中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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三角形の回転体1

 直線を軸として、三角形を1回転させてできる立体の体積を求めてみましょう。

練習
1. 左の図の三角形ABC は、AB=1cm、BC=3cm の直角三角形です。
 この三角形ABC を線分ABを軸として1回転させてできる円錐の体積をUcm、線分BC を軸として1回転させてできる円錐の体積をVcmとするとき、UとVの比をもっとも簡単な整数の比で求めてください。 (神奈川県湘南高)
   三角形の回転体

2. 右の図のような、1辺の長さが2cmの正三角形ABC があります。頂点Aから辺BC へ垂線をひき、その交点をHとします。
(1) 正三角形ABC の面積を求めてください。
(2) 頂点C を通りAHに平行な直線Lを軸として、正三角形ABC を1回転させてできる立体の体積を求めてください。ただし、円周率はπとします。 (和洋国府台女子高)

答 え










答 え
1.
(考え方)
 円錐の体積=底面積×高さ÷

 U=(3π×1)/3=3π
 V=(1π×3)/3=π
 よって、U:V=3:1 ・・・(答)

2.
(考え方)
 90°、30°、60°の直角三角形の辺の比は、2:1:
 BAの延長線と直線Lの交点をD、DとC の中点をMとすると、
 求める体積=△DBC の回転体−2△DAMの回転体

(1) △ABC=2×√3/2=3 (cm) ・・・(答)

(2) △DBC の回転体の体積は、
  (2π×3)/3=(83)π/3 ・・・
 △DAM の回転体の体積は、
  (1π×3)/3=(3)π/3 ・・・
 求める体積は、 檻×△覆里如
 (83)π/3−(23)π/3
=(23)π (cm) ・・・(答)


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