中学から数学だいすき!

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三角形と四角形の面積

 長方形、平行四辺形、三角形、台形、ひし形の順に、面積の求め方を確認しましょう。それぞれの図形は、面積が等しくなるように図形を変形して面積を求めています。これを等積変形といいます。

長方形の面積=縦×
 面積は線の集まりで、長さ a の縦線が、横に b 本並んでいる。

 長方i形・平行四辺形の面積

平行四辺形の面積=底辺×高さ
 平行四辺形の左の三角形を、右に付加すると長方形になる。

三角形の面積=底辺×高さ÷
 鋭角三角形: 垂線で分割された2つの直角三角形を付加すると長方形になる。
 直角三角形: 同じ直角三角形を付加すると長方形になる。
 鈍角三角形: 同じ鈍角三角形を付加すると平行四辺形形になる。

 三角形の面積

台形の面積=(上底+下底)×高さ÷
 同じ台形を付加すると平行四辺形になる。

   台形の面積

ひし形の面積=縦の対角線×横の対角線÷
 対角線で分割された4つの直角三角形を付加すると長方形になる。
  
    ひし形の面積

問題
1. 直樹さんは、下図のように、平行四辺形ABC Dの内部にあって辺上にない点Gをとって三角形を作ったとき、次の予想を立てました。

   面積練習1

【直樹さんの予想】
 点Gをどこにとっても、△GABと△GC Dの面積の和は、△GDAと△GBC の面積の和に等しい。


 【直樹さんの予想】が正しい理由を説明してください。ただし、説明に必要となる点や線分などは、図にかき入れてください。 (山梨県高)

2. 下図のような長方形があります。点線部分の面積を求めてください。

   面積練習2

答 え










答 え
1.
 点Gを通り、辺ABと辺ADにそれぞれ平行な直線を引くと、小さな平行四辺形が4つできる。
 小さな平行四辺形は2つの三角形から成り、2つの三角形は合同である( 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので)。
 △GAB+△GC D= 椨◆椨+
 △GDA+△GBC =ぁ椨 椨◆椨
したがって、△GAB+△GC D=△GDA+△GBC
 
   面積解答1

2.
 長方形は平行四辺形である。
 練習1から、点線部分の面積と、空白部分の面積は等しい。
 よって、16×27÷2=216 (cm


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