中学から数学だいすき！

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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自転車を届けた話

　新聞の投書を読んで、自転車が到着した時刻を求めてみましょう。

　７０キロこぎ 息子に届けた自転車　
公務員　横井　里子　４７　（栃木県下野市）
　大学１年の長男が「学内が広いので、自転車がほしい」と言ってきました。長男は約７０キロ離れた千葉県内の大学に、自宅から通っています。しばらく考えた私は「使っていない自転車があるから、こいで持っていってあげる」と返事をしてしまいました。
　私の趣味はマラソンで、１０回近くフルマラソンを完走したこともあり、体力には自信があったのです。走りやすいコースを確認し、自転車好きの友人に聞いて必要なものを用意しました。
　当日は朝５時４５分に出発し、時速１５キロくらいのスピードで走行しました。長年、乗っていなかった自転車もよく動いてくれました。
　予定よりも早く待ち合わせ場所に到着しました。「ホントに来た……」と驚く長男に自転車を渡しました。何とも誇らしい気分で、楽しい一日でした。
（読売新聞　２００９年６月２９日朝刊　「気流」より）

（ヒント）　到着時刻の計算で使う数字を書き出しましょう。

答 え











答 え

　距離：　７０ｋｍ
　自転車の速さ：　時速１５ｋｍ
　出発時刻：　朝５時４５分

　走行時間＝７０ｋｍ／（１５ｋｍ／時間）
　　　　　　　＝（１４／３）時間
　　　　　　　＝（４＋２／３）時間
　　　　　　　＝４時間＋（２／３）×６０分
　　　　　　　＝４時間４０分

　到着時刻＝朝５時４５分＋４時間４０分
　　　　　　　＝朝９時８５分
　　　　　　　＝朝１０時２５分　・・・（答）


2009.07.02 Thursday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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過去問　速さと時間９

　１辺の長さが４ｃｍの正方形ＡＢＣ Ｄがある。辺ＢＣ上にＢＥ＝１ｃｍとなる点Ｅをとる。点Ｐは点Ａを出発して、正方形の辺上を Ａ → Ｂ → Ｃ → Ｄ の順に毎秒１ｃｍの速さでＤまで動く。ＰがＡを出発してから ｘ 秒後の△ＰＤＥの面積を ｙ ｃｍ２ とする。
　０≦ ｘ ≦４ のとき、ｙ を ｘ の式で表せ。

　　　速さの応用グラフ２０

（大阪星光学院高）
（ヒント）
　△ＰＤＥの面積を、「全体−部分」で考えてみましょう。

答 え











答 え

　０≦ ｘ ≦４ のとき、
　ｙ＝正方形の面積−３つの三角形の面積　なので、
　ｙ＝４×４−｛４ｘ／２＋（４−ｘ）／２＋３×４／２｝
　 ＝１６−（２ｘ＋２−ｘ／２＋６）
　 ＝１６−（３ｘ／２＋８）
　 ＝−３ｘ／２＋８　・・・（答）

　　　速さの応用グラフ２１


（別解）
　ｙ＝台形ＡＢＥＤ−（△ＡＰＤ＋△ＰＢＥ）
　 ＝４（４＋１）／２−｛４ｘ／２＋（４−ｘ）／２｝
　 ＝１０−（２ｘ＋２−ｘ／２）
　 ＝１０−（３ｘ／２＋２）
　 ＝−３ｘ／２＋８

（参考）
　ｙ＝８−３ｘ／２　または、ｙ＝（１６−３ｘ）／２　と書いても、まちがいではありません。しかし、直線の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂ の形で表すので、ｙ＝−３ｘ／２＋８　と答えるのがふつうです。

　　　速さの応用グラフ２２


2009.07.01 Wednesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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速さの応用　まとめ３

グラフの交点を求める
　太郎君と花子さんは１０ｋｍはなれた所にいます。二人は会うことになりました。太郎君は８時１０分に自転車で出発し、花子さんは８時に歩いて出発しました。グラフを見て、つぎの問いに答えてください。
１．　太郎君と花子さんは、それぞれ時速何ｋｍで進んでいますか。
２．　二人は何時何分に会えますか。
３．　二人が会うのは、花子さんが出発してから何ｋｍの所ですか。

　　　速さ応用グラフ１２

答 え

直線の式と交点
　上のグラフを見て、つぎの問いに答えてください。
１．　太郎の直線の式を求めてください。
２．　花子の直線の式を求めてください。
３．　出会う時刻と、それまで花子が歩いた距離を求めてください。

答 え

水量が増えるグラフ
　２０Ｌ（リットル）の水がはいる空の水そうに、毎分２Ｌの割合で水を入れ、いっぱいになったら水を止める。水を入れ始めて ｘ 分後の水そうの水の量をｙ Ｌとして ｘ と ｙ の関係をグラフに表すと図のようになった。
　空の水そうに水を入れ始めて４分後から、空の水そうに水を入れ始めて ａ 分後までの間に増えた水の量は１０Ｌであった。このとき ａ の値を求めなさい。

　　　速さ応用グラフ１４
（神奈川県立光陵高校）
答 え


2009.06.30 Tuesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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速さの応用　まとめ２

地図から時間を計算
１．　２万５０００分の１の地図上で、四国にある四万十（しまんと）大橋の長さをはかると、２．６ｃｍありました。この橋を時速３ｋｍで歩いてわたると何分かかりますか。

　　速さ　四万十大橋　（出典： 国土地理院 地図土佐中村）

２．　北海道の礼文島（れぶんとう）に、久種湖（くしゅこ）という湖があります。地図上で、湖の最長幅を測ると７ｃｍありました。地図についている物差しでは、１．５ｃｍが２５０ｍになっています。
　湖の最長幅をボートでわたると１時間４０分かかりました。ボートは時速何ｋｍで進みましたか。

　　速さ　久種湖　（出典： 国土地理院地図 船泊）

答 え

速さのグラフを読む
１．　図１〜図３のグラフは、ア〜エのどれを表していますか。

　ア　だんだん速くなり、同じ速さで遠ざかる。
　イ　はなれた所から、同じ速さで遠ざかる。
　ウ　ななれた所から、同じ速さで近づく。
　エ　時間がたってから、同じ速さで遠ざかる。

　速さのグラフを読む２

２．　図４のグラフは、ア〜エのどれを表していますか。たて軸（じく）は家からの距離です。

　ア　家から走って公園に行き、すぐに走って家に帰った。
　イ　家から歩いて公園に行き、休んだあと走って家に帰った。
　ウ　家から走って公園に行き、休んだあと歩いて家に帰った。
　エ　家から走って公園に行き、すぐに歩いて家に帰った。

　　速さのグラフを読む３

答 え

グラフから速さを求める
１．　弟はハイキングに行くため、朝の４時に家から歩いて駅に向かっています。弟が忘れ物をしたので、２０分後に兄が自転車で弟を追いかけました。グラフを見て、つぎの問いに答えてください。
（１） 弟と兄はそれぞれ時速何ｋｍで進んでいますか。
（２） 兄が追いかけてから何分後に弟に追いつきますか。

　　　速さ応用　グラフ５

２．　優花さんは１０時に車に乗り、郊外（こうがい）のレストランに食事に行きました。１２時から１３時まで食事をしたあと、１６時までに家にもどらなければなりません。グラフを見て、つぎの問いに答えてください。
（１） レストランまで何ｋｍはなれていますか。
（２） 車は時速何ｋｍでレストランに向かいましたか。
（３） １６時までに家にもどるには、車は時速何ｋｍ以上で走らなければなりませんか。

　　　速さ応用　グラフ６

答 え


2009.06.29 Monday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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速さの応用　まとめ１

通過する時間
１．　時速９０ｋｍで走る電車が、全長２．１ｋｍのトンネルを通過するのに１分３０秒かかりました。電車の長さは何ｍですか。

　　　トンネルのを通過

２．　電車の速さを調べることにしました。目印の地点を電車が通過するまでの時間をはかったところ９秒でした。列車は８台つながっていて、１台の長さは１９ｍです。となりの１台とは５０ｃｍ間があいています。電車の速さは時速何ｋｍですか。小数で答えてください。

　　　目印を通過

答 え

草を食べる速さ
　牧場内の草を、馬２８頭が４週間で食べてしまいます。馬１７頭の場合、８週間で食べてしまいます。馬が何頭ののとき、１１週間で食べてしまいますか。牧場の草が生える速さは同じです。

　　　食べる速さと生える速さ　

答 え

仕事に要する時間
１．　６人で田植えをすると８時間かかります。６人で田植えをはじめ、３時間たったところで、急用のため１人がいなくなりました。終わるまで、あと何時間かかりますか。

２．　牧場の草を Ａ Ｂ Ｃ の３人で刈ると１日で終わります。Ａだけで刈ると２日かかり、Ｂだけで刈ると３日かかります。Ｃ だけで刈ると何日かかりますか。

答 え


2009.06.27 Saturday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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過去問　速さと時間８

　図１のように、縦２０ｃｍ、横３０ｃｍ、深さ２０ｃｍの直方体の形をした空（から）の水そうの中に、高さ１２ｃｍの直方体の鉄のおもりを入れ、水そうの底に固定しておく。この水そうに、毎秒５０ｃｍ３ の割合で満水になるまで水を入れる。水を入れ始めてから ｘ 秒後の、水そうの底から水面まえでの高さを ｙ ｃｍとする。
　図２は、 ｘ ， ｙ の関係を途中までグラフに表したものである。

　速さ応用　グラフ１８

　次の１から３に答えなさい。
１．　図２のグラフで、ｘ が ０≦ｘ≦８４ のとき、 ｙ を ｘ の式で表しなさい。
２．　このおもりの底面積を求めなさい。
３．　水を入れ始めてから満水になるまでの、 ｘ ， ｙ の関係を表したグラフが、次の（ア）から（エ）の中に１つある。そのグラフを選び、記号で答えなさい。

　速さ応用　グラフ１９

（山口県高）
（ヒント）
　問３は、それぞれのグラフを説明してみましょう。たとえば（ア）のグラフなら、同じ速さで水が増えていますね。

答 え











答 え
１．
　直線を、ｙ＝ａｘ＋ｂ　とすると、
　（０，０）と（８４，１２）を通るので、
　０＝０ａ＋ｂ　　　・・・��
　１２＝８４ａ＋ｂ　・・・��
　�，�ら、ｂ＝０
　�△�ら、１２＝８４ａ＋０
　ａ＝１２／８４＝１／７
　よって、ｙ＝（１／７）ｘ　・・・（答）
（別解）
　原点（０，０）を通る直線の式は、ｙ＝ａｘ で表すことができる。　（ → 直線の式と交点 ）
　直線は（８４，１２）を通るので、１２＝８４ａ
　ａ＝１２／８４＝１／７
　よって、ｙ＝（１／７）ｘ

２．
　おもりの底面積をＳｃｍ２とする。水の高さが１２ｃｍになったとき、容積と入れた水の量は等しいので、
　１２（３０×２０−Ｓ）＝５０×８４
　６００−Ｓ＝５０×７
　Ｓ＝６００−３５０＝２５０ （ｃｍ２）　　・・・（答）

３．　（ウ）
（ア）　同じ速さで水は増えない。　×
（イ）　１２ｃｍから水の増えかた速くなっている。　×
（ウ）　１２ｃｍから水の増えかたが遅くなっている。　○
（エ）　１２ｃｍで、水が増えないことはない。　×


2009.06.26 Friday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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速さの応用　規則集３

グラフの交点を求める
ｘ （よこ）軸が時間、ｙ （たて）軸が距離のグラフで、
２つの直線が交わる点（ｘ，ｙ）は同じ時刻と場所を表す。
　一方にが他方に追いつく時刻と場所 （図１）
　両者が出会う時刻と場所 （図２）

速さ応用グラフ１７

直線の式と交点
１．　直線は、ななめ線の式か、たて線の式で表すことができる。
　　ｙ＝ａｘ＋ｂ　（ななめ線）　・・・��
　　　ｂ＝０ のとき、ｙ＝ａｘ　（原点を通るななめ線）　・・・��
　　　ａ＝０ のとき、ｙ＝ｂ　（よこ線）　・・・��
　　ｘ＝ｃ　（たて線）　・・・��

　速さ応用グラフ１１

２．　２点の（ｘ，ｙ）から直線の式が分かる。
例：　兄の直線の式 （図１）
　ｙ＝ａｘ＋ｂ　とする。
　（２０，０）と（６０，８）を通るので、
　０＝２０ａ＋ｂ　・・・��
　８＝６０ａ＋ｂ　・・・��
　�◆櫚，�ら、８＝４０ａ
　ａ＝１／５
　�，�ら、ｂ＝０−２０ａ＝−４
　よって兄の直線の式は、ｙ＝（１／５）ｘ−４

３．　２つの直線の交点は、直線の式を解いて求めることができる。
例：　兄が弟に追いつく時刻と距離 （図１）
　兄の直線の式：　ｙ＝（１／５）ｘ−４　・・・��
　弟の直線の式：　ｙ＝（１／１５）ｘ　　 ・・・��
　�　甅△覆里如◆複院殖機烹�−４＝（１／１５）ｘ
　両辺を１５倍すると、３ｘ−６０＝ｘ
　ｘ＝３０ （分）
　�△�ら、ｙ＝（１／１５）×３０＝２ （ｋｍ）
　よって、４時３０分に、２ｋｍの所で追いつく。

水量が増えるグラフ
例：　１００Ｌ（リットル）の水そうに水が３０Ｌ入っている。毎分２０Ｌの割合で水を入れると、いっぱいになるのは何分後か。

　　　速さ応用グラフ１３

　ななめ線の式を、ｙ＝ａｘ＋ｂ とする。
　（０，３０）と（１，５０）を通るので、
　３０＝０ａ＋ｂ　・・・��
　５０＝１ａ＋ｂ　・・・��
　�，�ら、ｂ＝３０
　�△�ら、５０＝ａ＋３０
　ａ＝２０
　よってななめ線は、ｙ＝２０ｘ＋３０　・・・��
　いっぱいになるのは、ｙ＝１００　・・・��
　��と�い慮鯏世�、いっぱいになる時刻と水量を表す。
　�い鬮�に代入すると、１００＝２０ｘ＋３０
　よって、ｘ＝３．５ （分後）


2009.06.24 Wednesday | written by 筆 者 | ページの先頭へ
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