中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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2つの放物線上の点

 中学で学習する放物線の頂点は原点上にあります。そのため、2つの放物線が十字に交わることはありません。これから、放物線上の点を結ぶ問題を解いてみましょう。

例題
 Aは、放物線 y=ax (a>0) 上の点です。BとC は、放物線 y=−x/3 上の点です。AとBの x 座標は2です。ABは y 軸に平行で、BC は x 軸に平行です。AB=BC のとき、a の値を求めてください。 (栃木県高)

   例題 2つの放物線

 初めに3点の座標を求め、次にAB=BC の条件を当てはめます。
  A(2,4a)
  B(2,−4/3)
  C (−2,−4/3)
 AB=BC なので、
  4a+4/3=4  両辺を4でわって、3をかけると、
  3a+1=3
  よって、a=2/3 ・・・(答)

(参考)
 線分ABの長さは、点Aと点Bの座標から求まります。

練習
 下図のように、関数 y=x のグラフ上に2点A,C、関数 y=4x のグラフ上に点Bがあり、次の条件ア〜ウをみたしています。
 ア A,B,C の x 座標は正である。
 イ A,Bの x 座標は等しい。
 ウ B,C の y 座標は等しい。

   練習 2つの放物線

 このとき、次の問いに答えてください。

1. A(1,1)のとき、B(1,4)、C (2,4)となります。このとき、AとC を通る直線の式を求めてください。

2. Aの x 座標が3のとき、C の座標を求めてください。

3. Aの x 座標を a とします。3点A,B,C を結んでできるABC が二等辺三角形になるとき、a の値を求めてください。 (富山県高)

答 え










答 え
1.
 AC を通る直線の式を、y=ax+b とすると、
 A(1,1)、C (2,4)なので、
  1=a+b  ・・・
  4=2a+b ・・・
  ◆櫚,ら、3=a
  ,ら、b=1−a=−2
 よって、y=3x−2 ・・・(答)

2.
 Aの x 座標が3のとき、
 A(3,9)
 B(3,36)
 C (x,36) 36=x (x>0) なので、
 x=6
 よって、C (6,36) ・・・(答)

3.
 初めに3点の座標を求め、次に三角形の条件を当てはめる。
  A(a,a
  B(a,4a
  C (x,4a) 4a=x (x>0) なので、
  x=2a
  よって、C (2a,4a
 ABC はBが直角なので、AB=BC の直角二等辺三角形である。
  AB=4a−a=3a
  BC=2a−a=a
  3a=a
  a(3a−1)=0
  A,B,C の x 座標は正なので、a
  よって、a=1/3 ・・・(答)


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