中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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2011/1/17 新システム移行のため回答が遅くなりました。悠さんの質問にお答えします。
「直径1の円」なので、半径は1/2 です。したがって、直角二等辺三角形の3辺の長さは、1/2、1/2、√2/2(斜辺)となり、斜辺=内接する正方形の1辺=√2/2 です。 (筆者)
2010/12/18 円周率を求める
初めて質問させていただきます。
例題の解説に、「内接する正方形の1辺は、√2/2」となっていましたが、その理由が分かりませんでした。
自分でも調べてみたのですが、ある解説では「半径1の円に内接する正方形の1辺の長さ」が√2とされていたため余計に混乱してしまいました。
この問題を考える際に、真っ先に1:1:√2の二等辺三角形を思い浮かべたのですが、それとは違うのでしょうか。
基本的な質問かと思いますが、どうか宜しくお願いします。(悠)
2011/1/17 三重県の方、コメントをありがとうございます。お役に立てて幸甚です。 (筆者)
2010/12/7 平行線と三角形の面積
小学校で三角形の面積の求め方は公式しか教えてもらえませんでした。なので、大人になって考えてみると四角を半分に割ればいいことにやっと気付きました。しかし、底辺が同じものだけれど,量明僂任覆い茲Δ覆發里呂匹Δ笋辰撞瓩瓩譴个いい鵑澄と困っていたところここに来てよくわかりました。大変助かりました。(三重県の公立小卒)
2011/1/17 わらDEさん、うれしいコメントをありがとうございます。 (筆者)
2010/10/20 方程式で問題を解く
良かったです。(わらDE)
2010/10/19 ななしさんの質問にお答えします。
−x+4>0 の両辺に x をたすのは、x の不等式を解くためです。等式と同じように、不等式の両辺に同じ数をたしても不等式は成り立ちます。ただし、負の数をかける場合は、不等号が逆向きになります。 参考:自然数を求める 規則集3 (筆者)
2010/10/17 変域を示す
例題1の解説4行目 「y=−x+4>0 から、不等式の両辺にxを足すと、4>x」の両辺にxを足す意味がわかりません。教えてください。 (ななし)
2010/10/13 名無しさん、コメントありがとうございます。
 絶対値のコメントがほかにもあります。2007/5/12 2009/12/27
 絶対値は符合をはずした値です。−+の符合を方向とすると、絶対値は符合を取った距離に相当します。 2009/4/7 「正の数と負の数」のコメントを参照ください。 (筆者)
2010/10/11 絶対値の意味
ありがとうございました! (名無し)
2010/9/16 p さん、お役に立ててよかったです。
比は、数学でよく使います。相似比のほかに、線分比と面積比黄金比もあります。 (筆者)
2010/9/15 比の表し方と計算
役に立ったZE (p)
2010/5/19 どらごんさん、うれしいコメントありがとうございます。
放物線と直線の交点については、「中学の数学総合 交点を求める 」でも説明していますよ。 (筆者)
2010/5/18 放物線と直線の交点
このサイトがあって助かりました。なかなか基礎が載ってるサイトすくないんですよ〜。ありがとうございました。(^^) (どらごん)
2010/4/15
優貴さんの質問にお答えします。和が9で積が0の2数は、0と9です。
説明1
a+b=9 ・・・
ab=0 ・・・
,ら、b=9−a これを△紡綟すると、
a(9−a)=0
よって、a=0,9 同様に、b=0,9
したがって、2数は0と9です。
説明2
a+b=9 で、ab=0 となる2数は、次の方程式の解になります。
−(a+b)x+ab=(x−a)(x−b)=0
−9x=0 なので、x(x−9)=0
よって、x=0,9 (筆者
2010/4/14 規則的な連立方程式2
はじめまして
質問なのですが、和が9で積が0の場合はどうなるのでしょうか? (優貴)
2010/4/15 名なしさん、コメントありがとうございます。励みになります。 (筆者)
2010/4/14 点対称な図形
わかりやすかったです!
ありがとうございます。 (名なし)
2010/3/6 traseさん、うれしいコメントをありがとうございます。
背理法の説明を、論理学と数学の両方で試みました。ご理解いただき幸甚です。 (筆者)
2010/3/6 背理法による証明
分かりやすくていいですね!
背理法が意味不明だったので調べていたんですが、
此処が一番分かりやすかったです。 (trase)
2010/2/22 5さんのコメントを読みました。記事は、中学2年の教科書で学習する内容です。確率について簡単に説明します。
 確率=部分/全体 を表したものです。部分は、それが起きる場合の数です。全体は、全部が起きる場合の数です。
 たとえば、サイコロ1個を投げたとします。1の目が出る場合は1通り(部分)、目が出る場合は6通り(全体)なので、1の目が出る確率(=可能性)は、1/6(17%)になります。
 偶数の目が出る確率は、2か4か6の3通りなので、部分/全体=3/6=1/2です。
 AとBの百円硬貨2枚を投げた場合、上になる図柄は、Aは表裏の2通り、Bも2通りですね。したがって、全体は2×2の組み合わせから、4通りになります。両方が表になるのは、A表
B表の1通りなので、確率は1/4となります。
 どちらか1枚だけが表になるのは、A表
B表の2通りなので、確率は2/4=1/2です。少なくとも1枚表になるのは、A表か、B表か、AもBも表の3通りなので、確率は
3/4になります。
 確率が分かるようになるといいですね。 (筆者)
2010/2/21 場合の数を求める
確率 難しい。なんかちゃんと理解できてないです…。 (5)
2010/2/20
カヨさん、コメントありがとうございます。
ご指摘のように、 「連立方程式の解の公式」の内容は難しいかもしれませんね。
数学の応用と考えていただければ、と思います。解の公式を使うと、パソコンで連立方程式が解けます。
(参考)
神奈川県の公立高校入試(2010.2.18)に、連立方程式の問題が出ています。
 2x+3y=1
 3x−5y=11
これを解の公式で解くと、
x={1×(−5)−11×3}/{2×(−5)−3×3}
 =−38/(−19)=2
y=(2×11−3×1)/{2×(−5)−3×3}
 =19/(−19)=−1
(x,y)=(2,−1) と計算できます。 (筆者)
2010/2/18 連立方程式を解く まとめ4
難しいですね…。(カヨ)
2010/1/23 数学苦手さん、新年最初の質問をありがとうございます。
方程式の原理と、最小公倍数の考え方が途中の計算にかくれています。
1.方程式の原理
 等式の両辺に同じ数を掛ける(割る、足す、引く)ことができる。
例: X−(X−1)/2=1/3  両辺に6を掛けると、
    6X−3(X−1)=2 になりますね。
2.最小公倍数
 たとえば、A=1/4+1/6 を計算してみましょう。
 分母を払うために、両辺に 4×6=24 をかけると、
 24A=6+4  よって、A=10/24=5/12 …(答)
(別解)
 
両辺に(4,6)の最小公倍数である12を掛けると、
 12A=3+2 よって、A=5/12 …(答)
 最小公倍数を掛けるほうが、式の係数が小さくなります。

質問にもどります。X−(X−1)/2=1/3 の分母を払うため、(2,3)の最小公倍数6をかけると、
 6X−3(X−1)=2 になります。
(参考)
3つの数の最小公倍数 通分する・分母を払う  (筆者)
2010/1/21 分数の方程式
X−(X−1)/2=1/3 を解きます。左辺の分母を消すには2をかけます。右辺の分母を消すには3をかけます。両辺の分母を消すには、2×3=6をかければよいので・・・
素人質問ですみません。なぜ、以下になるのでしょうか?途中の工程を教えて下さい。
 6X−3(X−1)=2  
宜しくお願いします。 (数学苦手)
2009/12/28 瀬威さん、コメントありがとうございます。
コメントの
「2009/4/5 正の数と負の数」も参考になるかと思います。 (筆者)
2009/12/27 絶対値の意味
わかりやすくてためになりました。 (瀬威)
2009/12/5 かずたかさん、コメントありがとうございます。お役に立てて幸いです。 (筆者)
2009/12/3 平行線と中点連結定理
助かった(^3^)/ (かずたか)
2009/11/22 名無しさんの質問にお答えします。
犬を xkg、猫を ykg、ネズミを zkgとすると、
 x+y=12 ・・・
 x+z=9  ・・・
 y+z=5  ・・・
zを消去するため◆櫚から、
 x−y=4  ・・・
yを消去するため 椨いら、
 2x=16 よって、x=8
,ら、8+y=12 よって、y=4
△ら、8+z=9 よって、z=1
(答) 犬8kg 猫4kg ネズミ1kg
(別解)
´△蓮■ → y → z のように
循環しているので、
 椨◆椨から、
 2(x+y+z)=12+9+5
 
x+y+z=13 ・・・
イ豊を代入すると、x+5=13  よって、x=8 (kg)
イ豊△鯊綟すると、y+9=13  よって、y=4 (kg)
イ豊,鯊綟すると、z+12=13 よって、z=1 (kg)
2009/11/19 方程式で問題を解く
犬+猫=12キロ
犬+ネズミ=9キロ
猫+ネズミ=5キロ
それぞれの体重は何キロか? (名無し)
2009/11/14 Sさん、コメントありがとうございます。
命題「あるXについて、X+1≧0 ならば、X+2≧0 である」は、正しいのではないでしょうか。命題を言い換えると、「あるXについて、X≧−1 ならば、X+2≧0 である」となります。例えば、
 X=−1 ならば、−1+2=1≧0
 X=−0.9 ならば、−0.9+2=1.1≧0
 X=0 ならば、0+2=2≧0 です。 (筆者)
2009/11/13 背理法による証明
「『X+1≧0 ならば、X<−1』と仮定する。X=−2 とすると、X+1=−1 になり、X+1≧0 ではなくなる。仮定がまちがっているからであり、X<−1でない。 いいかえると、X≧−1 である」という証明が通用するならば、「X+1≧0 ならば、X+2≧0」も真になってしまう。 (S)
2009/9/5 のんさん、コメントありがとうございます。
中点連結定理は、三角形の重心立方体の断面の面積で使われています。 (筆者)
2009/9/5 平行線と中点連結定理
高3ですがついわすれてて´`Σ役立ちました^ω^
(のん)
2009/7/27 テイクウッズさんの質問にお答えします。
n=2,5,10,23 のときに、
(n2+96)=10,11,14,25 の整数になります。
解法を、「自然数を求める問題」にまとめました。 (筆者)
2009/7/25 自然数の問題
中学三年生の孫から次の質問を受けました。出来ましたら解をお教え下さい。
問題 (n
2+96)の平方根が整数になる自然数nを全て求めよ。 (テイクウッズ)
2009/6/15 koji さんの質問にお答えします。
「それぞれの時間は一緒」ではありません。太郎は10分遅れて出発しているので、
 x/12
+10/60=(10−x)/4 です。両辺を60倍すると、
 5x+10=150−15x
 20x=140 から、x=7 (km)
花子は10−7=3 (km) 歩くので、
合流するまでの時間は、(3/4)×60=45 (分)
よって、8時45分に合流します。 (筆者)
2009/6/13 グラフの交点を求める
練習問題2の解法についてお尋ねします。
太郎、花子の合流点xの距離から求める解法を教えてください。
合流点xまでの距離を太郎xkm,花子(10-x)kmとした場合、それぞれの時間は一緒ですから次の式が成り立つと思います。
 x/12=(10-x)/4
 x=7.5km
従って仮に太郎の進んだ時間は
7.5/12*60分=37.5分となるのですが・・・・・
この誤りを指摘してください。
宜しくお願い致します。 (koji)
2009/4/28 ばくさんの質問にお答えします。
 7回目は、7+・・・+2+1=7(7+1)/2
2で割る理由は、数の列を逆に並べてたすと、和は2倍になるからです。
  S=7+・・・+2+1 とすると、
  S=1+2+・・・+7
 2S=7(1+7)
よって、S=7(7+1)/2 です。
この説明を本文に追加しました。 (筆者)
2009/4/28 おはじきの問題 練習1
三角形にならべて7回目の数。順番に足して正解28。解答では n(n−1)/2 より答えになっているのですが、どうしてここで2でわるのでしょうか。規則性の法則を導き出すまでがよくわからず困ってます。 (ばく)
2009/4/28 ばくさん、コメントありがとうございます。
すばらしいことですね。数学は用語の積み重ねなので、一つ一つ定義を覚えていきましょう。たとえば数学の教科書では、小学校や中学1、2年で習った用語は、知っているという前提で中学3年の数学が説明されます。分からない用語があれば、目次の下にある検索窓から調べることができます。 (筆者)
2009/4/27 対角線の長さ
わかりすい解説ありがとうございます。本当に受験勉強で詳しい解説が欲しかっ たのでありがたいです。41才から大學受験をしようと再度学習しなおしています。それにしても義務教育の内容をすらきちんと理解していない自分にあぜん。また参考にさせてい ただきます。 数学?の学習にいきたくとも中学がきちんとできていないので進めずもたもたやってます。  (ばく)
2009/4/7 みよさん、数字の1が同じになるのは、距離(きょり)が同じだからです。
 (+)1と−1で、+と−は
方向を表し、1は、距離(きょり)1を表します。
 はじめの所
から、右左に歩くことを考えてみましょう。
 歩くときのルールは、同じ歩幅(=1)で、+5なら右に5歩進み、−4なら左に4歩進むものとします。
 5−4=+5−4 なので、右に5歩進んで、左に4歩進むので、右に1歩の所ですね。
 4−5=+4−5 なので、右に4歩進んで、左に5歩進むので、左に1歩の所です。

        -1   右に4歩進む→|
 ―+―+―+―+―
―+―+―+―+―+―
        |←左に5歩進む  +4

 はじめの所から右に1歩の距離(=1)と、はじめの所から左に1歩の距離(=1)は同じになります。 (筆者)
2009/4/5 正の数と負の数
すみません、教えて下さい。中学1年の数学で、5−4も1、4−5も−1と、答えが同じ数字になるのはどうしてですか? (みよ)
2009/3/17 杏さん、コメントをありがとうございます。「最小公倍数の計算と理由」を新しく書いたのでご覧(らん)ください。
 ・最小公倍数とは何?
 ・3つの最小公倍数はどのように計算するの?
 ・なぜ、そのように計算できるの?
 ・1/4+1/6+1/8 を計算するには?  (筆者)
2009/3/15 通分する・分母を払う
 うーん・・・・・・・・
 わからないです・・・・・・・。 (杏)
2009/2/23 美亜さん、コメントありがとうございます。
次の3つの関係は、角度の問題を解くときに役立ちます。
 ̄濕角と中心角、1澆涼羶瓦鯆催世箸垢詁鹽辺三角形の両底角。 (筆者)
2009/2/20 円周角の定理
数学、たすかります。 ニガテで、、、;  (美亜)
2009/2/7 名なしさん、コメントありがとうございます。
ルートの表示は、インターネットエクスプローラー(IE)によって異なります。IE6は
ですが、IE7は v3 のような表示です。そこで最近は、(√3) のような書き方もしています。
 例: (√3)+(√12)=3(√3)  (筆者)
2009/2/6 平方根の足し算・引き算
他の???とは違い応用など、求めていた解答があったので助かりました!ありがと うございました!
(名なし)
2009/1/27 ごんさん、コメントをありがとうございます。お役に立てて幸いです。 (筆者)
2008/1/26 比例と比の値
子供の宿題教えるのに助かりました。(^O^)  (ごん)
2008/12/11 美羽さん、コメントありがとうございます。お役に立てて幸いです。
三角形の内角の和=180°の証明は、三角形の角の例題1をご覧ください。 (筆者)
2008/12/10 多角形の内角と外角
内角の和の求め方が分からなくて困っていたときにこのブログを見つけました。 とても分かりやすかったです! ありがとうございました^^  (美羽)
2008/12/2 くろねこさん、コメントありがとうございます。直角三角形の合同条件の証明にあるピタゴラスの定理(三平方の定理)は、中3の数学で学びます。 (筆者)
2008/11/27 合同・平行四辺形・円周角 規則集2
すばらしいっ!! (くろねこ)
2008/11/11 名なしさん、コメントありがとうございます。ツルカメ算では、カメの足を2本またはツルの足を4本と仮定して解くことができます。「算数から数学」を参照ください。 (筆者)
2008/11/8 2つ以上の未知数
いやはや〜!簡単ですね!しかし、奥も深いですね。 (名なし)
2008/10/25 あいさん、コメントありがとうございます。回答が遅れてしまいました。
お役に立てて幸いです。小学校で比例、中学校で1次関数と2次関数を学びます。高校では3次関数が出てきます。関数の「対応」という考え方を、勉強・遊び・生活などで役立ててください。 (筆者)
2008/10/16 1次関数 規則集3
すっごく役に立ってます! 1次関数わかるようになりました!  (あい)
2008/9/10 toraさん、コメントありがとうございます。ご指摘のとおりです。答えに、青字の部分を追加しました。 (筆者)
 n=1,2,3,4
 このうち三角形になるのは、n+4>6 なので、n>2
 よって、n=3,4 ・・・(答)
2008/9/10 三角形の辺と角
三平方の導入まで来られたようですが,続きがとても楽しみです。同じく中学数学に関わる者として興味深い解説と良質な例題に感服させられます。 ところで,突然のコメントで申し訳ないのですが,気になったところを一点。 練習問題の3番ですが,n=1,2のときには三角形自体が作れないので,条件を満た すのはn=3,4だけではないでしょうか? (tora)
2008/5/31 duke さんのご質問にお答えします。
0.999…=1 なので(注)、循環小数の0.999… は整数です。同様に、2/2も 整数です。
(注) x=0.999… とすると、10x=9.999… なので、10x−x=9
x=1 なので、0.999…=1 になります。 (筆者)
2008/5/30 整数・自然数・絶対値
0.999...=1ですが、0.999...は整数ではないでしょうか? (duke)
2008/5/23 「中学2年生の親」さんのご質問にお答えします。
式の変形の問題ならば、約分する必要はありません。約分しなくても、約分しても、答えはどちらでもよいからです。
 例: 6x+y=18 から x を求めよ。
    x=(18-y)/6
1次関数または直線の方程式の問題ならば約分します。傾き(3/5)やy軸の交点(0,−3)が分かるからです。
 例1: y=(3x-15)/5 → y=(3/5)x-3 とします。
 例2: x=(18-y)/6 が直線の方程式ならば、
     y=-6x+18 と表すのが普通です。 (筆者)
2008/5/23 分数を含む計算
はじめまして。中学2年生の親です。 お世話になります。 以前も今日も子供の数学の質問に答えることができずにいます。少し、上記の問題と 異なりますが、ネットで調べて見てこちらに行き当たりました。 検討違いでしたら、このコメント削除いただいても構いません。 方程式の解で分数のままの解と約分した解の どれが正解なのか。解答書では二つがあるので理解に苦しみます。 左が解答書、右が考えられる解答
  x=(18-y)/6  x=3-(1/6)y
 y=-2+(2/3)x y=(-6+2x)/3
 y=(8-3x)/2  y=4-(3/2)x
 y=(3/5)x-3  y=(3x-15)/5
横線が引けないので便宜上、括弧表現にしています。 どうして解答書は約分した解とそうでない解が並存しているのでしょうか。 お答えいただけるとありがたいです。
2008/5/8
まりもさん、コメントありがとうございます。対称は図形に限らず、数式にもあります。たとえば、a+b=3 や ab=2 では、aとbを入れ替えても式は変わらず、aとbについて対称な式になっています。 (筆者)
2008/5/5
線対称な図形
 おもしろかったです。 まりも
2008/1/23 Hiromiさん、「コメント通知」を指定していなかったので、回答が遅くなってしまいました。これからは迅速に回答させていただきます。では、ご質問にお答えします。
 等号(=)の計算原理はシーソーです。シーソーの支点が=で、左右がつりあっています。シーソーの左右に同じ数を足してもつりあいます。掛けることは、同じ数を複数足すことと同じです(引くことはマイナスを足すことで、割ることは逆数を掛けることです)。
 4/y=1/x の両辺に yx を掛けると、4x=y つまり、y=4x になります。
 yx を掛ける意味は、左辺の 4/y を yx個足し、右辺の 1/x を yx個足す、ということです。
 この式の変形は「移項」とは直接関係がありません。移項は、等号の左右の数を他方に移すことをいいます。移項の原理もシーソーです。x−1=2 の両辺に1を足すと、x=2+1 から、x=3 になります。
 移項の説明: 方程式と解  加減法で解く  図で解く・式で解く
2007/12/11  はじめまして。中一の息子の勉強を時々家で見ています。「移項」の説明がつかず、検索していてこちらに出会いました。
 教えて頂きたいのですが、4/y=1/x  y=4x
…何故こうなるのかと、子どもに尋ねられたのですが、情けないことに答えることが出来ません。問題を解いたのは私ですし、答えも合っているのですが、理屈が説明できません。
 中一の子どもに解るように、教えて頂けると嬉しいです。お世話をおかけしますが、教えて下さい。よろしくお願いします。(Hiromi)
2007/10/04 Naokiさん、コメントありがとうございます。「72 × 19」は、簡易計算できません。条件に合っていないからです。というのは、7≠1 で、しかも、2+9≠10 だからです。
b+c=10 ならば、A・b×A・c=100A(A+1)+bc なので、「72 ×78」なら簡易計算できます。
7=7 で、2+8=10 だからです。
72 ×78=100×7(7+1)+2×8=5616 と正しく計算できます。(筆者) 
2007/09/29 2桁の掛け算を暗算する
72 × 19は1,368ですが、この方式を使うと7×(1+1)×100=1400 + 2×9=18 で1418になってしまいます.....何故でしょう 。(Naoki)
2007/07/03  証明は理由を説明することです。「〜を証明してください」と「〜の理由を説明してください」は同じことです。たとえば、「直角三角形の1つの角が15°のとき、残りの角は75°であることを証明せよ。」という問題では、次のように説明できます。
 
三角形の内角の和は180°なので、
 残りの角は、180°−(90°+15°)=75°となる。

 証明のしかたを特集することにしました。中1でも中3でも考え方は同じなので、いままで説明した範囲とします。なお、『中学からの作文・論文』に、論理学にもとづく証明法がのっています(「推論と推理の形式」)。数学では推論による証明が中心です。国語では証明を論証といい、推理が多く使われます。数学の推論にくらべ、推理にもとづく証明は厳密ではありません。(筆者)
2007/06/29 初めまして('∀`)
中学3年生のれなです.
いつもメルマガ読んでますヽ(´∀`)ノ
中学3年生で証明問題が全く分からないのですが
勉強するコツとかありますか?
あったら教えて下さい!!!
2007/05/12 絶対値の意味
ご説明ありがとうございました。
いつも丁寧に解説してくださいまして本当にありがとうございます。
一つ一つ積み上がっていく確実な理解、先生のメルマガ、サイトに巡りあえて感謝しております。(hisada)
2007/05/12 絶対値の意味
1.答えの欄で、3376mを3776mに訂正して解答しました。ご指摘ありがとうございます。(筆者)
2.|0−(−30)| 0はなくてもよいので、
=|−(−30)| 絶対値は符号をはずすので、
=|30|
=30
2007/05/02 絶対値の意味
答えの欄について
1.富士山の高さの数字が違っていますが。
2.計算の経路で、括弧をはずす時の原則から不自然のように感じられますが。
答えに至る明快なご説明をお願いいたします。(hisada)
2007/05/12 2桁の掛け算を暗算する
コメントありがとうございます。
説明が込み入っていたので、わかりやすくしました。(筆者)
2007/04/23 2桁の掛け算を暗算する
難しいです。

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