中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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変化の割合 まとめ1

変化の割合− 定義
 次の関数について、x が p から q に増加するとき、変化の割合 R を求めてください。 a、b は定数とします。
1. y=a
2. y=a/x
3. y=ax+b
4. y=ax

答 え

変化の割合−平均の速さ
1. 車が走った時間を x 時間、進んだ距離を y km とするとき、次の問いに答えてください。
(1) 車が2時間半走った距離は155km でした。平均の速さを求めてください。
(2) 車が同じ速さで1時間半走った距離は90km でした。 y を x の式で表してください。
(3) 問(2)で、30分後から1時間半後までの変化の割合を求めてください。

2. 高さ y m からボールを自然に落下させます。落下させてから x 秒後の落下距離は、x の2乗に比例することが分かっています。このとき、次の問いに答えてください。
(1) 落下させてから2秒後の落下距離は19.6m でした。 y を x の式で表してください。
(2) 0秒から3秒の間で、ボールの平均の速さを求めてください。
(3) 3秒後のボールの速さを求めてください。
(4) 78.4m の高さからボールを落下させたとき、地面に到達するのは何秒後ですか。
(5) 問(4)で、地面に到達したときの速さを求めてください。

答 え


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変化の割合 規則集4

変化の割合−面積との関係
三角形の面積は線分の長さを集めたもの

   三角形の面積と変化の割合

 上の図で、底辺の長さ x 、高さ ax の三角形の面積を y とすると、
   y=x(ax)/2 =ax/2
 x における変化率 y’ は、 y=x → y’=nxn−1 から、
   y’=2ax2−1/2=ax
 ax は、x における線分の長さです。
 つまり、三角形の面積は、長さが ax の線分を x=0 から x=x まで集めたものになっています。

変化の割合−体積との関係
円錐の体積は円の面積を集めたもの

   円錐の体積と変化の割合

 上の図で、円錐の高さ x 、底面の半径 ax の円錐の体積を y とすると、
   y=π(ax)x/3==(π)x/3
 x における変化率 y’ は、
   y’=(π)3x3−1/3=(π)xπ(ax)
 π(ax) は、x における円の面積です。
 つまり、円錐の体積は、面積がπ(ax) の円を x=0 から x=x まで集めたものになっています。


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変化の割合 規則集3

変化の割合−減速
 y=x のとき、x における変化率 y’は、 y’=nxn−1
例:
 y=3x
 y=4x=4x
 y=5=5x
 y=3x+4x+5
 y’=6x
 y’=4
 y’=0
 y’=6x+4

変化の割合を計算せずに速さの式が求まる。
 y=x のとき、y’=nxn−1 を利用する。
例1: ボールの自然落下
 落下距離を y m 、落下時間を x 秒とする。
 y=4.9x が成り立つとき、
 x における変化率(=速さ)は、
 速さ=y’=4.9×(2x2−1)=9.8x

例2: ボールの投げ上げ
 ボールを秒速29.4m で地上から真上に投げ上げる。
 ボールの高さを y m とすると、x 秒後の高さは、
  y=29.4x−4.9x
 29.4x は初速度で進む分、−4.9xは減速する分を表す。
 このときボールの速さは、y’=29.4−9.8x となる。
 最高点に達するのは、
  29.4−9.8x=0 から、
  x=29.4/9.8=3 (秒後)

   変化の割合の応用_投げ上げ

(比較) 変化の割合から速さを求める。 ← 手間がかかる。
 x=a から x=b に増加したとき、
 変化の割合
={(29.4b−4.9b)−(29.4a−4.9a)}/(b−a)
={29.4(b−a)−4.9(b−a}/(b−a)
=29.4−4.9(a+b)
 a=b=x のとき、速さ(=変化率 y’) は、
 y’=29.4−9.8x

変化の割合−規則性
 規則性の問題の解き方を3通り示す。 (詳細は本文参照)
解法 特徴 計算 確実性
 変化の割合 機械的 手間 高い
 論理組立て 推論的 知識要 普通
 図形 発明的 簡単 低い

変化の割合による解法
例題  x 回目のタイルの個数を y を x の式で表す。
  変化の割合の応用_規則性タイル
 (x,y)の関係を表にする。
回目
10 15 2次関数
差1 1次関数
差2 定数

(考え方)
 差1は、y の隣の項との差で、差2は、差1の隣の項との差を表す。
 このとき、差1、差2は変化の割合になっている。
 なぜなら、x の増加分=1 から、
  y の増加分/x の増加分= y の増加分 なので。
 差2は定数なので、差1は1次関数(直線)上の点で、
 差1は1次関数なので、y は2次関数(放物線)上の点になる。

(解答)
 表の差から、(x,y)を次の2次関数上の点とする。
 y=ax+bx+c
 (x,y)=(1,1)、(2,3)、(3,6) から、
1= a+ b+c ・・・
3=4a+2b+c ・・・
6=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。押瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
 −◆А。魁瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
 ァ櫚ぁА。院瓧横瓠 。瓠瓧院殖
 ぁА。癲瓧押檻械瓠瓧院殖
  А。磧瓧院檗複瓠棕癲法瓧
 a=b=1/2、c=0 から、
  y=x/2+x/2=x(x+1)/2 ・・・(答)

(別解) 変化率から、最初に a を求める。
 y=ax+bx+c ・・・
 y’=2ax+b
 (y’)’=2a=1  a=1/2
,蓮■=x/2+bx+c
(x,y)=(1,1)、(2,3) から、
 1=1/2+b+c ・・・
 3=2+2b+c   ・・・
−◆А。押瓧魁殖押棕癲 。癲瓧院殖
◆А。院瓧院殖押棕院殖押棕磧 。磧瓧
よって、 y=x/2+x/2=x(x+1)/2 ・・・(答)


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変化の割合 規則集2

変化の割合−n次関数
曲線上の2点を極めて近づけた1点 x での変化の割合(変化率)は、接線の傾きを表す。

関数 y=x で、x=x における変化率を y’とすると、
 y’=nxn−1  ← 問題の接線の傾き 参照
 接線の傾き y’ から、関数のグラフの増減が分かる。
例: y=x のとき、y’=2x
 x<0 のとき、y’<0 から、グラフは減少する。
 x=0 のとき、y’=0 から、グラフは最小値となる。
 x>0 のとき、y’>0 から、グラフは増加する。

   変化の割合の応用_関数のグラフの形

変化の割合−加速
変化の割合が平均の速さになる。
等速で移動する場合、平均の速さ=瞬間の速さ=一定
加速・減速して移動する場合、平均の速さと瞬間の速さは異なる。

移動距離を y m、移動時間を x 秒 とする。 a 秒 から b 秒 に変化したとき、平均の速さと瞬間の速さを求める。
例1:  y=1.2x の等速で移動する場合、
 平均の速さ=(1.2b−1.2a)/(b−a)
        =1.2 (m/秒)
        =瞬間の速さ=一定
(別解)
 瞬間の速さ=y’=1.2 (m/秒)
例2: y=4.9x で加速して移動する場合、
 平均の速さ=(4.9b−4.9a)/(b−a)
        =4.9(a+b) (m/秒)
 瞬間の速さ=4.9(x+x)=9.8x (m/秒)
(別解)
 瞬間の速さ=y’=9.8x (m/秒)

   変化の割合の応用_等速と加速


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変化の割合 規則集1

変化の割合− 定義
変化の割合=y の増加量/x の増加量
        =(y−y)/(x−x

   変化の割合の定義

 変化の割合は、2点間の傾きを表す。

例: 2次関数 y=3x において、x が1から4に増加するとき、
 変化の割合=3(4ー1)/(4−1)
         =3(4+1)(4−1)/(4−1)
         =3(4+1)
         =15

 変化の割合を求めるとき、次の公式が役立つ。
  a−b=(a+b)(a−b)  2乗の差は和と差の積

変化の割合−平均の速さ
 ボールが自然に落下するとき、落下時間を x 秒、落下距離を y m とすると、次の関係がある。
  y=4.9x (x≧0)

変化の割合の応用_平均の速さ  変化の割合は、2点を結ぶ
 
直線の傾きで、平均の速さ
 を表す。
 
接線の傾きは、瞬間の速さ
 を表す。

変化の割合は2点間の平均の速さ
 x が p から q に増加するとき、変化の割合は、
  4.9(q−p)/(q−p)
 =4.9(p+q) (m/秒)
 変化の割合は、2点間の直線の傾きで、平均の速さを表す。

2点を1点に近づけると(瞬間の)速さ
 p と q の2点を近づけて1点 x にすると、変化の割合は、
  4.9(p+q)=9.8x (m/秒)
 1点における変化の割合は、接線の傾きで、瞬間の速さを表す。
 9.8x は、x 秒後の落下速度となる。


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