中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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式の値−まとめ1

式の計算 >

式の値−値を代入
 次の式の値を求めてください。
1.  x=2、 y=−3 のとき、2(x−3y)−(3x−5y)
2.  a=1/8 のとき、(2a−5)−4a(a−3)
3.  x=3+1、y=3−1 のとき、xy+x
4.  x/2=y/3=z/4 のとき、
 (x+y+z)/(xy+yz+zx)
5.  a=4+32 b=4−32 c=−4 のとき、
 (−2abc)÷(b/2a)

答 え

式の値−条件式を変形
 式の値を求めてください。
1. a=7−3 のとき、a+6a+6
2. x=(3−1)/2 のとき、2x+2x+1
3. x=1+3 のとき、x+3x+2
4. x=(−1+5)/2 のとき、4x+ 4x−2x−1
5. +2xy+y=10、x−y=2 のとき、xy

答 え

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式の値−規則集4

式の値 >

式の値−整数と小数部分
平方根の整数部分と小数部分を、平方数(1、4、9、…)の不等式から求める。
例1: 5 の小数部分
 4<<9 から、
 2<5<3  5 は2と3の間の数なので、
 5=2.…
 小数部分…は、5−2

 平方根の値 

例2: 2√6 の整数部分
 16<(26)=24<25 から、
 4<26<5
 26=4.…
 小数部分は、26−4

(参考) 6 からの不等式の変形
 4<√6<
 2<√6<3 2倍する。
 4<2√6<6
 2√6 の整数部分は4か5なので、特定できない。

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式の値−規則集3

式の値 >

式の値−因数分解を利用
因数分解の方法
 共通因数をくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

式の値−方程式から
連立方程式から式の値を求める
 (x+y)=x+2xy+y
 (x−y)
=x−2xy+y
例: x+y=7、x−y=5 のとき、xy の値

 各式を2乗する。
 x+2xy+y=7
 x−2xy+y=5  2式の差をとる。
 4xy=2
 xy=1/2

2次方程式から式の値を求める
 2次方程式の解が a、b のとき、(x−a)(x−b)=0
例: x−x−3=0 の解を a、b (a>b) とするとき、a−b の値

 2次方程式の解が a、b なので、
 x−x−3=(x−a)(x−b)=x−(a+b)x+ab
 係数を比較すると、
 a+b=1 ab=−3
 求める式は、
 (a−b)=(a+b)−4ab=1+12=13
 a>b から、a−b=13 

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式の値−規則集2

式の値 >

式の値−条件式を変形
条件式が根号を含むとき、整数の式に直して式の値を求める。
例: x=5−2 のとき、x+4x+5 の値

 x=5−2  右辺を5 にする。
 x+2=5  両辺を2乗する。
 x+4x+4=5
 x+4x=1
 求める式は、
 x+4x+5=1+5=6

平方公式を利用して、式の値を求める。
例: x+2xy+y=10、x−y=2 のとき、xy の値

 x+2xy+y=(x−y)+4xy=10
 x−y=2 から、
 2+4xy=10
 4xy=6
 xy=3/2

式の値−対称式から
対称式: x+y や xy で表すことができる式で、x と y を交換できる。
例:  x+y=y+x  xy=yx
 1/x+1/y=(x+y)/xy
 x+xy+y=(x+y)−xy
 (a−b)=a−2ab+b=(a+b)−4ab

x+y、xy の値から、式の値を求める。
例: x+y=7、x−y=5 のとき、(1)〜(2)の値
(1) xy
(2) 1/x+1/y
(3)  y/x+x/y

(1) 条件式をそれぞれ2乗する。
 x+2xy+y=7
 x−2xy+y=5  2式の差をとる。
  4xy=2  xy=1/2
(2) 求める式を変形する。
 1/x+1/y
=(x+y)/xy  x+y=7、xy=1/2 から、
=27 ・・・(答)
(3) 求める式を変形する。
 y/x+x/y
=(x+y)/xy
={(x+y)−2xy}/xy
=(x+y)/xy−2  x+y=7、xy=1/2 から、
=7×2−2=12

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式の値−規則集1

式の値 >

式の値−問題の型
式の値を求める: 条件から式を計算し、数値で示す。

式の値を求める問題には、いくつかの型がある。
問題 条件 値を求める式
 値を代入  x=3 y=−2  4xy×y/2
 条件式を変形  x=5-2  x+4x+5
 対称式から  x=6+2 y=6−2  xy+xy
 因数分解を利用@  x=5+2  y=5−:  x−y
 方程式から  x−x−3=0 x=a,b (a>b):  a−b
 整数・小数部分  17 の小数部分が a@  (a+1)(a+7):

式の値−値を代入
累乗の計算、乗法公式などで、式を簡単にして値を代入する。
累乗の計算
 かけ算  a=a2+3=a         たす
 わり算  a/a=a5−3=a       ひく
 累乗の累乗@  (a=a2×3=a        かける
 (2a)=2=8a      くばる
 (4a=4(a=64a  くばる・かける
 0乗  a=1
 マイナス乗  a−2=1/a
 偶数乗   (−1)偶数=1
 奇数乗  (−1)奇数=−1

例: a=3/2、b=−1/3 のとき、−3a×(−2b)÷6ab の値
 −3a×(−2b)÷6ab
=−3a×4b÷6ab  数字どうし、文字どうしで計算する。
=(−3×4/6)a2−12−1
=−2ab  a、b の値を代入する。
=−2×(3/2)×(−1/3)=1

乗法公式 : かけ算の式を、たし算にする。
 平方公式  (x+a)=x+2ax+a
 (x−a)=x−2ax+a
 和と差の積  (x+a)(x−a)=x−a
 ()(  (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab@
 )(
 多項式の展開

例: x=√2 のとき、
(2x+3)−(2x+3)(2x−3)+(x−2)(x−3) の値
 (2x+3)−(2x+3)(2x−3)+(x−2)(x−3)
=(4x+12x+9)−(4x−9)+(x−5x+6)
=(4−4+1)x+(12−5)x+(9+9+6)
=x+7x+15  x の値を代入する。
=2+7√2+24
=26+7√2

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