中学から数学だいすき!

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カードと2数の和

確率を求める >

 取り出したカードの2数の和をもとに確率を求めてみましょう。

 はじめに、並べ方と組合せの数の求め方を確かめてください。
例: A、B、C、D、E と書かれた5枚のカードから、同時に3枚を取り出す。
 【A】 【B】 【C】 【D】 【E】 → 【A】 【B】 【C】

 全ての並べ方は、1枚目が5通りで、2枚目が残りの4通りで、3枚目が残りの3通りから、
  全ての並べ方=5×4×3=60 (通り)
 例えば、取り出した3枚の組合せ {A,B,C} は、(A,B,C)(B,C,A)(C,A,B) の3通りの並べ方になる。
 Aに相当するカードは3通りで、Bに相当するカードは残りの2通りで、C に相当するカードは残りの1通りとなり、
 全ての並べ方のうち、3×2×1(通り)が重複するので、
  全ての組合せ=5×4×3/(3×2×1)=10 (通り)
 つまり、
  全ての組合せ=全ての並べ方/(選んだ枚数の重複分)

例題
 1、3、5、7、9 と書かれた5枚のカードが箱に入っています。この箱から2枚のカードを同時に取り出すとき、取り出した2枚のカードに書いてある数の和が1桁の数である確率はいくらですか。
(大阪府高)
 2数が取り出される全ての組合せは、
  N=5×4/(2×1)=10 (通り)
 2数の和が1桁の数となる組合せは、
  {1,3か5か7} 3通り
  {3,5}      1通り
  n=3+1=4 (通り)
 p=n/N=4/10=2/5 ・・・(答)

練習
1. 0、1、2、3、4、5 と書かれた6枚のカードがあります。その中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数を a としてもとにもどします。もう一度、その中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数を b とします。
 このとき、a+b が素数になる確率を求めてください。
(神奈川県高)

2. 1、1、2、2、2、3 と書かれた6枚のカードがあります。この中から同時に2枚のカードをひくとき、2枚のカードに書かれた数の和が4となる確率を求めてください。
(高知県高)
答 え











答 え
1.
 カードをもとに戻すので、全ての並べ方は、
  N=6×6=36 (通り)
 0≦a≦5、0≦b≦5 から、0≦a+b≦10
 この条件を満たす素数は、
  a+b=2,3,5,7
 a+b が素数になる並べ方(a,b)は、
  (0,2か3か5)   3通り
  (1,1か2か4)   3通り
  (2,0か1か3か5) 4通り
  (3,0か2か4)   3通り
  (4,1か3)      2通り
  (5,0か2)      2通り
  n=3×3+4+2×2=17 (通り)
 p=n/N=17/36 ・・・(答)

2.
 6枚から2枚を取り出す全ての組合せは、
  N=6×5/(2×1)=15 (通り)
 1、1、2、2、2、3 を区別するため、a、b、c、d、e、f とする。
 2数の和が4になる組合せは、
  {aかb,f}       2通り
  {c,d}{d,e}{e,c} 3通り
  n=2+3=5 (通り)
 p=n/N=5/15=1/3 ・・・(答)

(参考) 並べ方で解く
 全ての並べ方は、
  N=6×5=30 (通り)
 2数の和が4になる並べ方は、
  {aかb,f}       4通り
  {c,d}{d,e}{e,c} 6通り
  n=4+6=10 (通り)
 p=n/N=10/30=1/3 ・・・(答)

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