中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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関数 規則集4

関数 目次 >

関数_速さの変化
変化の割合は、時刻x1〜x2の平均の速さを表す。
関数 y=ax+b では、aが一定のとき、平均の速さも一定。
関数 y=ax2 では、区間 x1〜x2 によって変化の割合は異なる。時点が x1=x2=x のとき、瞬間の速さは 2ax になる。
 平均の速さ=a(x2-x1)2/(x2-x1)=a(x1+x2)
 瞬間の速さ=a(x+x)=2ax

等速と加速の違い
関数例 事例 平均の速さ
時刻 x1〜x2
瞬間の速さ
時点 x
1=x2=x
等速  y=ax 等速走行 変化の割合
=a(一定)
a(一定)
加速  y=ax2 球の落下 変化の割合
=a(x1+x2)
x1〜x2の傾き
2ax
xでの接線
の傾き

y=x2 で、xがx1からx2
増加するとき、
変化の割合 R=x1+x2
0≦x≦1:R=0+1=1
1≦x≦2:R=1+2=3
2≦x≦3:R=2+3=5

練習
 次の説明を読み、xとyの関係を式で表してください。
1. 平均の時速4劼2時間歩き、そこから自転車に乗って平均の時速12劼膿覆鵑澄J發始めてからx時間後の進んだ距離をykmとする。
2. ボールが落下すると、x秒後のボールの落下距離は 4.9x2m となる、10mの高さからボールが落下すると、x秒後のボールの高さをymとする。
3. 時速x劼覗る車の停止距離ymは、空走距離(7/20)xと、制動距離(3/400)x2 の和になる。
4. 車が時速60劼x分走ったときの距離をykmとする。
5. 列車が走り出し、x秒後にym進むとき、
0≦x≦20 では、y=x2/2 で進み、
20≦x では、一定の速さになった。

答 え










答 え
グラフ
1. x≦2 のとき y=4x
x≧2 のとき、y=4×2+12(x-2)=12x-16
E
2. y=10-4.9x2 C
3. y=(7/20)x+(3/400)x2 D
4. 時速60km=分速1 から、y=x B
5. 0≦x≦20 では、y=x2/2 で進み、
20≦x では、一定の速さになった。
x=20 での瞬間の速さを求める。
0≦x≦20 のとき、x1〜x2では、
 平均の速さ=(x22/2-x12/2)/(x2-x1)
      =(x1+x2)/2
 瞬間の速さ=(x+x)/2=x
 x=20 のとき、瞬間の速さ=20
20≦x では、一定の速さなので、
y=20x+b とおける。
x=20 のとき、y==x2/2=200 から、
200=20×20+b b=-200
(答) 0≦x≦20 のとき、y=x2/2
   20≦x のとき、y=20x-200
A

A B
関数_速さ_列車.gif 関数_速さ_等速自動車.gif
C D
関数_速さ_落下.gif 関数_速さ_ブレーキ.gif
E
関数_速さ_徒歩自転車.gif

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関数 規則集3

関数 目次 >

関数_方程式のグラフ
 1次方程式 ax+b=0 の解は、y=左辺 と y=右辺 の交点のx座標になる。2次方程式 ax2+bx+c=0 の解も同様。

例1:2x-3=0
 移項すると、2x=3 から、解xは、,△慮鯏世x座標。
y=2x-3 y=0 (直線とx軸)
y=2x y=3 (直線とx軸に平行な直線)
関数_直線の交点.gif

例2:x-1-2/x=0
 移項すると、2/x=x-1
 xをかけると、x2=x+2
 移項すると、x2-x-2=0
よって、解xは、 銑い慮鯏世x座標。
y=x-1-2/x y=0 (曲線とx軸)
y=2/x y=x-1 (双曲線と直線)
y=x2 y=x+2 (放物線と直線)
y=x2-x-2 y=0 (放物線とx軸)
関数_グラフの交点4図.gif

 方程式 2x-3=0 を解くことは、y=2x-3 と y=0 の交点のx座標を求めることと同じで、x-1-2/x=0 を解くことは、y=x2-x-2 と y=0 の交点のx座標を求めることと同じになる。
 2x-3=0
  2x=3 x=3/2
 x2-x-2=0
  (x+1)(x-2)=0 x=-1,2

関数_変化の割合
 変化の割合は、関数上の2点間の傾きを表す。
 (x1,y1)から(x2,y2)に増加したとき、
 変化の割合=yの増加量/xの増加量=(y2-y1)/(x2-x1)
  変化の割合の定義

例1: 関数 y=ax+b で、xの値がx1からx2に増加したとき、
 変化の割合={(ax2+b)-(ax1+b)}/(x2-x1)
      =a(x2-x1)/(x2-x1)
      =a (直線の傾き)

例2: 関数 y=ax2 で、xの値がx1からx2に増加したとき、
 変化の割合=(ax22-ax12)/(x2-x1) 和と差の積 にする。
      =a(x2+x1)(x2-x1)/(x2-x1)
      =a(x1+x2)
   放物線の変化の割合
 放物線のグラフで、x1=x2=x とすると、2点間の直線は、xで放物線の接線になる。

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関数 規則集2

関数 目次 >

関数_変域
変域:関数の変数がとりうる値の範囲。
xの変域とyの変域がある。
xの変域を定義域、yの変域を値域ともいう。
例:
1次関数 y=x+1 は、xの変域が -1≦x≦2 のとき、
yの変域は 0≦y≦3
2次関数 y=-x2 は、xの変域が -1≦x≦2 のとき、
yの変域は -4≦y≦0
関数_変域例.gif

関数_グラフの交点
点の座標(p,q)が、関数のグラフ上にあるとき、(p,q)を関数の式に代入できる。
例:
 y=-6/x で、x=-3 のとき、y=2
 x=2 のとき、y=-3

2つの関数が点(p,q)で交わるとき、(p,q)を2つの関数の式に代入できる。
例:
 y=ax2 と y=ax+b の交点の座標が(2,4)のとき、
(1) aとbの値を求める。
(2) もう1つの交点を求める。

(1) (2,4) を2式に代入する。
 4=4a a=1
 4=2a+b b=4-2a=2
 (答) a=1, b=2
(2) 2式から交点を求める。
 y=x2 y=x+2 から、
 x2=x+2
 x2-x-2=0
 (x+1)(x-2)=0
 x=-1,2
 x=-1 のとき、y=x2=1
 (答) (-1,1)
関数_双曲線_放物線と直線の交点.gif

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関数 規則集1

関数 目次 >

関数_いろいろな形
関数:xの値が決まるとyの値が1つに決まる式。
y=2x で、yはxの関数であるという。
例:
時速4劼x時間歩いた距離y
 y=4x (関数)
xが自然数で、yが倍数
 y=2x,3x,5x,… (関数でない)
関数の例
関数 特徴
比例 y=ax  1次関数で、b=0 の場合 直線
反比例 y=a/x  xy=a (一定) となる。x≠0 双曲線
1次関数 y=ax+b  y=ax を +b したもの。 直線
2次関数 y=ax2  y=ax2+bx+c で、b=c=0 の場合。 放物線

関数_y=x 関数_1次関数
関数_反比例 関数_2次関数

関数_学習の範囲
次の説明は、比例、反比例、1次関数、2次関数のどれですか。
100円の商品を消費税10%でx個買ったときの消費税分の金額y円
球の半径がxで、表面積がy
8%の食塩水xgに、食塩20gを加えたときの食塩の量yg
三角形の高さがxで、面積が50のときの底辺y
答 え










答 え
比例 y=10x
2次関数 y=4πx2 (4πr2:心配ある次女)
1次関数 y=0.08x+20
反比例 y=100/x

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関数_正しい説明

関数 目次 >

 比例、反比例、1次関数、2次関数について、基本事項を練習問題で確認しましょう。

練習
1.  1枚agの封筒に、1枚bgの便せんを5枚人れて重 さをはかったところ、60gより重かった。
 この数量の関係を表した不等式として正しいものを、次のア〜エの中から1つ選んでください。
 ア a+5b>60  イ a+5b<60
 ウ 5a+b<60  エ 5(a+b)>60
(茨城県高)
2.  関数y=a/x について述べた文として適切でないものを選んでください。ただし、比例定数aは負の数とし、x=0 のときは 考えないものとします。
ア この関数のグラフは2つのなめらかな曲線になる。
イ xの変城が xく0 のとき、yは正の値をとり、xの 値が増加するとyの値も増加する。
ウ 対応するxとyの値について、積xyは一定でaに等しい。
エ この1関数のグラフは x>O の範囲で、ェの値を大き くしていくとx軸に近づき、いずれx軸と交わる。
(青森県高)
3. (1) 次のア〜オのうち、yがxに比例するものをすべて選んでください。
ア 自然数xの約数の個数はy個である。
イ x円の商品を1000円支払って買うとき、おつりはy円である。
ウ 1200mの道のりを分速xmの速さで進むとき、 かかる時間はV分である。
エ 5%の食塩水がxgあるとき、この食塩水に含まれる食塩の量はygである。
オ 何も入っていない容器に水を毎分2Lずつx分間入れるとき、たまる水の量は9Lである。

(2) 次のア〜オのうち、関数 y=2x2 について述べた文として正いものをすべて選んでうださい。ア この関数のグラフは、 原点を通る。
イ x>0 のとき、xが増加するとyは減少する。 ウ この関数のグラフは、x軸について対称である。
エ xの変城が -1≦x≦2 のとき、yの変域は 0≦y≦8 である。
オ xの値がどの値からどの値まで増加するかにかかわ らず、変化の割合は常に2である。
(群馬県高)
4.  次のア〜エから正しいものをすべて選んでください。
ア 方程式 x=5 のグラフはy軸に平行な直線である。
イ 関数 y=x+3 のグラフは点(1,3)を通る。
ウ yがxに比例するとき、aを定数として、y=ax と表せる。
エ 反比例の関係 y=4/x で、xの値が2倍になると、yの値も2倍になる。
(福井県高)
5.  次のア〜オから、yがxの関数であるものをすべて選んでください。
ア 1辺長ささがxcmである正方形の面積ycm2
イ 頂点がx個である正多角形の1つの外角の大きさy度
ウ 降水確率がx%の日の最高気温y℃
エ 3%の食塩水xgにとけている食塩の量yg
オ 自然数xの倍数y
(熊本県高)
答 え










答 え
1. ア

2. エ
ア 正しい
イ 正しい x<0 のとき、この双曲線は第2象限にある。
ウ 正しい xy=a(一定)
エ 誤り  双曲線はx軸と交わらない。 

3.
(1) エ、オ
ア 自然数xと約数の数yに比例関係はない。
   2:1と2 2個
   4:1と2と4 3個
  (x,y)=(2,2)と(4,3)はグラフの傾きが異なる。
イ y=1000-x (1次関数)
ウ y=1200/x (反比例)
エ 正しい y=0.05x
オ 正しい y=2x
(2) ア、エ
ア 正しい
イ xが増加すると、yも増加する。
ウ y軸について対称
エ 正しい
オ 放物線の変化の割合はxの区間によって異なる。

4.
 ア、ウ
ア 正しい
イ y=x+3 のグラフは点(1,3)を通らない。3≠1+3
ウ 正しい
エ y=4/x で、xの値が2倍になると、yの値は1/2になる。
  例:(1,4) (2,2)

5. ア、イ、エ
ア y-x2
イ y=360/x (多角形の外角の和=360°)
ウ 関数でない
  降水確率と最高気温の間には、明確な対応関係はない。
(参考) 標高差と気温
 標高が100m上がると気温は0.6℃下がる。
 例:200m地点が30℃のとき、1200m地点の気温yは、
  y=30-0.6(標高差x/100)==24(℃)
エ y=0.03x
オ 関数でない
  2の倍数 y=2x
  3の倍数 y=3x
  のように、xに対してyは1つに決まらない。

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