中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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交互に囲む石

 白と黒の石で交互に囲む問題を解いてみましょう。

練習
 下の図のように、白い石と黒い石を並べます。

   交互に囲む石

1. 5番目では、4番目に置いた石の外側に石を何個追加して置けばよいですか。

2. 次の表は、n 番目において、横一列に置かれた石の数を表しています。このとき、【 ア 】 【 イ 】 にあてはまる数を求めてください。

n (番目)
横一列の石の数(個) 15

3. n 番目では、 n−1 番目に置いた石の外側に石を72個追加して置きました。 n の値を求めてください。さらにこのとき、白い石は全部で何個ありますか。 (佐賀県高)

答 え










答 え
(考え方)
1 外側の石の数え方: 下図のように横一列が3個の場合、の2(=3−1)個が半時計周りに4回繰り返す。 2×4=8 (個)

   外側の数え方

 一般化すると、外側の数=4(横一列の数−1)

2 横一列の石の数をN個とすると、
 n=4 のとき、N=7 なので、
 N=2n−1 となっている。

n (番目)
横一列の石の数N(個) 15 2n−1

3 外側の数をSとすると、
 S=4(N−1)  N=2n−1 なので、
  =4(2n−2)=8(n−1)

(解答)
1.
 4番目の横一列は7個なので、
 5番目の横一列は9(=1+7+1)個
 外側は、8(=9−1)個が4回繰り返すので、
 8×4=32 (個) ・・・(答)

2.
 横一列の石の数をN個とすると、
 n=4 のとき、N=7 なので、
 N=2n−1
 N=15 のとき、2n−1=15 から、n=8
(答) ア 7  イ 8

3.
n (番目)
横一列の石の数N(個) 15 2n−1
外側の石の数S (個) 4(N−1)

 外側の数をSとすると、
 S=4(N−1)  N=2n−1 なので、
  =4(2n−2)
  =8(n−1)=72
 n−1=9  n=10 ・・・(答)

 白の総数は、n=1,3,5,7,9 の場合の和なので、
 n=1 のとき、1
 n=3 のとき、8(3−1)=8×
 n=5 のとき、8(5−1)=8×
 n=7 のとき、8(7−1)=8×
 n=9 のとき、8(9−1)=8×
 1+8(2+4+6+8)
=1+8×20=161 (個) ・・・(答)

(参考)
 n 番目の外側の石の数の関係を(n,S)とすると、
 (n,N)と(N,S)の関係から、(n,S)を求めています。


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