中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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確率を求める 規則集5

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くじ引き
袋の中の色玉と同様に、くじを区別するため記号をつけて考える。

例: くじが6本あり、1等が1本、2等が2本、3等が3本ある。Aが1本引き、Bが1本引く。Aが1等か2等で、Bが3等を引く確率は?

 (A,B)の全ての並べ方は、Aが6通りでBが(6−1)通りから、
  N=6×(6−1)=30 (通り) 
 1等を ■嘉を↓、3等をきキ とすると、求める並べ方は、
  (,△,いイΑ法,ら、
  n=3×3=9 (通り)
 p=n/N=9/30=3/10 ・・・(答)

じゃんけん
2人が引き分けの場合: 2人が同じ手。
3人が引き分けの場合: 3人が同じ手か、別々の手。

例: A、B、C の3人でじゃんけんを1回する。3人が引き分けになる確率は?

 グーをG、チョキをT、パーをPとし、(A,B,C)の並べ方を考える。
 Aは3通りで、BもC も3通りなので、全ての並べ方は、
  N=3×3×3=27 (通り)
 3人が引き分けになる並べ方は、
  (G,G,G) か (G,T,P) か (G,P,T) 3通り
  (T,T,T) …  同様に3通り
  (P,P,P) …  同様に3通り
  n=3×3=9 (通り)
 p=n/N=9/27=1/3 ・・・(答)

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確率を求める 規則集4

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カードと偶数・奇数
2桁の偶数: 十の位が1〜9で、一の位が偶数(,2,4,6,8)
2数の和が偶数: 偶数+偶数 か 奇数+奇数
2数の和が奇数: 偶数+奇数

カードと2数の和
5枚のカードから次のように、3枚ひいてできる組合せNは、
 同時に2枚ひく。
  N=5×4×3/(3×2×1)
 1枚ひき、続けて1枚ひく。
  N=5×4×3/(3×2×1)
 分子: 5×4×3 は全ての並べ方。
 分母: ひいた3枚の並べ方で、この数で割ることによって、組合せNが求まる。
 例: (a,b,c) か (b,c,a ) か (c,a,b)の3通りの並べ方は、{a,b,c}の1組に対応する。

カードの組合せ
異なる文字個から個取り出すとき、文字列の組合せNは、
 N=文字列の並び/同じ組み合わせ
   =××4/(××1)=20 (通り)

例1: 4枚のカードから2枚ひいてできるカードの組合せNは?
 N=4×3/(2×1)=6

例2: 5枚のカードから2枚ひいてできるカードの組合せNは?
 N=5×4/(2×1)=10

例3: 7枚のカードから3枚ひいてできるカードの組合せNは?
 N=7××5/(3××1)=35

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確率を求める 規則集3

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玉の色
(規則)
並べ方: 5人から3人を選んで並べる。
 5×4×3 (通り)
組合せ: 5人から3人を選ぶ。
 5×4×3/(3×2×1) (通り)
 分母は、重複する並べ方 (3人1組の並べ方は、最初が3通り、次が2通り、残りが1通り)。

並べ方と組合せ
並べ方 組合せ
別表現 順列 取り出し方、選び方
操作 並べる 取り出す、選ぶ
違い  組に順序あり
場合の数 (1,2)(2,1) 2通り {1,2} 1通り
計算例 5人から3人選んで並べる
 5×4×3
@@5人から3人選ぶ@@
 5×4×3/(3×2×1)

袋から色玉を取り出す確率は、玉に記号をつけ、区別して考える。
例: 赤玉2個と白玉3個が入っている袋から、取り出した2つの玉が赤と白になる確率

解答1) 並べ方で解く
赤玉を´◆白玉をきイ箸垢襦
全ての並べ方は、一方は5通りで、他方は4通りから、
 N=5×4=20 (通り)
一方が赤で、他方が白の並べ方は、
 { きかいァ僉。魁滷押瓧 (通り) ← 前後の入替えから2倍
 {◆きかいァ僉。魁滷押瓧 (通り)
 n=6+6=12 (通り)
p=n/N=12/20=3/5 ・・・(答)

(解答2) 組合せで解く
全ての組合せは、全ての並べ方を重複する並べ方で割ると、
 N=5×4/(2×1)=10 (通り)
一方が赤で、他方が白の組合せは、
 { きかいァ僉。劃未
 {◆きかいァ僉。劃未
 n=3+3=6 (通り)
p=6/10=3/5 ・・・(答)

玉の数字
袋から2つの玉を取り出す方法
 A 同時に2個取り出す。
 B 1個取り出し、続けて1個取り出す。
 C 1個取り出し、もどしたあと、1個取り出す。

例: 1、3、5と書かれた3個の玉が入った袋から、A〜C の各方法で2個の玉を取り出すとき、2数の和が6以上になる確率

AとBの場合
全ての並べ方は、
 N=3×2=6 (通り)
和が6以上になる並べ方は、
 {1,5} 2通り
 {3,5} 2通り
 n=2+2=4 (通り)
p=n/N=4/6=2/3 ・・・(答)

C の場合
全ての並べ方は、
 N=3×3=9 (通り)
和が6以上になる並べ方は、
 {1,5} 2通り
 {3,5} 2通り
 (3,3) 1通り
 (5,5) 1通り
 n=2+2+1+1==6 (通り)
p=n/N=6/9=2/3 ・・・(答)

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確率を求める 規則集2

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さいころと倍数
4の倍数: 4,8,12,…
例: 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が4の倍数となる確率
 全ての並べ方は、N=6×6=36 (通り)
 和が4の倍数となるのは、4,8,12 から、並べ方は、
  {1,3} (2,2)      3通り
  {2,6} {3,5} (4,4) 5通り
  (6,6)           1通り
  n=3+5+1=8 (通り)
 p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)

さいころと約数
6の約数: 1,2,3,6  (6=1××3 なので)
例: 1個のさいころを1回投げるとき、6の約数が出る確率
 全ての場合は、N=6 (通り)
 6の約数は、1か2か3か6なので、n=4 (通り)
 p=n/N=4/6=2/3 ・・・(答)

さいころと素数
素数: 1とその数以外では割り切れない2以上の自然数
素数=2,3,5,7,11,13,17,19,23,…
例: 1個のさいころを1回投げるとき、素数が出る確率
 全ての場合は、N=6 (通り)
 1〜6のうち素数は、2か3か5なので、n=3 (通り)
 p=n/N=3/6=1/2 ・・・(答)

さいころと自然数
自然数: 正の整数(=1,2,3,…)。
整数と偶数: 0を含む。
自然数  1,2,3,…
素 数  2,3,5,7,11,…
整 数  0,±1,±2,±3,…
偶 数  0,±2,±4,…
奇 数  ±1,±3,±5,…

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確率を求める 規則集1

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場合の数と確率
確率: あることがらが起こる可能性の度合い。
規則
 確率 p=n/N
 n : 対象の場合の数   N: 全ての場合の数
(どの場合が起きることも同様に確からしいことが、計算の前提.)

参考)
 小文字の n はスモールエヌ(small n )、大文字の N はキャピタルエヌ(capital N )と読む。 n/Nは、「スモール n 割るN 」と読むと文字を区別できる。

例: 1個のさいころを1回投げたとき、2か3が出る確率
 全ての場合は、1〜6なので、N=6 (通り)
 2か3が出る場合は、n=2 (通り)
 確率は、p=n/N=2/6=1/3

場合の数は、並べ方と組合せによって異なる。
 並べ方には順序があるが、組合せには順序がない。

例: ´↓の玉から、1個取り出し、続けて1個取り出す。
 取り出した玉の並べ方を、(1回目,2回目)とすると、
  ( き◆ (◆き 法。可未
  (◆き) (,◆法。可未
  (,  ( き) 2通り
  合わせて、6通り
 取り出した玉の組合せは、
  { き◆僉。営未
  {◆き} 1通り
  {, 僉。営未
  合わせて、3通り

取り出した玉の2数のが4以上になる確率は?
(並べ方で解く)
 全ての並べ方は、最初が3通りで、次が2通りから、
  N=3×2=6 (通り)
 2個の和が偶数になる並べ方 (1回目,2回目) は、
  ( き) (, 法。可未
  (◆き) (,◆法。可未
  n=2+2=4 (通り)
 p=n/N=4/6=2/3 ・・・(答)
(組合せで解く)
 全ての並べ方を、組合せに直すと、2個が重複しているので、
 全ての組合せは、
  N=3×2/2=3 (通り)
 2個の和が4以上になる組合せは、
  { き} 1通り
  {◆き} 1通り
  n=1+1=2 (通り)
 p=n/N=2/3 ・・・(答)

規則
並べ方を、(1,2)(2,1) のように表す。
組合せを、{1,2} のように表す。
 {1,2}の並べ方は、(1,2)と(2,1)の2通り。
 {1,1}の並べ方は、(1,1)の1通り。

 {1,2,3}の並べ方は、
  (1,2,3) (1,3,2) 2通り
  (2,1,3) (2,3,1) 2通り
  (3,1,2) (3,2,1) 2通り
  合わせて、6通り ← (先頭の3通り)×(次の2通り)

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