中学から数学だいすき!

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直線と放物線の交点1

 直線と放物線が交わる問題を解いてみましょう。

例題
 関数 y=2x と直線がAとBで交わっています。Aの x 座標は−1で、Bの x 座標は3です。
(1) 直線の式を求めてください。
(2) 線分ABの長さを求めてください。

   放物線と直線の交点

(1) はじめに、AとBの y 座標を求めます。
  Aは、y=2(−1)=2
  Bは、y=2(3)=18
  よって、A(−1,2)、B(3,18)
 直線の式を、y=ax+b とすると、
  2=−a+b ・・・
 18=3a+b  ・・・
  ◆櫚,ら、16=4a a=4
  ,ら、b=2+a=6
  よって、y=4x+6 ・・・(答)

(2) ABを斜辺とする直角三角形を考えます。
  x 軸に平行な辺=3−(−1)=4
  y 軸に平行な辺=18−2=16
 三平方の定理から、
  AB=(4+16)=417 ・・・(答)

練習
 左の図で、曲線は関数 y=ax (a>0) のグラフを表しています。原点から点(1,0)までの距離および原点から点(0,1)までの距離を1cmとします。

  放物線と直線の交点・面積

1. a=2 のとき、直線 y=x+b (b>0) との交点のうち、x 座標が−1である点をAとします。このとき、b の値を求めてください。

2. 右の図の曲線は、a=1/4 の場合を表しています。曲線上に x 座標が正の数である点Pをとり、点Pを通り x 軸に平行な直線をひき、y 軸との交点をQとします。また、x 軸上にx 座標が正の数である点Rをとります。PQRが正三角形となるとき、PQRの面積を求めてください。 (都立青山高)

答 え










答 え
1.
 y=2x と y=x+b の交点Aの y 座標は、
 y=2(−1)=2
 A(−1,2)なので、
 2=−1+b
 よって、b=3 ・・・(答)

2.
 Pの座標がわかれば、PQ×QO/2 で面積が求まる。
 Pの x 座標を x とすると、Pの y 座標は、
 y=x/4
 よって、P(x,x/4)
 面積は、x(x/4)/2=x/8 で求まる。

 QR:QO=PQ:QO
 x:x/4=2:3 なので、 → 直角三角形の辺の比
 x/2=x
 x(x−23)=0
 x>0 なので、x=2√

 よって、PQR=(23)/8=33 (cm) ・・・(答)


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