中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< April 2020 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >>

規則性(タイルの面積)

規則性を見つける5 目次 >

 規則的に並べたタイルの面積を求めてみましょう。

練習
 図1のような、1辺の長さが1cmの正方形の白のタイルがたくさんあります。
 長方形の黒のタイルの周りを、白のタイルで一重に囲み、それぞれのタイルが重ならないようにすきまなく並べ、長方形のもようをつくります。

図1 図2 図3
-
- - - -
- - - -
- - - -
- - - - -
- - - - -
- - - - -
- - - - -

 たとえば図2のように、縦の長さが1cm、横の長さ2cmの長方形の黒のタイルを、白のタイルで囲んで長方形のもようをつくるとき、縦の長さが3僉横の長さが4僂里發茲Δ砲覆蠅泙后
 図3のように、縦の長さが2cm、横の長さが3cmの長方形の黒のタイルを、白のタイルで囲んで長方形のもようをつくるとき、縦の長さが4cm、横の長さが5cmの長方形のもようになります。
 これについて、次の問いに答えてください。
1. 縦の長さが2cm.、横の長さが6cmの長方形の黒のタイルを、白のタイルで囲んで長方形のもようをつくるとき、この長方形のもようの白のタイルの部分の面積は何cm2ですか。
2. 縦の長さが3cm、横の長さが ncm の長方形の黒のタイルを、白のタイルで囲んで長方形のもようをつくるとき、この長方形のもようの黒のタイルの部分の面積と白のタイルの部分の面積が等しくなるようにするには、n の値をいくらにすればよいですか。整数 n の値を求めてください。
3. 縦の長さが mcm、横の長さが ncm の長方形の黒のタイルを、白のタイルで囲んで長方形のもようをつくるとき、この長方形のもようの黒のタイルの部分の面積の1/3が白のタイルの部分の面積に等しいとき、m、n の値をすべて求めてください。ただし、m<n とします。
 
(香川県高 問題3追加)

答 え












答 え
1.
(考え方) 上下、左右、四隅の数をたす。
図3の場合
- - - - -
- - - - -
- - - - -
- - - - -
 白の数=2(3+2)+4

 黒が横に6個で2段のとき、
 白の数=2(黒の横の数+黒の縦の数)+四隅の数
    =2(6+2)+4=20
(答) 202
2.
 黒の横の数がn、縦の数が3なので、
  黒の数=3n
  白の数=2(n+3)+4=2n+10
 白黒の数が等しいので、
  3n=2n+10
  n=10 ・・・(答)
3.
 黒の数=mn
 白の数=2(m+n)+4=2m+2n+4
 黒の数の1/3が白の数なので、
  mn/3=2m+2n+4
  mn-6m-6n=12  左辺を積の形にする。
  (m-6)(n-6)-36=12
  (m-6)(n-6)=48
  (m-6)、(n-6)は自然数で、m<n から、
  (m-6,n-6)=(1,48),(2,24),(3,16),(4,12),(6,8)
 よって、
 (m,n)=(7,54),(8,30),(9,22),(10,18),(12,14) ・・・(答)

JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性(数の並び3)

規則性を見つける5 目次 >

 各行に数字を並べていく問題を解いてみましょう。

練習
 下の図のように、自然数を規則的に書いていきます。
1行目 2
2行目 4 5
3行目 6 7 8
4行目 8 9 10 11
5行目 10 11 12 13 14
 各行の左端の数は、2から始まり上から下へ順に2ずつ大きくなるようにします。さらに、2行目以降は左から右へ順に1つずつ大きくなるように、2行目には2個の自然数、3行目に3個の自然数、… と行の数と同じ個数の自然数を書いていきます。
 このとき、次の問いに答えてください。
1. 7行目の左から4番目の数を求めてください。
2. n行目の右端の数をnで表してください。
3. 31は何個あるか求めてください。
(富山県高)

答 え












答 え
1.
 行数をnとすると、左端の数=2n
 n=7 のとき、左端の数=14
 左から4番目の数は、14,15,16,17 から17 ・・・(答)

2.
 左端の数=2n
 右端の数は、
  2行目:左端の数+1
  3行目:左端の数+2
  4行目:左端の数+3
   :
  n行目:左端の数+(n-1)=2n+(n-1)=3n-1 ・・・(答)

(別解) 右端の数の並びから求める。
1行目 2行目 3行目 4行目 n行目
右端の数 2 5 8 11 1次関数
隣との差 3 3 3 3 一定
 右端の数は、nが1増えると、3増える。
 また、n=0 のとき、右端の数=2-3=-1
 よって、右端の数=3n-1 ・・・(答)

3.
 左端の数<31≦右端の数 から、
  2n<31≦3n-1
   n<31/2=15.…
  31≦3n-1
   n≧32/3=10.…
 nは自然数なので、11≦n≦15
 よって、n=11,12,13,14,15
 n=11: 22,…,32  31あり
 n=12: 24,…,35  31あり
 n=13: 26,…,38  31あり
 n=14: 28,…,41  31あり
 n=15: 30,…,44  31あり
(答) 5個

JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性(カードの枚数)

規則性を見つける5 目次 >

 正方形のカードを並べる問題を解いてみましょう。

練習
 下の図のように、1辺の長さが1cmの正方形のカードをすき問なく並べて順番に図形を作ります。段の数は、順にI段ずつ増やし、一下の段のカードの枚数は、順に2枚ずつ増やします。

 規則性5_カード
 次の1〜4の問いに答えてください。
1. 5番目の図形について、
(1) 一番下の段のカードの枚数を求めてください。
(2) 周の長さを求めてください。
2. n番目の図形について、
(1) 一番下の段のカードの枚数を、nを使った式で表し てください。
(2) 周の長さをnを使った式で表してください。
3. 次の文章は、カードの総数について、花子さんの考えをまとめたものです。【   】にnを使った式を当てはまるように書いてください。
3番目の図形のカードの総数は、数えると9枚です。図2のように、3番目の図形と、それをひっくり返した図形を組み合わせた図形を作り、計算で求めることもできます。次の図形では、カードが6枚ずつ3段あるので、総数は18枚です。よって、3番目の図形のカードの総数は9枚です。
   規則性5_カード2
同じように考えると、n番目の図形のカードの総数は、【   】枚となります。
(4) カードとカードの境目の長さの和は、3番目の図形では10cmです。n番日の図形では何cmですか。
(岐阜県高)

答 え












答 え
 規則性5_カード
 n番目と、正方形の総数、最下段の数を表にする。
n番目 1 2 3 4 n
総数 s 1 1+3
=4
1+3+5
=9
1+3+5+7
=16
n2
最下段の数 k 1 3 5 7 1次関数
 kの隣との差 2 2 2 2 一定
周の長さ L 4 10 16 22 1次関数
Lの隣との差 6 6 6 6 一定

 最下段の数をkとする。
  nが1ずつ増えると、kは2ずつ一定に増えるので、
  kはnの1次関数となる。n=0 のとき、k=1-2=-1 から、
  k=2n-1 …
 総数をsとすると、s=n2
 周の長さをLとする。
  nが1ずつ増えると、Lは6ずつ一定に増えるので、
  Lは1次関数となる。n=0 のとき、L=4-6=-2 から、
  L=6n-2 …

1.
(1) ,ら、n=5 のとき、k=2n-1=9 (枚) ・・・(答)
(2) から、n=5 のとき、L=6n-2=28 (cm) ・・・(答)

2.
(1) ,ら、s=2n-1 (枚) ・・・(答)
(2) から、L=6n-2 (cm) ・・・(答)

3.
 3番目の総数の求め方は、
  (最下段の数+1)×段数÷2 なので、
 n番目では、
  (2n-1+1)n/2=n2 (cm) ・・・(答)

4.
 境目の辺の数を、横・縦で調べ表にする。
n番目 1 2 3 4 n
横の数 0 1 1+3
=4
1+3+5
=9
(n-1)2
縦の数 0 2 2+4
=6
2+4+6
=12
(n-1)n
 表から、境目の総数は、
  (n-1)2+(n-1)n  (n-1)でくくると、
  =(n-1)(n-1+n)
  =(n-1)(2n-1) (cm) ・・・(答)

JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性(表の数字3)

規則性を見つける5 目次 >

 表の規則性の問題を解いてみましょう。

練習
 最初に1番目の数と2番目の数を決め、1番目の数と2番日の数の和を3番目の数、2番目の数と3番目の数の和を4番日の数、……のように、n 番目の数と n+1 番目の数の和を n+2 番目の数と定めます。ただし、1番目の数と2番目の数はともに自然数とします。
 以下の表は1番目、2番目の数が,1と1、1と2、1と3の場合についてそれぞまとめたものです。
1番目 2番目 3番目 4番目 5番目 6番目 7番目 8番目 9番目
1 2 3 5 8 13 21 34
1 2 3 5 8 13 21 34 55
1 3 4 7 11 18 29 47 76
 このとき.あとの問いに答ええてください。
1. 1番目の数が1、2番目の数が4のとき、8番目の数を求めてください。
2. 太郎くんは、表を見て「1番目の数が1のとき、2番目の数がどのような自然数であっても、8番目の数を13で割ったときの余りは必ず8になるのではないか」と予想しました。太郎くんがこの予想を確かめるには次のような方法で考えることができます。(ア) (イ)にあてはまる数を答えてください。
【方法】 (ア)番目の数をxとおき、
(イ)番目の数をどのように表せるかを調べる。
3. 太郎くんは、1番目の数と2番目の数をいろいろ変えてみたときにどうなるかに興味をもち、1番目の数をa、2番目の数をbとおき、3番目以降の数をaとbを 用いて表してみることにしました。次の(1) (2)に答えてください。
(1) 8番目の数をa、bを用いて表してください。
(2) a=15、b=2019 のとき、8番目の数を13で割った余りを求めてください。
4. 1番目の数を3とすると、2番目の数がどのような自然数であっても、8番目の数を13で割った余りは必ず11となります。太郎くんは9番目以降の数にも興味をもち、調べてみることにしました。
 その結果,「1番目の数が3のとき、2番目の数がどのような自然数であっても、(ウ)番目の数を13で割った余りは必ず(エ)となる」と言えるような、(ウ)、(エ)にあてはまる数がたくさんあることに気づきました。(ウ)にあてはまる2桁の数のうち、最小のものを求めてください。また、そのときに(エ)にあてはまる数を求めてください。
(広島大附属高)

答 え












答 え
1.
 1番目の数が1、2番目の数が4のとき、
8番目の数は、下の表から、60 ・・・(答)
1番目 2番目 3番目 4番目 5番目 6番目 7番目 8番目 9番目
1 2 3 5 8 13 21 -
1 2 3 5 8 13 21 34 -
1 3 4 7 11 18 29 47 -
1 4 5 9 14 23 37 60 -
a b a+b a+2b 2a+3b 3a+5b 5a+8b 8a+13b -
3 b b+3 2b+3 3b+6 5b+9 8b+15 13b+24 21b+39
2.
(答) ア 2  イ 8
3.
(1) 1番目の数をa、2番目の数をbとすると、
8番目の数は、上の表から、8a+13b ・・・(答)
(2) a=15、b=2019 のとき、8番目の数を13で割ると、
  (8a+13b)/13
 =120/13+2019
 =2019+9 余り3 ・・・(答)
4.
 a=3 で、bの係数が13の倍数のとき、余りは一定になる。
 上の表から、
  8番目:(13b+24)/13=b+1 余り11
  9番目:(21b+39)/13 2桁の番目を調べる。
 10番目:(34b+63)/13
 11番目:(55b+102)/13
 12番目:(89b+165)/13
 13番目:(144b+267)/13
 14番目:(233b+432)/13
 15番目:(377b+699)/13=29b+53 余り10 (一定)
(答) ウ 15  エ 10

JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

規則性(表の数字2)

規則性を見つける5 目次 >

 表の数字から規則性を見つけ、問題を解いてみましょう。

練習
 下の表のように、長方形の紙に40行、5列のます目が書かれており、1行目の1列目から、1から自然数を小さい順に5個ずつ書 いていき、各行とも5列目にきたら、次の行の1列目に移り、続けて順番に自然散を書い ていきます。
 自然数を書いた後、長方形の紙の2つの縦の辺が重なるようにつなげて円筒にします。

1列目 2列目 3列目 4列目 5列目
1行目 1 2 3 4 5
2行目 6 7 8 9 10
3行日 11 12 13 14 15
40行目 196 197 198 199 200
 
 また、下の図は、円筒に書かれている自然数nと、その上下左右に書かれている4つの自然数a、b、c、dを抜き出したもので、4つの自然数a、b、c、dの和をxとします。
a
c n d
b
 このとき、次の1〜3の問いに答えてくださ い。ただし、nは6以上195以下の自然数とします。
1. n=7、n=15、n=76 のときのxの値を、それぞれ答えてください。
2. 次の(1)(2)の問いに答えてください。
(1) nが、表の2列目のます目にあるとき、xをnを用いて表してください。
(2) nが、表の1列目のます目にあるとき、xをnを用いて麦してください。
3. xの値が6の倍数になるような、nの値は何個あるか求めてください。
(新潟県高)

答 え












答 え
1.
 nとa,b,c,dの関係を調べ、xをnで表す。
 n=75 が5列目なので、n=76 は1列目にある。
a=2 10 71
c=6 n=7 d=8 14 15 11 80 76 77
b=12 20 81
nが2〜4列目
 a=n-5
 b=n+5
 c=n-1
 d=n+1
 x=4n
nが5列目
 a=n-5
 b=n+5
 c=n-1
 d=n-4
 x=4n-5
nが1列目
 a=n-5
 b=n+5
 c=n+4
 d=n+1
 x=4n+5
(答) n=7: x=4n=28
   n=15: x=4n-5=55
   n=76: x=4n+5=309
2.
 問1の解答から、
(1) x=4n  ・・・(答)
(2) x=4n+5 ・・・(答)

3.
 1列目は、x=4n+5=奇数 から、6の倍数はない。
 5列目は、x=4n-5=奇数 から、6の倍数はない。
 2〜4列目は、x=4n から、nが3の倍数ならば、xは6の倍数になる。
 6≦n≦195 であり、下表の2行目〜39行目に、xが6の倍数となるnが1個ずつある。
 よってnの個数は、
  39-2+1=38 (個) ・・・(答) 
1列目 2列目 3列目 4列目 5列目
1行目 1 2 3 4 5
2行目 6 7 8 9 10
3行日 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
39行目 191 192 193 194 195
40行目 196 197 198 199 200

JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink