中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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場合の数と確率

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  確率の求め方を確認し、さいころやカードの確率を計算してみましょう。

 あることがらが起こる可能性の度合いを確率といいます。確率 p は、そのことが起こる場合の数 n を、起こりうる全体の場合の数 N で割った値です。確率の p は確からしさ(probability:プロバビリティ)を表しています。

規則
 確率 p=n/N
 n : 対象の場合の数   N: 全ての場合の数

 なお、どの場合が起きることも同様に確からしいことが、計算の前提になっています(本稿では記述省略)
(参考) 部分と全体
 確率は、全体に対する部分の割合を表しています。同様の割合には、消費税、濃度、扇形と円の面積、標本と母集団などがあります。

例題1
 さいころを1回投げて3の倍数が出る確率を求めてください。

  サイコロ

 数字が出る可能性は、1か2か…6 なので、N=6
 このうち 3の倍数は、3か6 なので、n=2
 よって、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)

例題2
 1、2、3 と書かれた3枚のカードがあります。この3枚のカードから1枚のカードをひき、残ったカードに書かれた数字の和が4以上になる確率を求めてください。

  【1】 【2】 【3】

 残った2枚のカードの組合せは、
 {1,2}、{1,3}、{2,3} なので、N=3
 このうち、和が4以上になる組み合わせは、
 {1,3}、{2,3}なので、n=2
 よって、p=n/N=2/3 ・・・(答)

(参考) 組合せ、並べ方の表し方
 2数の和は、数をたす順序を考える必要はありません。
 1+2 でも 2+1 でも同じなので、
 {1,2} のように、組合せで場合を表すことができます。
 一方、1 と 2 で2桁の数をつくる場合、12 と 21 は異なります。
 並べる数字に順序があるからで、
 (1,2)、(2、1) のように、並べ方で場合を表すことができます。
 {1,2}は、(1,2) (2,1) を区別しない書き方です。

練習
1. 2、3、5、7 の数字を1つずつ書いた4枚のカードがあります。この4枚のカードを並べてできる4けたの数字のうち、偶数は全部で何個ありますか。
(北海道高)
2. 1、1、1、2、2、3 と書かれた6枚のカードがあります。この6枚のカードから3枚のカードをひき、ひいた順にカードを並べて3桁の整数をつくるとき、230以下の異なる整数は何通りありますか。
(都立八王子東高)
3. 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が4の倍数となる確率を求めてください。

答 え











答 え
1.
 偶数となるのは、一の位が2のときなので、
 対象の場合の数は、
  千の位: 3か5か7の3通り
  百の位: 残りの2通り
  十の位: 残りの1通り
  一の位: 2の1通り
  n=3×2×1×1=6 (通り)
(答) 6個

2.
 230以下となる並べ方は、
  (1,1,1か2か3) 3通り
  (1,2,1か2か3) 3通り
  (1,3,1か2)    2通り
  (2,1,1か2か3) 3通り
  (2,2,1か3)    2通り
 よって、3+3+2+3+2=13 (通り) ・・・(答)

3.
 目の出方は、大のさいころが6通り、小のさいころが6通りから、
 全ての場合の数は、
  N=6×6=36 (通り)
 和が4の倍数(=4、8、12)となる(大,小)の並べ方は、
  (1,3) (3,1) 2通り
  (2,2)      1通り
  (2,6) (6,2) 2通り
  (3,5) (5,3) 2通り
  (4,4)      1通り
  (6,6)      1通り
 対象の場合の数は、
  n=2+1+2+2+1+1=9 (通り)
 よって、確率は p=n/N=9/36=1/4 ・・・(答)

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