ABの長さを求めてください。

4. 下の図のように、正方形を縦線と横線で区切っていきます。1回目は正方形が1個、2回目は4個、3回目は16個、… です。このとき、(1)〜(3)の問いに答えてください。

 関数_正方形の細分.gif

(1) 5回目の正方形の数を求めてください。
(2) yをxの式で表してください。
(3) 正方形が4096個になるのは何回目ですか。

5. 直角三角形があり、斜辺の長さがx、他の2辺の長さがyと8のとき、xとyの長さをすべて求めてください。xとyは整数とします。

答 え










答 え
1.
 9<11<16 から、
 3<11<4  3.52=12.25 と暗算できるので、
 3<11<3.5
 ここで、
  3.12=9.61
  3.22=10.24
  3.32=10.89
  3.42=11.56 から、
 3.3=10.89<11<3.4=11.56
 11=3.3…
(答) 3.3
 関数_y=√x_x=11.gif
2.
(1)
x 1 2 3 4
y 2 0 -2 -4 1次関数
yの差 -2 -2 -2 定数
 yの差(変化の割合)が定数なので、yは1次関数であり、
 y=ax+b とおける。
 (x,y)=(1,2), (2,0) から、
  2=a+b
  0=2a+b から、a=-2, b=4
 よって、y=-2x+4 ・・・(答) 
(2)
x 1 2 3 4
y 5 20 45 80 2次関数
yの差1 15 25 35 1次関数
yの差2 10 10 定数
 yの差から、yを 2次関数とみなし、
 y=ax2+bx+c とする。
 (x,y)=(1,5), (2,20), (3,45) から、
  5=a+b+c  …
  20=4a+2b+c …
  45=9a+3b+c …
 cを消去
 -:15=3a+b …
 -◆25=5a+b …
 bを消去
 -ぁ10=2a a=5
 ぁb=15-3a=0
  c=5-a-b=0
 よって、y=5x2
 この式を(4,80)で検証する。
  y=5×42=80 から、式は正しい。
(答) y=5x2
(3)
x 1 2 3 4
y 26 6 26/3 6/2
 xy=26=一定 から、y=(26)/x ・・・(答)

 関数_まとめの問題4グラフ.gif
3.
(1)
 y=-2x+4 で、-3≦x≦1 のとき、yの変域を求める。
 x=-3:y=10
 x=1 :y=2
 よって、2≦y≦10 ・・・(答)
(2)

 y=5x2 で、x=10 のとき、y=500 (m)

 平均の速さ=(500-0)/(10-0)=50 (m/秒) ・・・(答)

 a秒からb秒になったとき、
 平均の速さ=(5b2-5a2)/(b-a)
      =5(a+b)((a-b)/(a-b)
      =5(a+b)
 a=b=10 のとき、
 瞬間の速さ=5(10+10)=100 (m/秒) ・・・(答)
(3)

 y=(26)/x で、-2≦x≦-1 のとき、yの変域を求める。
 x=-2:y=-6
 x=-1:y=-26 から、-26≦y≦-6 ・・・(答)

 xが2から6に増加するとき
 変化の割合={(26)/6-(26)/2}/(6-2)
      =(26)(-1/3)/4=-6/6 ・・・(答)

 y=(26)/x と y=6x の交点を求める。
 (26)/x=6x
 x2=2
 x=±2
 x=2:y=6x=23
 x=-2:y=6x=-23
 原点(0,0)と(2,23)の距離は、三平方の定理から、
 {(2)2+(23)2}=(2+12)=14
 交点は原点に点対称なので、
 AB=214 ・・・(答)

4.
(1)
 1回増えるごとに、縦×2、横×2 ずつ増える。
 x=1:y=1
 x=2:y=2×2=4
 x=3:y=4×4=16
 x=4:y=8×8=64
 x=5:y=16×16=256 (個) ・・・(答)

(参考)
x 1 2 3 4 5
y 1 4 16 64 256 指数関数
yの差1 3 12 48 192 4
yの差2 9 36 144 4

(2)
 yを2の累乗で表す。
 x=1:y=1=20
 x=2:y=2×2=4=22
 x=3:y=4×4=16=24
 x=4:y=8×8=64=26
 x=5:y=16×16=256=28
      :
 y=2ax+b として、a,bを求める。
 (1,20) (2,22) を代入すると、
  20=2a+b
  22=22a+b
 2式から、
  a+b=0
  2a+b=2 から、a=2, b=-2
 よって、y=22x-2 ・・・(答)
(3)
 y=22x-2=4096
 28=256
 210=28×22=1024
 212=210×22=4096 から、
 22x-2=212
 2x-2=12
 x=7 (回目) ・・・(答)

 関数_y=2^a_a=2x-2.gif
5.
 三平方の定理から、
 x2=y2+82
 x2-y2=64
 (x+y)(x-y)=64
 ここで、xは斜辺なので、x>y
 x+y>x-y から、
 (x+y,x-y)=(64,1), (32,2), (16,4)
x+y=64
x-y=1
のとき、x=65/2 (不適)
x+y=32
x-y=2
のとき、x=17 y=15
x+y=16
x-y=4
のとき、x=10 y=6
(答) (x,y)=(10,6), (17,15)

関数_z=√(x^2-y^2).gif

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