中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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台形の回転体

 台形を回転させてできる立体の体積を求めてみましょう。

練習
1. 左の図の台形ABC Dを、辺ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めてください。 (福島県高)

   台形の回転体

2. 右の図で、四角形ABC Dは、AD=1cm、BD=C D=2cm、∠ABC=90° の台形です。
(1) 辺ABの長さは何cmですか。
(2) 四角形ABC Dを頂点A、Bを通る直線ABを軸として1回転させたときにできる立体の体積は何cmですか。ただし、円周率はπとします。 (都立戸山高)

答 え










答 え
1.
(考え方)
 求める体積=円柱の体積−円錐の体積

 求める体積は、円柱(底面の半径5、高さ6)の体積から、円錐(底面の半径5、高さ3)の体積を引いた値なので、
 5π×6−5π×3/3
=5π(6−1)π=125π (cm) ・・・(答)

2.
(考え方)
 ABの長さは、DからBC への垂線の長さと等しい。
 BAの延長線とC Dの延長線の交点をEとし、EAの長さを求める。

(1) ABのの長さは、DからBC への垂線の長さと等しいので、
 AB={DC−(BC/2)}
    =(2−1)=3 (cm) ・・・(答)

(2) BAの延長線とC Dの延長線の交点をEとすると、
 △EAD△EBC なので、
 EA:(EA+AB)=1:2
 EA:(EA+3)=1:2
 EA=

 求める体積は、△EBC の回転体−△EAD の回転体なので、
 2π×3/3−1π×√3/3
=(π3/3)(8−1)
=(73/3)π (cm) ・・・(答)


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