中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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文章題4 規則集6

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文章題4−比率
 比、比率、割合について、いろいろな例を取り上げます。

線分比 … 三角形の重心Gは、中線を 2:1 に分ける点。
三角形の重心

面積比 … 相似比が m:n のとき、面積比は m2:n2
 △abc と △ABC の相似比が 1:2 のとき、
 △abc:△ABC=1:4
  相似比 

黄金比…美しく見える比率。
 黄金比は、1:(1+5)/2≒1:1.6
 高さ146mで、底辺230mのピラミッドでは、
 高さ:底辺≒1:1.6 から
 高さと底辺は黄金比になっている。

   ピラミッドと黄金比

全体に対する部分の割合
例: 合格率…受験者のうち、合格した人の割合。

問題
 中学までの算数・数学で、(部分の数量)/(全体の数量) で表される用語を3つ以上あげてください。

答 え











答 え
割引き、消費税率、濃度 (小学校)

相対度数 (中1)
相対度数=階級の度数/度数の合計
例:
 男子15人、女子20人の学級で試験があり、その結果を度数分布表にまとめました。80点以上の割合が大きいのは、男子ですか女子ですか。
階級 (点)
(以上~未満)
男子 女子
度数 (人) 相対度数 度数 (人) 相対度数
 0〜20 0 0 1 0.05
 20〜40 2 0.13 1 0.05
 40〜60 3 0.20 5 0.25
 60〜80 6 0.40 8 0.40
 80〜100 4 0.27 5 0.25
合 計 15 1.00 20 1.00
 80~100点の相対度数は、
 男子が、4/15=0.27
 女子が、5/20=0.25
(答) 男子     相対度数の計算

(相対)誤差 (中1)
誤差=近似値−真の値
相対誤差=誤差/真の値 の絶対値
例:
 華氏(°C)を摂氏(°F)に直す近似式
 近似値 F≒(F-30)/2
 真の値 C=(F-32)/1.8
 F=0 のとき、
  近似値=-15  
  真の値=-17.8
  誤差=2.8
  相対誤差=|2.8/(-17.8)|=|-0.16|=0.16
 F=100 のとき、
  近似値=35
  真の値=37.8
  誤差=-2.8
  相対誤差=|-2.8/37.8|=0.07
 よって、華氏が0°〜100°のとき、
 近似式の誤差は、±2.8°C
 相対誤差は、7%〜16%   文章題4 規則集1

確率 (中2)
確率=対象の場合の数/全ての場合の数
例:
 1個のさいころを投げて、素数の目が出る確率は?
 分母は、1〜6の6通り
 分子は、2、3、5 の3通り
 確率=3/6=1/2   さいころと素数

縮図 (中3)
縮尺5万分の1の地図で、8cmの距離は何km?
 8cm×50000=400000cm=4000m=4km
 地図上で人差し指と中指を開いた距離が8cmなので、平地なら1時間で歩ける距離になる。
   縮尺5万分の1地図    地図の縮尺

母集団の比率、標本の比率 (中3)
抽出
母集団
(全体)

標本
(一部)
 母集団の比率≒標本の比率
推定
例:
 池から魚を無作為に20匹捕獲し、そのすべてに印をつけて池に戻しました。その池から魚を無作為に20 匹捕獲したところ、印のついた魚が8匹いました。池の魚は何匹と推測されますか。

 池の魚を x 匹とする。
 印のついた魚について、母集団の比率=標本の比率 とすると、
  20/x=8/20
  8x=400
  x=50
(答) およそ 50匹    文章題3−標本調査

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文章題4 規則集5

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文章題4−速さ
速さ・時間・距離の関係
 一定の速さ×時間=距離
例 自転車に乗って時速12kmで10分走りました。何m走りましたか。
 12000(m/60分)×10(分)=2000 (m)

問題文を式に表す。
  家から学校までの道のりは1200 mです。最初のxrnを分速60mで歩き残りの道のりを分速120mで走りました家から学校までにかかった時間を、xを使った式で表してください
ぁ かかった時間を求める。
◆ 歩いた時間=x/60
´: 走った時間=(1200-x)/120
ぁ かかった時間は、
 x/60+(1200-x)/120=x/120+10 (分) ・・・(答)

文章題4−旅人算
問題文を図に表して解く。
  \分AB上に点Cがあり線分ACの長さは3cmlです。点Pは線分AB上を移動する点であり、点Qは線分CB上を移動する点です。
 EPは点Aを出発し、秒速5cmで点Bまで移動します。点Qは点Pが点Aを出発するのと同時に点Cを出発し、秒連4cmで点Bまで移動します。
 点P、点Qが同時に点Bに到着するとき、線分ABの長さは何cmですか
P 5cm/ @ @
A
C
B
3cm Q 4cm/
 AB=x (cm) とすると、CB=x-3
 PとQがBに着くまでの時間は等しいので、
  x/5=(x-3)/4
  4x=5(x-3)
  x=15 (cm) ・・・(答)

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文章題4 規則集4

文章題を解く4 >

文章題4−定価
販売用語の関係
 定価:前もって決めておいた値段。
 売り値:売るときの値段。
 値引きの売り値=定価(1−値引き率)
 売り値ー仕入れ値=利益

問題文を式に直して解く。
  ある商品を100個仕入れ利益が仕入れ値の3割となるように定価をつけましたが、D蟆舛2割引きで売ることにしました。い垢戮毒笋蠕擇辰燭箸海蹐2620 円の利益がありました。この商品の1個あたりの仕入れ値を求めてください
ァ 1個の仕入れ値をx円とする。
◆ 定価=(1+0.3)x=1.3x
: 売り値=定価(1-0.2)=0.8×定価
き  100(売り値-x)=2620
    100(0.8×1.3x-x)=2620
    100(1.04x-x)=2620
    4x=2620
    x=655 (円) ・・・(答)

文章題4−値引き
数量関係を不等式で表す。
  ある店では、すべての商品を定価の3割引で売っています定価がa円の商品を2つと定価がb円の商品を1つ買ったき、代金の合計は5000円より少なくなりました。このときの数量の関係を不等式で表してください。
  売り値=定価(1-0.3)=0.7×定価
◆ 定価aの売り値×2+定価bの売り値×1<5000
´◆А0.7a×2+0.7b×1<5000
     0.7(2a+b)<5000
     14a+7b<50000 ・・・(答)

文章題4−売上
問題文を表で整理する。
  ある店に、定価が1個108円の柿が120個、定価が1個54円のみかんが200個ありました。 
 それらを定価で売ったところ、1日で柿の方がみんよりも10個多く売れましたが、どちらも売れ残りました。
 翌日、売れ残った柿とみかんをそれぞれ定価の5割引きで売ったところ、すぺて売 り切れました。初日と2日目の売上の差は6750円で、初日の方が多い結果となりました。
このとき、初日に売れた柿とみかんの個数をそれぞれ求めてください

Α 初日に売れた柿の個数をx個、みかんをy個とする。
初日 翌日
値段 販売数 値段 販売数
108 x 54 120-x
みかん 54 y 27 200-y
他の条件  x-y=10
ァ―蘰売上-翌日売上=6750
: x-y=10
ァ 108x+54y-{54(120-x)+27(200-y)}=6750
イ魏鬚い董x,y を求める。

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文章題4 規則集3

文章題を解く4 >

文章題4−食品
yはxに反比例する式
例: 加熱時間yは、電子レンジの出力xに反比例する。
 xy=a (aは定数)

文章題4−分配
数量関係を不等式で表す。
例: 色紙を1人 x枚ずつ9人に配ったとき、配った色紙の枚数の合計は50枚より多い
下線部が より多いとき、 9x>50
より少ないとき、 9x<50
以上のとき、 9x≧50
以下のとき、 9x≦50

問題文を式に直して解く。
  箱に入っているみかんを、何人かの子どもに同じ数ずつ分けることにしました。1人6個ずつ分けると8個足りず1人5個ずつ分けると5個余りますみかんの個数と子どもの人数を求めてください
: みかんをx個、子どもをy人とする。
  6y=x+8
◆ 5y=xー5
´△魏鬚い董x,y を求める。

文章題4−販売
式で表す例:
 a個仕入れ、70%が売れ残った。 
  売れた数=a(1-0.7)=0.3a (個)
 定価b円の3割引きで20個売れた。
  売上=b(1-0.3)×20=14b (円)

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文章題4 規則集2

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文章題4−落下
yは、xの2乗に比例する式
例: 転がる距離yは、転がる時間xの2乗に比例する。
 y=ax2 (aは定数)

平均の速さは、変化の割合と同じ。
変化の割合=(y2-y1)/(x2-x1)

y=(3/2)x2 のグラフは放物線。
変化の割合は、放物線上の2点を結んだ直線の傾きなので、平均の速さとなる。

 文章題4−落下

文章題4−人数
問題文を式に直して解く。
  A中学校の生徒数は、男女あわせて365人です。そのうち、男子の80%と女子の60%が、運動部に所属しており、その人数は257人です。
 このとき、A中学校の男子の生徒数と女子の生徒数をそれぞれ求めてください

: 男子を x 人、女子を y 人とする。
 Аx+y=365
◆А0.8x+0.6y=257
´△魏鬚、x,y を求める。

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