中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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文章題4−濃度2

文章題を解く4 >

 濃度が異なる食塩水を移しかえる問題を解いてみましょう。

例題
 8%の食塩水Aと4%の食塩水Bがあります。食塩水Aと食塩水Bからそれぞれいくらかの食塩水を取り出して混ぜ合わせたところ、5%の食塩水300gができました。食塩水Aから何gの食塩水を取り出しましたか。
(都立産業技術高専)
 食塩水Aからag、食塩水Bからbg取り出したとします。
 濃度の関係は、次の図のようになっています。
B 混合後 A
4% ------ 5% ------ 8%
bg 300g ag
 食塩水の重さから、
  b+a=300 ・・・
 食塩水の混合結果から、
  b(5-4)=a(8-5)
   b=3a ・・・
 ´△ら、3a+a=300  a=75 (g) ・・・(答)

練習
1. 容器Aには濃度2%の食塩水が入っています。濃度6%の食塩水.xkgを、容器Aに加えると、濃度y%、8kgの食塩水になりました。次の問いに答えてください。
(1) yをxを用いて表してください。
 次に容器Aからxkgを抜き取った後、客器Aに水を2kg加えたら、濃度2.5%の食塩水になりました。
(2) 考えられるxとyの値の組をすべて求めてください。
(慶應義塾女子高)

2. A、 B2つの容器にそれぞれa%食塩水900gと、b%の食塩水500gが人っています。最初にAから100gの食塩水を取り出しBに加えました。
(1)  このときBの客器に含まれる食塩は何gですか。a、b を用いて表してください。
(2) その後、Bから100gの食塩水を取り出してAに加 えたところ、Aの濃度は8.5%、Bの濃度は2.5%に なりました。a、bの値を求めてください。
(青山学院高等部)
答 え










答 え
1.
(1) 濃度の関係
食塩水 混合後 食塩水
2% ------ y% ------ 6%
(8-x)kg 8kg xkg
 (8-x)(y-2)=(6-y)x
 8y-16-xy+2x=6x-xy
 8y=4x+16
 y=(x+4)/2 ・・・(答)

(2) 濃度の関係
混合後A A
0% ------ 2.5% ------ (x+4)/2%
2kg (8-x)kg
 2(2.5-0)=(8-x){(x+4)/2-2.5}
 5=(8-x)(x-1)/2
 10=9x-8-x2
 x2-9x+18=0
 (x-3)(x-6)=0
 x=3,6
 x=3: y=(x+4)/2=7/2
 x=6: y=5
(答) (x,y)=(3,7/2),(6,5)

2.
(1) Aから100gの食塩水をBに混ぜたので、
 100×0.0a+500×0.0b=a+5b (g) ・・・(答)

(2)
 Aを100g混ぜたBの濃度は、
  (a+5b)/600×100=(a+5b)/6 (%)
 AにB100gを混ぜると、8.5%になったので、下図から、
  800(8.5-a)=100{(a+5b)/6-8.5}
  68-8a=(a+5b)/6-8.5  30倍する。
  2040-240a=5a+25b-255
  245a+25b=2295  5で割る。
  49a+5b=459 ・・・
A 混合後A B
a% ------ 8.5% ------ (a+5b)/6%
800g 100g
 B600gから100gをAに移すと、Bは2.5%になったので、
 Bの食塩の量は、
  500×{(a+5b)/600}=500×0.025
  a+5b=15 ・・・
 -△ら、
  48a=444
  a=111/12=37/4
 △ら、5b=15-37/4=23/4
  b=23/4
(答) (a,b)=(37/4,23/4)

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文章題4−濃度1

文章題を解く4 >

 食塩水の濃度の問題を解いてみましょう。食塩水の濃度は、食塩水に含まれる食塩の割合を表します。
 濃度=食塩の重さ/食塩水の重さ

例題
 濃度20%の食塩水をA、濃度15%の食塩水をBとします。60gの食塩水Aに食塩水Bを何g加えると、濃度18%の食塩水になりますか。
(法政大国際高)
 Bの食塩水の量を、x gとします。
 Aの食塩の量は、0.2×60
 Bの食塩の量は、0.15x
 AとBを混ぜたときの食塩水の量は、60+x
 混ぜると18%なので、
  (0.2×60+0.15x)/(60+x)=0.18
  0.2×60+0.15x=0.18(60+x)
  12+0.15x=10.8+0.18x
  0.03x=1.2  x=40 (g) ・・・(答)

(別解) シーソーの図から解く
 食塩水(a%,Ag)と、食塩水(b%,Bg)を混ぜて、x%の食塩水ができるとき、 A(x-a)=B(b-x) が成り立ちます。
 なぜなら、
 濃度=食塩の重さ/食塩水の重さ から、
  x=(aA+bB)/(A+B)
  (A+B)x=aA+bB
  よって、A(x-a)=B(b-x)
 例題の数値を当てはめると、
  x(18-15)=60(20-18)
  3x=120  x=40 (g) ・・・(答)
  濃度の計算
 なお、 水を0%の食塩水、食塩を100%の食塩水とみなすと、
 A(x-a)=B(b-x) が適用できます。
 混ぜた濃度xは、シーソーのように左右の均衡がとれる値になっています。

練習
1. 120gの水に食塩xgを混ぜると、20%の食塩水がygできます。このとき、xとyの値をそれぞれ求めてください。
(都立産業技術高専)

2. 砂糖水の濃度(%)は次の式で表されます。
 砂糖水の濃度(%)=砂胃の量(g)
             ÷砂糖水全体の量 (g) ×100
 次の間いに答えてください。
(1)
 (ア) 濃度x%の砂糖水240gに水60gを加え、濃度 (x/3+7)% の砂籍水をつくりました。このとき、xの値を求めてください。
 (イ) (ア)においてつくった砂糖水に、さらに水をyg加えて、濃度8%の砂糖水をつくりました。このとき、yの値を求めてください。
(2) 濃度3%の砂糖水と、濃度16%の砂糖水を程ぜて、濃度12%の砂糖水を780gつくるとき、2種類の砂糖水をそれぞれ何g混ぜればよいかを求めてください。
(東工大附属科学技術高)
答 え










答 え
1.
(ア)
0% ------ 20% ------ 100%
120g yg  xg
 120(20-0)=x(100-20)
 2400=80x  x=30
 y=120+x=150
(答) (x,y)=(30,150)

2.
(1)
(ア)
0% ------ )(x/3+7)% ------ x%
60g 300g 240g
 60(x/3+7-0)=240{x-(x/3+7)}
 x/3+7=4(2x/3-7)
 x/3+7=8x/3-28
 7x/3=35  x=15 ・・・(答)

(イ) (ア)でつくった砂糖水は300gで、
 x/3+7=12 (%)
0% ------ 8% ------ 12%
yg 300g
 y(8-0)=300(12-8)
 8y=1200  y=150 ・・・(答)

(2)
 濃度3%の砂糖水xg、濃度16%の砂糖水ygを混ぜるとする。
3% ------ 12% ------ 16%
xg 780g yg
 x(12-3)=y(16-12)
 9x=4y ・・・
 x+y=780
 y=780-x ・・・
´△ら、
 9x=4(780-x)
 13x=4×780  x=240
 y=780-240=540
(答) 3%の砂糖水240g、16%の砂糖水540g

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文章題4−比率

文章題を解く4 >

 移動などによって、前後の比率が変わる問題を解いてみましょう。

例題
 2つの水槽A、Bに42Lずつ水が入っています。水槽Aから水槽Bに水を移して、AとBの水槽に入っている水の量の比が 2:5 になるようにします。何Lの水を移せばよいか、求めてください。
(青森県高)
 xLの水を移すとします。
 移した後の水の量の比から、
  (42-x):(42+x)=2:5
  210-5x=84+2x
  7x=126  x=18 (L) ・・・(答) 

練習
1. Aの箱に赤玉が45個、Bの箱に白玉が27個入っています。 Aの箱とBの箱から赤玉と白玉の個数の比が 2:1となるように取り出したところ、Aの箱とBの箱に残った赤玉と白玉の個数の比が 7:5 になりました。Bの箱から取り出した白玉の個数を求めてください。
(三重県高)

2. 濃度5%の食塩水がxgあります。 これに濃度3%の食塩水400gを混ぜてから、水を60g蒸発させると、濃度4%の食塩水ができました。 このとき、xの値を求めてください。
(青雲高)
答 え










答 え
1.
 Aの箱から赤玉をa個、Bの箱から白玉をb個取り出すとする。
 取り出す個数の比から、
  a:b=2:1  a=2b ・・・
 残った個数の比から、
  (45-a):(27-b)=7:5
  225-5a=189-7b
  5a-7b=36  ,鯊綟する。
  10b-7b=36  b=12 (個) ・・・(答) 

2.
 食塩水を混ぜる前の食塩の量は、
  0.05x+0.03×400=0.05x+12 ・・・
 混ぜてから蒸発させたときの食塩の量は、
  0.04(x+400-60)=0.04(x+340) ・・・
 =△ら、
  0.05x+12=0.04(x+340)  100倍する。
  5x+1200=4x+1360
  x=160 ・・・(答)

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文章題4−旅人算

文章題を解く4 >

 AとBが出会ったり、AがBに追いつく問題を旅人算といいます。これから、旅人算の問題を解いてみましょう。

例題
 線分AB上に点Cがあり、線分ACの長さは3cmlです。点Pは線分AB上を移動する点であり、点Qは線分CB上を移動する点です。
 点Pは点Aを出発し、秒速5cmで点Bまで移動します。点Qは点Pが点Aを出発するのと同時に点Cを出発し、秒連4cmで点Bまで移動します。
 点P、点Qが同時に点Bに到着するとき、線分ABの長さは何cmですか。
(都立産業技術高専)
P 5cm/
A
C
B
3cm Q 4cm/
 AB=x (cm) とすると、CB=x-3
 PとQがBに着くまでの時間は等しいので、
  x/5=(x-3)/4
  4x=5(x-3)
  x=15 (cm) ・・・(答)

練習
1. 原点Oを出発し、x軸上を正の方向へ進む2点PQがあります。点Pは毎抄2の速さで進み、点Qは進む距離が時問の2乗に比例するように進みます。
 点Pが出発したa抄後に点Qが出発し、点Qが出発Lた2a秒後にx座庫が(3a+9)の点で、点Qが点Pに迫いつきまし た。
 点Qが出発してからt秒後までに点Qが進む距離をdとするとき次の間いに答えてください。
(1) aの値を求めてください。
(2) dをtの式で表してください。
(慶應義塾高)

2. 2.8km離れた駅と学校があります。大輔君は徒歩で、駅から学校に分速80mで移動しました。先生は自転車で、大輔君が出発するのと同時に学校を出発し、分速xmで駅に向かいました。
 すると出発してからy分後に花屋の前で2人はすれちがい、その4分後に先生は駅に到着しました。
 このとき次の【 ア 】〜【 オ 】をうめてください。

花屋
学校
(1) 大軸君が学校に到着するのは駅を出発してから【 ア 】分後である。
(2) 駅から花屋までの距雌をxを用いて表すと【 イ 】m、yを用いて表すと【 ウ 】mである。
(3) x=【 エ 】、y=【 オ 】である。
(土浦日本大高)
答 え










答 え
1.
 PとQは同時に(3a+9)の地点に着いた。
 速さ、時間、距離の関係を表にまとめる。
速さ 時間 距離
p 2 / a+2a 2×3a 3a+9
q 2a d=kt2
(1)
 Pがa+2a=3a 秒間に進んだ距離は、
  2×3a=3a+9 から、a=3 ・・・(答)
(2)
 Qの進む距離は、d=kt2 (k:定数) と表すことができる。
 Qは2a秒間に、3a+9 進んだので、
  3a+9=k(2a)2  a=3 を代入する。
  18=36k  k=1/2
 よって、d==t2/2 ・・・(答)

2.
 文章を表で表す。
2.8km

花屋
学校
大輔 80m/ xm/ 先生
出会い y →← y
到着       y+4
(1)
 大輔は2.8Kmを80m/で歩いたので、
 かかった時間は、
  2800/80=35  ・・・【ア】
(2)
 先生は花屋から駅までを、xkm/で4分かかったので、
  花屋から駅までの距離は、4x  ・・・【イ】
 大輔は駅から花屋までを、80m/でyかかったので、
  花屋から駅までの距離は、80y  ・・・【ウ】
(3)
 【イ】と【ウ】は等しいので、
  4x=80y
  x=20y ・・・
 先生は2.8Kmを、xm/でy+4かかったので、
  x(y+4)=2800 ・・・
 ,鬮△紡綟:
  20y(y+4)=2800  20で割る。
  y2+4y-140=0  -140=-10×14 から、
  (y-10)(y+14)=0
  y>0 から、y=10  ・・・【オ】
 ,ら、x=20×10=200  ・・・【エ】

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文章題4−速さ

文章題を解く4 >

 一定の速さ×時間=距離 の関係を用いて問題を解いてみましょう。

例題
 家から学校までの道のりは1200 mです。最初のxrnを分速60mで歩き、残りの道のりを分速120mで走りました。家から学校までにかかった時問を、xを使った式で表してください。
(大分県高)
 歩いた時間は、x/60
 走った時間は、(1200-x)/120
 かかった時間は、
  x/60+(1200-x)/120
 =x/60+10-x/120
 =x/120+10 (分) ・・・(答)

練習
1. メロスは村で用事を済ませ、城まで2400mのところまで戻ってきました。日没まではあと 13分あります。今から城に向かって途中1回も休まず に日没ちょうどに城へ到着するためには、何分歩いて何分走れば良いか答えてください。ただし、メロスの歩く速さは80m/分、走る速さは250m/分とします。
(中央大杉並高)

2. 校外学習でT牧場へ行くことになり、自宅から T牧場までの道のりを調べることにしました。
 自宅から最寄りのA駅まで10分間歩き、A駅からB駅まで10分間電車に乗り、B駅から集合場所の学校ま で15分間歩きます。学校からT牧場までの50kmをバスで移動すします。
 自宅からA駅まで、B駅から学校までの歩く速さを、ともに毎分80m、電車の速さを毎時xkm、自宅からT牧場までの道のりをykm とするとき、yをxを用いた式で表してください。
(都立墨田川属高)
答 え










答 え
1.
 歩く時間をx分、走る時間をy分とする。
 日没まで13分なので、
  x+y=13 ・・・
 城まで2400mなので、
  80x+250y=2400
  8x+25y=240 ・・・
 - 8:
  17y=240-104=136
  y=8
 : x=13-8=5
(答) 5分歩いて、8分走る

2.
 文章を図で表す。
10分 10分 15分 50km
自宅 ---- A駅 ---- B駅 ---- 学校 ---- 牧場
80m/分 xkm/時 80m/分
------------------ y ------------------

 距離で式をつくる。単位は、分とmとする。。
 1000y=80×10+(1000x/60)×10+80×15+50000
 1000y=800+500x/3+1200+50000
 1000y=500x/3+52000  500で割る。
 2y=x/3+104
 y=x/6+52 ・・・(答)

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