中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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式の計算 - かけ算・わり算

式の計算 >

 マイナスを含(ふく)むかけ算・わり算をしてみましょう。はじめに、計算のしかたを確かめます。
 ・わり算=逆数のかけ算
 ・計算の順序
 ・異なる符合のかけ算
 ・分配法則

わり算は、逆数のかけ算と同じ
例1: 3÷(6/5)  6/5 の逆数は 5/6
   =3×(5/6)
   =5/2
例2: 24÷3÷2  わり算を逆数のかけ算にする。
   =24×(1/3)×(1/2)
   =24/(3×2)
    =4

かけ算はたし算よりも先
 かけ算にはわり算を含む(逆数をかけるので)。
 たし算にはひき算を含む(マイナスをたすので)。
例1: 1+2×3=1+(2×3)=1+6=7
例2: 5+6÷2=5+(6÷2)=5+3=8

異なる符合のかけ算は 、 同じ符合のかけ算は
例1: −(+5)=(−1)×(+5)=−5
例2: −2×(+4)==−2×4=−8
例3: −3×(−6)=+18=18
例4: −8÷(−4/3)=−8×(−3/4)=6

分配法則 (ぶんぱいほうそく)
 a(b+c)=ab+ac@  a が b と c に分配される。
例1: 1個100円のリンゴ2個と1個100円のナシ3個を買った代金
 100(2+3)=100×2+100×3
例2: かっこの前の−は、(−1)× と同じ。
  −(−1/2+1/3)  
 =(−1)×(−1/2+1/3)
 =1/2−1/3
 =1/6
例3: 小さい数−大きい数
   =−(−小さい数+大きい数)
   =−(大きい数−小さい数)

練習
 次の式を計算してください。
1.  12+6÷(−2)
(富山県高)
2.  5−3×(−2)
(福井県高)
3.  6−(−24)÷6
(愛知県高)
4.  11+2×(−7)
(福岡県高)
5.  12÷(−3)÷2−2×(−4)−6

答 え











答 え

1.  12+6÷(−2)  わり算が先
=12+{6÷(−2)}  異なる符号のわり算は−
=12+(−3)
=12−3
=9 ・・・(答)
2.  5−3×(−2)  かけ算が先
=5−{3×(−2)} 異なる符合のかけ算は−
=5−(−6)
=5+6
=11 ・・・(答)
3.  6−(−24)÷6  わり算が先
=6−{(−24)÷6}
=6−(−4)
=6+4
=10 ・・・(答)
4.  11+2×(−7)  かけ算が先
=11+(−14)
=11−14
=−3 ・・・(答)
5.  わり算を逆数のかけ算にする。
 12÷(−3)÷2−2×(−4)−6 
=12×(−1/3)×(1/2)−2×(−4)−6
=−12/(3×2)−2×(−4)−6
=−2+8−6
=0 ・・・(答)

JUGEMテーマ:学問・学校

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式の計算 - たし算・ひき算

式の計算 >

 マイナスを含(ふく)むたし算・ひき算をしてみましょう。はじめに、計算のしかたを確かめます。

 かっこのはずし方です。かっこの前が同じ符合のとき+になります。かっこの前が異なる符合のとき−になります。
 同符合(同符合)=+
 異符合(異符合)=−@
例1: +(+2)=+2

例2: −(−6)=+6

例3: −(+4)=−4

 小さい数から大きい数をひく場合は、大きい数から小さい数をひき、−をつけます。
 小さい数−大きい数=−(大きい数−小さい数)@
例1: 3−8=−(8−3)=−5

例2: (−7)+3=3−7=−(7−3)=−4

 負の数に負の数ををたすと負の数になります。
 (−数)+(−数)=−(数+数@
例1: (−4)+(−5)=−(4+5)=−9

例2: −2−4−6=−(2+4+6)=−12

練習
 次の式を計算してください。
1.  7−(−1)
(大阪府高)
2.  0−5
(長野県高)
3.  −13+8
(宮城県高)
4.  4−2+(−5)
(香川県高)
5.  5−(1−4)
(山形県高)

答 え











答 え

1.  7−(−1)  同符合(同符合)=+
=7+1
=8 ・・・(答)
2.  0−5  小きい数−大きい数=−(大きい数−小さい数)
=−(5−0)
=−5 ・・・(答)
3.  −13+8  順序を変える。
=8−13  小きい数−大きい数=−(大きい数−小さい数)
=−(13−8)
=−5 ・・・(答)
4.  4−2+(−5)  異符合(異符合)=−
=4−2−5
=2−5
=−(5−2)  小きい数−大きい数=−(大きい数−小さい数)
=−3 ・・・(答)
(別解)
 4−2+(−5)
=4−2−5  −数−数=−(数+数
=4−(2+5)
=4−7
=−(7−4)
=−3 ・・・(答)
5.  5−(1−4)  小きい数−大きい数=−(大きい数−小さい数)
=5−{−(4−1)}
=5−(−3)  同符合(同符合)=+
=5+3
=8 ・・・(答)

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式の計算 - 学習事項

式の計算 >

 「式の計算」では、中学1年から3年で学習する、次のような計算を取り上げます。

計算 学年
 たし算・ひき算  5−(1−4)  (中1)
 かけ算・わり算  7÷(−3)×6  (中1)
 累乗の計算  (−2ab)÷4ab  (中1)
 小数・分数計算  1/3−5/6÷0.5  (中1)
 多項式の計算  3(x−3y)−(5x−4y)  (中2・3)
 ルートの計算  67−28  (中3)

練習
 力試しです。例で示した次の式を計算してください。なお、それぞれの計算は、次回から詳しく説明します。
1.  5−(1−4)
2.  7÷(−3)×6
3.  (−2ab)÷4ab
4.  1/3−5/6÷0.5
5.  3(x−3y)−(5x−4y)
6.  67−28

答 え











答 え

1.  5−(1−4)  −1を分配する。
=5−1+4
=8 ・・・(答)

2.  7÷(−3)×6  わり算は逆数をかける。
={7/(−3)}×6
=(7×6)/(−3)  3で約分する。
=7×(−2)
=−14 ・・・(答)

3.  (−2ab)÷4ab  指数の2を(  )内に分配する。
=(−2)÷4ab  (−2)=4
=4a÷4ab  わり算は逆数をかける。
=4a/(4ab)  a/a=a6−1、b/b=b2−1
=ab ・・・(答)

4.  1/3−5/6÷0.5  小数を分数にする。
=1/3−5/6÷(1/2)  わり算は逆数をかける。
=1/3−(5/6)×2  かけ算を先にする。
=1/3−5/3
=−4/3 ・・・(答)  

5.  3(x−3y)−(5x−4y)  3と(−1)を分配する。
=3x−9y−5x+4y  同類項をまとめる。
=(3x−5x)+(−9y+4y)  小−大=−(大−小)
=−2x−5y ・・・(答)

6.  67−28  28を平方数で表す。
=67−(2×7)  平方数2をルートの外に出す。
=67−2
=47 ・・・(答)

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式の計算

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規則性 - 和の計算

規則性 >

 1+2+3+… +n=n(n+1)/2 のように、和で表される式を積の形にする方法をまとめます。

 3つの方法をがありました。
 ・ガウス少年の方法
 ・定数をかけて差とる方法
 ・表を使う方法

ガウス少年の方法
例1:
整数の和_中3
 S=1+2+3+…+(n−1)+n  逆に並べる。
 S=n+(n−1)+…+3+2+1  2式をたす。
2S=(1+n)n
 S=n(n+1)/2
例2:
偶数の和_中3
 S=2+4+6+…+2(n−1)+2n  逆に並べる。
 S=2n+2(n−1)+…+6+6+2  2式をたす。
2S=2(1+n)n
 S=n(n+1)
例3:
奇数の和_中3
 S=1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1)  逆に並べる。
 S=(2n−1)+(2n−3)+…+5+3+1  2式をたす。
2S=2n×n
 S=n

定数をかけて差とる方法
例1: 自己相似なミ..キ−マウス
自己相似
 n 回目の円の数をSとする。
 S=1+2+2+2+…+2n−1  2をかける。
2S=   2+2+2+…+2n−1+2 2式の差をとる。
 S=2−1
例2:  自己相似な三角形
フラクタル_三角形   …
 n 回目の逆三角形▼の数をSとする。
 S=1+3+3+3+3+…+3  3をかける。
3S=   3+3+3+3+…+3+3n+1  2式の差をとる。
2S=3n+1−1
 S=(3n+1−1)/2

表を使う方法
例1: 棒の数
棒の数   …
 下の表から、S は傾き3の1次関数で、
 S=3n+b と表せる。
 (n,S)=(1,4) を代入すると、
 4=3+b  b=1
 よって、S=3n+1
10 13 1次関数
33333 33 定数
例2: おはじきの数  S=1+2+3+…+n
おはじきの規則性   …
下の表から、S=an+bn+c とする。
10 15 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 (n,S)=(1,1)、(2,3)、(3,6) を代入すると、
  1=a+b+c   ・・・
  3=4a+2b+c ・・・
  6=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。押瓧械瓠棕
 −◆А。魁瓧毅瓠棕
 2式の差から、1=2a  a=1/2
 b=2−3a=1/2
  А。磧瓧院檻瓠檻癲瓧
 よって、S=n/2+n/2=n(n+1)/2
例3: だんごの数  S=1+2+3+…+n
2乗の和の問題   …
 S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
14 30 55 3次関数
差1  1  916  25 2次関数
差2 22227  9 1次関数
差3 2  2  2 定数
 表から、Sは3次関数で、
 S=an+bn+cn+d とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,5)、(3,14)
 を代入すると、
  0=d
  1=a+b+c+d      ・・・
  5=8a+4b+2c+d   ・・・
 14=27a+9b+3c+d  ・・・
 c を消去する。
◆櫚 滷押А 。魁瓧僑瓠棕横癲  ΑΑΝ
− 滷魁А。隠院瓧横苅瓠棕僑癲 ΑΑΝ
 b を消去する。
ァ櫚ぁ滷魁А 。押瓧僑瓠 a=1/3
ぁА。魁瓧押棕横癲 b=1/2
 А。院瓧/2+1/3+c  6倍する。
   6=3+2+6c  c=1/6
 よって、
 S=an+bn+cn+d
  =n/3+n/2+n/6  6倍する。
 6S=2n+3n+n
   =n(2n+3n+1)
   =n(n+1)(2n+1)
 S=n(n+1)(2n+1)/6

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