中学から数学だいすき!

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放物線と垂線

 直線と垂直に交わる直線を垂線といいます。これから、放物線と垂線の問題を解いてみましょう。

例題
 点(−2,−2)を通り、傾き2の直線があります。この直線が放物線 y=x と交わる2点をP,Qとします。下図のように、P,Qから x 軸に下した垂線をPA,QBとするとき、線分ABの長さを求めてください。
(関西学院高等部)
   放物線と垂線_例題

 初めに直線の式を求め、次に直線と放物線の交点を求めます。
  直線の式は傾きが2なので、y=2x+b と表すことができます。
  (−2,−2)を通るので、
  −2=−4+b から、b=2
  直線の式は、y=2x+2
 直線と放物線の交点の x 座標を求めます。
 2x+2=x
 x−2x−2=0 平方完成するために、両辺に3をたすと、
 x−2x+1=3
 (x−1)=3
 x=1±
 AB=(1+3)−(1−3)=23 ・・・(答)

(参考)
 x−2x−2=0 を2次方程式の解の公式で解くと、
 x={2±(4+8)}/2=1±

練習
 下図のように、関数 y=x のグラフと直線の交点をP,Qとし、直線と y 軸との交点をRとします。また、点Pの y 座標は16で、OPRとOQRの面積比は4:3とします。

   放物線と垂線_問題

 このとき、次の問いに答えてください。

1. PとQの座標と、直線の式を求めてください。

2. 線分PQの長さを求めてください。

3. 原点Oから直線に垂線を引き、直線との交点をHとするとき、OHの長さを求めてください。

4. OPQを、直線を軸として1回転させてできる立体の体積を求めてください。 (福井県高)

答 え










答 え
1.
 P,Qの座標を求める。
  P(x,16)とすると、16=x
  x<0 から、x=−4
  P(−4,16) ・・・(答)
  Q(x,x)とすると、OPRとOQRの高さは共通のOHなので、
  PR:QR=4:3
  分ける点Rの x 座標は0なので、
  0={3×(−4)+4x}/(4+3)   ← 分ける点の座標
  x=3
  よって、Q(3,9) ・・・(答)
 直線の式を、y=ax+b とすると、
  P(−4,16)とQ(3,9)を通るので、
  16=−4a+b ・・・
   9=3a+b   ・・・
   櫚△ら、7=−7a a=−1
  △ら、b=9−3a=12
  よって、y=−x+12 ・・・(答)

2.
 P(−4,16)、Q(3,9)なので、
 PQ={(3+4)+(9−16)
   =72 ・・・(答)
3.
 Hの座標を求め、OHを計算する。
 直線 y=−x+12 に垂直なOHの式は、
 y=x である。
 x=−x+12 から、x=6
 y=x=6
 H(6,6)なので、
 OH=(6+6)=62 ・・・(答)

   放物線と垂線_解答
4.
 高さPHの円錐(すい)の体積から、高さQHの円錐の体積を引く。
 Q(3,9)、H(6,6)から、
 QH=(9+9)=3
 PH=PQ+QH=10
 体積=(/3)π(62)(102−32)
    =168(2)π ・・・(答)

(参考) 円錐の体積計算で1/3がつく理由: 角錐・円錐の体積


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