中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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円と三角形…角度3

円と三角形 >

 三角形の頂点が円の外にある問題を解いてみましょう。円の接線は、接点を通る半径に垂直です。

例題
 下の図で、線分ABは円O の接線です。∠AC Bが a°のとき、x の大きさを求めてください。
(都立高)
   i円と三角形_角度3例題

 OA⊥AB で、∠OAC =a から、
  a+a+90+x=180
  x=90−2a (°) ・・・(答)

練習
1. 図1で、円の半径が5cm、弧C Dの長さが2πcmのとき、x の大きさを求めてください。
(愛知県高)
 i円と三角形_角度3練習

2. 図2で、x の大きさを求めてください。
(立命館高)
答 え










答 え
1. 
 中心角と弧の長さは比例するので、
  ∠C OD:2π=180:5π
  ∠C OD=360/5=72
 下の図1で、
  x+=180 ・・・
  (180−2)+72+(180−2)=180
   180+72=2(
   =126
  ,ら、x=180−126=54 (°) ・・・(答)

 i円と三角形_角度3練習解答

2.
 矢の先のような四角形の頂角は30°(円周角の定理)
 四角形の内角の和は360°から、
  25+30+鈍角+30=360
  鈍角=275
 対頂角は等しいので、
  x=360−鈍角=360−275=85 (°) ・・・(答)

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円と三角形…角度2

円と三角形 >

 前回に続き、円周角の定理を使う問題を解いてみましょう。練習問題では、二等辺三角形の底角は等しいという性質も使います。

例題
 下の図で、x の大きさを求めてください。
(東京都高)
   i円と三角形_角度2例題

 点Dと点Bを直線で結ぶと、
  ∠ADB=90° (半円の円周角)
  x=∠ABD (弧ADの円周角)
 △ADBで、
  25+x+90=180
  x=90−25=65 (°) ・・・(答)

練習
1. 図1で、x の大きさを求めてください。
(都立青山高)
 i円と三角形_角度2練習

2. 図2で、AB=AC のとき、∠x の大きさを求めてください。
(神奈川県高)
答 え










答 え
1. 
 弧BC の円周角は、
  ∠CAO=x/2
 △AOC は、半径が等しい二等辺三角形から、
  ∠AC O=x/2
 弧BC =弧DC から、
  ∠EOC =x
 △EOC で、対頂角が等しいので
  123+x+x/2=180
  3x/2=57
  x=114/3=38 (°) ・・・(答)

 円と三角形_角度2解答

2.
 点O と点C を直線で結ぶと、
 △OBC は二等辺三角形から、
  中心角 ∠BOC =180−46×2=88
 弧BC の円周角は、
  ∠A=88/2=44
 二等辺三角形の両底角は等しいので、
  ∠C =(180−44)/2=68
 △DBC で、
  x+46+68=180
  x=180−114=66 (°) ・・・(答)

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円と三角形…角度

円と三角形 >

 円と三角形を組み合わせた最新の入試問題を解いてみましょう。角度、長さ、面積、証明の問題を取り上げます。

 角度を求めるときに、円周角の定理がよく使われます。
円周角の定理
 弧の長さが等しい 円周角が等しい
  同じ弧に対する円周角は等しい。 (図1)
 円周角=中心角/2
  =(・・・・)/2 となっている。 (図2)

  円周角の定理

円周角の定理の応用
 半円の円周角=90° 
  半円の中心角は180° なので、円周角は90° (図3)
 円に内接する四角形の対角の和=180° 
 x+y= x の中心角/2+ y の中心角/2=360°/2=180° (図4)

例題
 下図で、線分BDは円の直径です。x の大きさを求めてください。

   問題1 円周角と中心角

 ∠BC D=90°(半円の円周角)
 ∠BDC=50° (弧BC の円周角)
 x+90°+50°=180°
 x=40° ・・・(答)

練習
1. 図1で、x の大きさを求めてください。
(秋田県高)

 円と三角形_角度

2. 図2で、x の大きさを求めてください。
(群馬県高)
答 え










答 え
1. 
 ∠BOC =38×2=76 (円周角の定理)
 △OBC は、半径が等しい二等辺三角形から、
 2x+76=180
 x=(180−76)/2=104/2=52 (°) ・・・(答)

2.
 右の三角形で、残りの角は、180−(20+50)=110
 左の三角形で、
  対頂角が110
  頂点Oの角度は、20×2=40 (円周角の定理)から、
  x+110+40=180
  x=180−150=30 (°) ・・・(答)

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円と三角形

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 円と三角形…角度
 円と三角形…角度2
 円と三角形…角度3
 


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確率を求める まとめ6

確率を求める >

くじ引き
1. A、B、C 、D の4人の男子生徒と、E、F、Gの3人の女子生徒がいます。この7人の中から、くじ引きで2人の生徒を選ぶとき、男子生徒と女子生徒が1人ずつ選ばれる確率を求めてください。

2. 箱Aと箱Bがあります。箱Aには2、5、6の数が書かれたくじが1本ずつ入っており、箱Bには1、3、4、7と書かれたくじが1本ずつ入っています。箱Aからひいたくじに書かれている数を m 、箱Bからひいたくじに書かれている数を n とします。
(1) m と n の積が偶数となる確率を求めてください。
(2) m<2n となる確率を求めてください。

答 え

じゃんけん
1. AとBがじゃんけんを1回します。Aがグーかチョキで勝つ確率を求めてください。

2. A、B、C の3人でじゃんけんを1回します。
(1) Aが勝つ確率を求めてください。
(2) 3人が引き分けになる確率を求めてください。

答 え

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