中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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2次関数−方程式の解

 2次方程式の解と、2次関数のグラフの関係を調べてみましょう。

 はじめに、1次方程式 x−2=0 を考えます。
  x−2=0 の両辺を y とすると、
  y=x−2 ・・・
  y=0    ・・・
 ,錬閏ヾ愎瑤如↓△ x 軸です。
 ,鉢△慮鯏世蓮◆複押ぃ亜
 交点の x 座標が1次方程式のです(左の図)。

 2次関数_解との関係

 2次方程式 x−x−2=0 の両辺を y とすると、
  y=x−x−2 ・・・
  y=0       ・・・
 ,錬下ヾ愎瑤如◆。=(x+1)(x−2) なので、
 ´△慮鯏世蓮◆福檻院ぃ亜法◆複押ぃ亜
  交点の x 座標が2次方程式の解です(右の図)。

 中学で学習する2次関数は、y=ax なので、
 2次方程式 x−x−2=0 を変形し、x=x+2 とします。
  y=x   ・・・
  y=x+2 ・・・
 ´△慮鯏世 x 座標が2次方程式の解です(次の図)。

   2次関数_解との関係2

問題
1. 2次関数 y=x と y=x−2x+1 について、x 軸との交点をそれぞれ答えてください。

2. 2次関数 y=x−2x−5 について、次の問いに答えてください。
(1)  x 軸との交点を求めてください。
(2) この2次関数のグラフは上に開く放物線となります。軸は、(1)で求めた2つの交点の中点を通り、y 軸に平行です。小さい方の解を a 、大きい方の解を b とするとき、x の変域が a≦x≦b のとき、y の変域を求めてください。

3. 1次関数 y=ax+b と、2次関数 y=x の交点の x 座標が2と3のとき、a 、b を求めてください。

答 え












答 え
1.
 左の図: y=x と y=0 から、x=0 
 交点は(0,0) ・・・(答)
 右の図:
  y=x−2x+1=(x−1) と y=0 から、
  x=1
  交点は、(1,0) ・・・(答)

 2次関数_解との関係_練習1
2.
(1)
 y=y=x−2x−5 と y=0 から、
  x−2x−5=0
  x−2x+1=5+1
  (x−1)=6
  x=1±
(答) (1−6,0) (1+6,0)

(2)
 放物線の軸は、
 x={(1−6)+(1+6)}/2=1
 x=1 のとき、y=x−2x−5=−6
 上に開く放物線なので、
 y の変域は、−6≦y≦0 ・・・(答)

   2次関数_解との関係_練習2
3.
 y=x=ax+b から、
  x−ax−b=0
 x=2,3 から、
  x−ax−b=(x−2)(x−3)
          =x−5x+6
  係数を比較すると、
   a=5  b=−6 ・・・(答)


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2次関数−変域

 1次関数、分数関数、2次関数の変域を確認し、問題を解いてみましょう。

 関数の変数がとりうる値の範囲を変域といいます。1次関数(直線)、分数関数(双曲線)、2次関数(放物線)について、変域を確かめましょう。

各関数の変域

例1: 直線の変域
 y=x+1 では、x の変域と y の変域が1対1に対応する。
 1≦x≦3 のとき、y の変域は、2≦y≦4

例2: 双曲線の変域
 y=4/x では、x の変域と y の変域が1対1に対応する。
 2≦x≦4 のとき、y の変域は、1≦y≦2

例3 :放物線の変域
 y=x では、x の変域と y の変域が1対1に対応するとは限らない。
 −1≦x≦2 のとき、y の変域は、≦y≦4

問題
1. 関数 y=2x/3 について、x の変域が −6≦x≦3 のとき、y の変域を求めてください。
(日大第三高)


2. 関数 y=ax のグラフについて、次の問いに答えてください。
(1) x の値が2から4まで増加するときの変化の割合が3です。このとき、a の値を求めてください。
(2) x の変域が −2≦x≦3 のとき、y の変域は 0≦y≦18 です。このとき、a の値を求めてください。
(富山県高)


3. 2次関数 y=ax について、x の変域が −1≦x≦2 のとき、y の変域が b≦y≦b+1 となりました。このような a,b の組をを求めてください。
(ラ・サール高)

答 え












答 え
1.
 y=2x/3 は上に開く放物線で、頂点は(0,0)である。
 x=−6 のとき、y=24
 x=3 のとき、y=6 から、
 y の変域は、0≦y≦24 ・・・(答)

2.
(1)
 (4a−2a)/(4−2)=3
 (4+2)(4−2)a/(4−2)=3
 (4+2)a=3
 a=1/2 ・・・(答)

(2)
 0≦y≦18 から、上に開く放物線である。
 −2≦x≦3 から、x=3 のとき、y=18 となる。
 y=ax に代入すると、
 18=9a
 a=2 ・・・(答)

3.
a>0 のとき、上に開く放物線となる。
 −1≦x≦2 と b≦y≦b+1 から、
 x=2 のとき、y=b+1
 y=ax に代入すると、
 b+1=4a
 x=0 のとき、y=0=b
 0+1=4a から、a=1/4
a<0 のとき、下に開く放物線となる。
 x=2 のとき、y=b
 y=ax に代入すると、
 b=4a
 x=0 のとき、y=0=b+1  b=−1
 −1=4a から、a=−1/4
´△ら、
(a,b)=(1/4,0),(−1/4,−1) ・・・(答)

   2次I関数の変域の解答


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2次関数−変化の割合

 2次関数 y=ax について変化の割合を確認し、問題を解いてみましょう。

変化の割合は2点間の傾きを表す。
 グラフ上の点が(x,y)から(x,y)に増加するとき、
 変化の割合=y の増加量/x の増加量 から、
         =(y−y)/(x−x
 右辺は、2点間の傾きを表しています。

   変化の割合の定義

例題
 2次関数 y=ax で、x が x から x まで変化するとき、変化の割合を求めてください。

   2次関数の変化の割合

 変化の割合
=y の増加量/x の増加量
=(ax−ax)/(x−x)  2乗の差=和と差の積 から、
=a(x+x)(x−x)/(x−x)  約分すると、
=a(x+x) ・・・(答)

問題
1. 1次関数 y=3x+1 と、2次関数 y=x について、次の問いに答えてください。
(1) y=3x+1 の変化の割合を求めてください。
(2) y=x について、x が0から1に変化する場合、1から2に変化する場合、2から3に変化する場合のうち、変化の割合が y=3x+1 の変化の割合と等しくなる場合を答えてください。

2. 関数 y=x/2 について、x の値が a から a+4 まで変化するときの変化の割合は5です。 a の値を求めてください。
(法政大高)

答 え











答 え
1.
(1)
 変化の割合は、 y の増加量/x の増加量 から、
 直線 y=3x+1 の傾きになる。
(答) 3
(別解)
 y=3x+1 で、x=a から x=b に変化すると、
 変化の割合
={(3b+1)−(3a+1)}/(b−a)
=3(b−a)/(b−a)=3 ・・・(答)

(2)
  y=x で、x=a から x=b に変化すると、
 変化の割合
=(b−a)/(b−a)=a+b なので、
 0から1に変化: a+b=1
 1から2に変化: a+b=3 (等しい)
 2から3に変化: a+b=5
(答) x が1から2に変化する場合

  2次関数の変化の割合解答1

2.
  y=x/2 で、x が p から q に変化するとき、
 変化の割合
=(q/2−p/2)/(q−p)
=(p+q)/2
 p=a、q=a+4、変化の割合=5 から、
 {a+(a+4)}/2=5
 2a+4=10
 a=3 ・・・(答)


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2次関数−現象

 2次関数で表される現象を確認し、問題を解いてみましょう。

 半径 x cm の円の面積を y cm とすると、 y=π となり、y は x の2次関数です。2次関数の例を表に示します。
現象 条件 数式
@1. 落下距離@  落下時間が 秒 のとき、
 落下距離  
 y=4.9
@2. 制動距離  車の速さが時速 km のとき、
 ブレーキが効き始めてから車が
 止まるまでに進む距離 y m
 y=ax
@3. 風圧  風速が m/秒 のとき、
 風圧パスカル (注)
 y=ax
@4. 電力  電流が アンペア、抵抗が
 オーム のとき、電力 ワット
 y=ax
@5. 面積  半径が cm のとき、
 球の表面積 cm
 y=π
(心配かける二女)
@6. 規則性  操作が 回目 のとき、
 タイルの枚数 y=1,4,9, …
 y=x
@7. 対角線  正多角形の辺の数が のとき、
 対角線の数
 y=x−3@
         
@(注) パスカルは、気圧の単位(ヘクトパスカル)で知られている。

問題
1.  ボールが自然に落ちるとき、落下距離 y m は、落下時間 x 秒 の2乗に比例します。測定すると、2秒後に19.6m 落下しました。
(1) x と y の関係を式で表してください。
(2) 10m の高さからボールが落ちるとき、地上に着くのは何秒後ですか。

   2次関数の現象_落下

2. リーグ戦で試合をします。 参加チーム数は x です。
(1) 試合数 y を x の式で表してください。
(2) 試合数が15のとき、チーム数を求めてください。

答 え











答 え
1.
(1)
 関係式を y=ax として、a を求める。
 x=2 のとき、y=19.6 なので、
 19.6=4a から、a=4.9
 よって、y=4.9x ・・・(答)

(2)
 10=4.9x
 x=100/49
 x≧0 から、x=10/7 (秒後) ・・・(答)

2.
(1)
 試合数 y は、マス目の総数 x から斜めのマスの数 x を引き、2で割ったものなので、
 y=(x−x)/2=x(x−1)/2 ・・・(答)
(2)
 15=(x−x)/2
 x−x−30=0  因数分解すると、
 (x+5)(x−6)=0
 x>0 から、x=6 (チーム) ・・・(答)


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2次関数−グラフ

 関数 y=ax のグラフについて学習します。

y=ax のグラフは放物線
 2次関数 y=ax (a0) のグラフを放物線といいます。放物線は、y 軸について対称です。原点(0,0)と接しているところを頂点といいます。

  放物線の基礎知識

 a>0 のとき、グラフは上に開き、頂点の y 座標が最小値です。
 a<0 のとき、グラフは下に開き、頂点の y 座標が最大値です(左の図)。
 係数 a の値が大きいほど、グラフは細長くなります(右の図)。

問題
1. 関数 y=ax のグラフの特徴として適切なものを、次のア〜オからすべて選んでください。
 原点を通る。
 x 軸について対称な曲線である。
 a>0 のときは上に開き、x 軸より下側にはない。
 a<0 のとき、x の値が増加すると、x>0 の範囲では、y の値は減少する。
 a の値の絶対値が大きいほど、グラフの開きは大きい。
(奈良県高)


2. 次のア〜エの表から、 x と y の関係式、関数名、ブラフの図形名を答えてください。
10
12
16
12

解答欄
関係式 関数名 図形名
     @@
   
   @@
   @@
(愛媛県高 名称追加)

答 え











答 え
1. ア、ウ、エ
 原点を通る。
 x 軸について対称な曲線でない
 a>0 のときは上に開き、x 軸より下側にはない。
 a<0 のとき、x の値が増加すると、x>0 の範囲では、y の値は減少する。
 a の値の絶対値(=正負の符号を取った値)が大きいほど、グラフの開きは小さい

2.
関係式 関数名 図形名
 y=−x+10@  1次関数  直線
 y=12/x  分数関数@  双曲線@
 y=x  2次関数  放物線
 y=3x  1次関数  直線
(考え方)
ア y は、10から1ずつ減っているので、y=10−x
イ xy=12 から、y=12/x
ウ y は、x の2乗になっている。
エ y は、3の2倍、3倍、4倍と、3の x 倍になっている。


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