中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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式の計算−規則集1

式の計算 >

式の計算 - たし算・ひき算
かっこの外(はず)し方
 同符合(同符合)=+
 異符合(異符合)=−@
例:
 +(+2)=+2
 −(−6)=+6
 −(+4)=−4
小さい数−大きい数=−(大きい数−小さい数)
例:
 3−8=−(8−3)=−5
 (−7)+3=3−7=−(7−3)=−4
負の数+負の数=負の数
例:
 (−4)+(−5)=−(4+5)=−9
 −2−4−6=−(2+4+6)=−12

式の計算 - かけ算・わり算
わり算は、逆数のかけ算と同じ
例:
 3÷(6/5)=3×(5/6)=5/2
 24÷3÷2=24×(1/3)×(1/2)=24/(3×2)=4
かけ算はたし算よりも先
 かけ算は、わり算を含む(逆数をかけるので)。
 たし算は、ひき算を含む(マイナスをたすので)。
例:
 1+2×3=1+(2×3)=1+6=7
 5+6÷2=5+(6÷2)=5+3=8
異なる符合のかけ算は 、 同じ符合のかけ算は
例:
 −(+5)=(−1)×(+5)=−5
 −2×(+4)==−2×4=−8
 −3×(−6)=18
 −8÷(−4/3)=−8×(−3/4)=6
分配法則 a(b+c)=ab+ac
例:
 −(−1/2+1/3)=(−1)×(−1/2+1/3)
 =1/2−1/3=1/6
 小さい数−大きい数=−(−小さい数+大きい数)
              =−(大きい数−小さい数)

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式の計算 - 根号3

式の計算 >

 乗法公式を使い、根号を含む式を計算してみましょう。

 乗法公式から、左辺を右辺に展開できることを確かめてください。
 (√ab)=a+2ab+b  和の平方
 (√a−√b)=a−2ab+b  差の平方
 (√ab)(√ab)=a−b
 和と差の積

 次の多項式のかけ算で、a、b、X、Y が根号を含んでいても、順にかけて式を展開することができます。
多項式の展開

例題1
 (3−25) を計算してください。
(三重県高)

 (3−25)  差の平方から、
=(3)−2(3)(25)+(25)
=3−415+20
=23−415 ・・・(答)

例題2
 (3+1)(3−3) を計算してください。
(香川県高)

 (3+1)(3−3)  順にかける。
=33−3+3−
=33−3+3−
=23  ・・・(答)

(別解) 和と差の積=2乗の差 を使う
 (3+1)(3−3)  (3−3) から3 をくくり出す。
=(3+1)3(3−1)
3(3+1)(3−1)  和と差の積から、
3(−1
=23  ・・・(答)

練習
 次の式を計算してください。
1.  (7+23)(7−23)
(東京都高)
2.  (2+3)8×15/
(愛媛県高)
3.  (11+6+5)(11−6−5)
(城北高)
4.  (2+1)−(2−1)
(慶應義塾高)
5.  (85−84+61−60−2×11×13)
(慶應義塾女子高)
答 え











答 え
1.  (7+23)(7−23)  和と差の積から、
=(7)−(23)
=7−12
5 ・・・(答)
2.  (2+3)8×15/5  差の平方、2項計算
=(2+26+3)−22×
=5+26−2
=5 ・・・(答) 
3.  (11+6+5)(11−6−5) 和と差の積に
={11+(6+5)}{(11−(6+5)}
=(11)6+5)
=11−(6+230+5)
=−230 ・・・(答)
4.  (2+1)−(2−1)  2乗の差にする。
={(2+1)−{(2−1)  (  ) を計算する。
=(2+22+1)−(2−22+1)
=(3+22)−(3−22)  和と差の積にする。
=6×(42)
=242 ・・・(答)
6.  (85−84+61−60−2×11×13) 和と差の積に
{(85+84)(85−84)+(61+60)(61−60)
 −2×11×13}
(169+121−2×11×13)
(13−2×13×11+11)  差の平方になる。
(13−11)
=2 ・・・(答)

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式の計算 - 根号2

式の計算 >

 分母に (根号)を含む式を計算してみましょう。

 分母から根号をなくすことを、分母の有理化といいます。有理化の例を2つ示すので確かめてください。
例1:
 2/3  分母と分子に√3 をかける。
=23/(3)  分母が 3 になる。
=23/3
例2:
 2/(5+3)  (5−3) をかける。
=2(5−3)/{(5+3)(5−3)} 分母が和と差の積
=2(5−3)/{(5)−(3)} =2乗の差
=2(5−3)/2
5−

(参考) 有理化の意味
 中学で習う数には、有理数と無理数があります。根号のついた分母の無理数を、整数の有理数にするので、有理化といいます。
 有理数 (rational number: 理路整然とした数)は、整数や分数で表すことができる数です。
  2
  0.5=1/2
  0.3333…=1/3
  0.121212…=4/33
 無理数(irrational number: 理路整然としていない数)は、分数で表せない数で、2 や
πのように、循環しない小数が無限に続く数です。
  2=1.41421356…
  π=3.1415926535…


 根号内が小数の式は分数にして計算します。
例; 1/√3+√0.666… 
 第2項を分数にする。
   a=0.666… とし、両辺を10倍する。
 10a=6.666… 2式の差をとる。
  9a=6  a=2/3
 よって、
 1/√3+√0.666…
=1/√3+√2/√3
=(1+√2)/√3  分母を有理化する。
=√3(1+√2)/3
=(√3+√6)/3

例題
 18/2−98 を計算してください。
(神奈川県高)

 18/2−98  分母を有理化する。
=182/2−98  根号内を最小化する。
=92−(49×2)
=92−7
=22 ・・・(答)

練習
 次の式を計算してください。
1.  3/5+20/5
(愛知県高)
2.  63+2/7−28
(京都府高)
3.  3/8+14×(7)/3−3
(東京電機大高)
4.  12/4−2/6−48/6+2/
(都立国分寺高)
5.  (2×3×4×5×6)
÷(7×8×9×10)
(明治学院高)
答 え











答 え
1.  3/5+20/5  分母を有理化、根号内を最小化
=35/5+25/5
=55/5
5 ・・・(答)
2.  63+2/7−28  根号内を最小化、分母を有理化
=37+27/7−2
7+27/7  7 で通分
=97/7 ・・・(答) 
3.  3/8+14×(7)/3−32 第1項、第2項を計算
=38/8+72/3−3
=62/8+72/3−3
=32/4+72/3−32  12 で通分
=(92+282−362)/12
2/12 ・・・(答)
4.  12/4−2/6−48/6+2/3 最小化、有理化
=23/4−26/6−43/6+6/3  約分
3/2−6/3−23/3+6/3
3/2−23/3  6で通分
=(33−43)/6
=−3/6 ・・・(答)
6.  (2×3×4×5×6)
÷(7×8×9×10)  根号内を最小化
分子=2×3×2×5×
   =6×2×5×
   =12
分母=7×22×3×10
   =62×7×10
与式=125/(62×7×10)  √5 で約分
   =2/(2×7×2)
   =1/
   =7/7 ・・・(答)

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式の計算 - 根号1

式の計算 >

  (根号)を含む式を計算してみましょう。はじめに、根号内の最小化、加減乗除の計算方法を確認します。

 次のように、根号の計算をすることができます。なお、a は 「ルート a 」 と読みます。
 (a)(a)=a  根号の2乗
 √(ab)=a√b   根号内の最小化
 2a+3a−a=4a   たし算・ひき算
 √×√b(ab)  かけ算
 √/√b(a/b)  わり算
 1/a=a/(×√a)=a/a@  分母の有理化 (注)@

(注) 分母の有理化は、分母から根号をなくすことです。この例では、分母と分子に a をかけることによって、分母から根号をなくしています。

例題1
 50−72 を計算してください。
(富山県高)

 50−72
(25×2)−36×2)  根号内を最小化する。
=52−62  ひき算する。
=−2 ・・・(答)

例題
 27−6/3 を計算してください。
(秋田県高)

 27−6/3  根号内を最小化する。
(9×3)−6/
=33−6/3  分母を有理化する。
=33−63/(3)
=33−63/3
=33−2
3 ・・・(答)

練習
 次の式を計算してください。
1.  27−12
(鳥取県高)
2.  8+18−6
(新潟県高)
3.  60÷5+27
(鹿児島県高)
4.  −327+60×25−
(広島大附属高 平野)
5.  12(75−227+48)
(江戸川学園取手高)
答 え











答 え
1.   27−12  根号内を最小化する。
(9×3)−(4×3)
=33−2
3 ・・・(答)
2.  8+18−62  根号内を最小化する。
(4×2)+(9×2)−6
=22+32−6
=−2 ・・・(答) 
3.  60÷5+27  わり算する。
(60/5)+27
12+27  根号内を最小化する。
(4×3)+(9×3)
=23+3
=53 ・・・(答)
4.  −327+60×25−5  根号内を最小化する。
=−3(9×3)+60×25−5  かけ算する。
=−93+2(60×5)−5  根号内を最小化する。
=−93+2(100×3)−
=−93+203−5  同類項をまとめる。
=113−5 ・・・(答)
6.  12(75−227+48)  根号内を最小化する。
=23(53−63+43)  たし算する。
=23×3
=6×3
=18 ・・・(答)

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式の計算 - 多項式2

式の計算 >

 乗法公式を使って、多項式を計算してみましょう。

 次の乗法公式により、多項式の積を和の形に展開できます。展開は、まとまったものを広げることです。
 (x±a)=x±2ax+a  平方の公式
 (x+a)(x−a)=x−a
 和と差の積の公式
 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab@  (x+a)(x+b)の公式
 ±は、「プラスマイナス」と読み、次の2つの式を表しています。
  (x+a)=x+2ax+a
  (x−a)=x−2ax+a

(参考1) 平方の公式を導く。
 (x+a)  x+a=A と置く。
=(x+a)A  分配法則から、
=xA+aA  Aを戻す。
=x(x+a)+a(x+a)
=x+ax+ax+a
=x+2ax+a
 同様に、(x−a)=x−2ax+a

(参考2) 和と差の積の公式を導く。
 (x+a)(x−a)  x+a=A と置く。
=A(x−a)  分配法則から、
=Ax−Aa  Aを戻す。
=(x+a)x−(x+a)a  分配法則から、
=x+ax−ax−a
=x−a

例題1
 ()(X+Y)=X+Y+X+Y を導いてください。

  ()(X+Y)  X+Y=Z と置く。
=(a+b)Z  分配法則から、
=aZ+bZ  Zを戻す。
=a(X+Y)+b(X+Y)  分配法則から、
X+Y+X+

(参考) かけ方を覚える。
 2項×2項 は 4項になる。例題2は、a をXとYにかけ、b をXとYにかけている。
多項式の展開
 乗法公式の (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab も同様に導くことができる。

例題
 (x−4)−(x+2)(x+3) を計算してください。
(愛媛県高)

 (x−4)−(x+2)(x+3)  乗法公式の,鉢から、
=(x−8x+16)−(x+5x+6)  同類項をまとめる。
=−13x+10 ・・・(答)

練習
 次の式を計算してください。
1.  (x+5)(x−4) を展開してください。
(徳島県高)
2.  9x−(3x−1)
(熊本県高)
3.  (2a+1)−(a+3)(a−3)
(和歌山県高)
4.  (2x−3)(x+2)−(x−2)(x+3)
(愛知県高)
5.  2022×2016−2019×2018
(大阪教育大附属高 池田)
答 え











答 え
1.  (x+5)(x−4) 乗法公式から、
=x+(5−4)x+5×(−4)
=x+x−20 ・・・(答)
2.  9x−(3x−1)  乗法公式,ら、
=9x−(9x−6x+1)
=6x−1 ・・・(答)
(別解)
 9x−(3x−1)
=(3x)−(3x−1)   2乗の差=和と差の積 から
=(3x+3x−1)(3x−3x+1)
=6x−1 ・・・(答) 
3.  (2a+1)−(a+3)(a−3)  ´△ら、
=(4a+4a+1)−(a−9)
=3a+4a+10 ・・・(答)
4.  (2x−3)(x+2)−(x−2)(x+3)  第1項を順にかける。
=(2x+4x−3x−6)−(x−2)(x+3)  第2項はから、
=(2x+x−6)−(x+x−6)
=x ・・・(答)
6.  2022×2016−2019×2018  例えば、2020=と置く。
=(a+2)(a−4)−(a−1)(a−2)
=(a−2a−8)−(a−3a+2)
=a−10  を戻す。
=2010 ・・・(答)

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