中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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対角線の数

 正多角形の対角線の数を求めてみましょう。

練習
 下の表は、正 n 角形の線の総数Sと、対角線の数Nの関係を表したものです。線の総数とは、辺の数と対角線の合計数で、1つの頂点から反時計回りに重複しないように数えたものです。例えば正4角形の場合、3本、2本、1本なので、線の総数は6本です。

   対角線の数

角形 ・・・
線の総数S 10 ・・・
対角線の数N ・・・

1. 【 ア 】 【 イ 】 にあてはまる数を求めてください。

2. 線の総数Sを n の式で表してください。

3. 対角線の数Nを n の式で表してください。

4. 正8角形の対角線は何本ですか。

5. 対角線の数が252本になるのは、正何角形ですか。

答 え










答 え
1.
ア S=5+4+3+2+1=15 (本)
イ N=S−n=15−6=9 (本)

2.
 S=(n−1)+(n−2)+・・・+2+1 なので、
 S=1+2+・・・+(n−2)+(n−1)
2S=n(n−1)
 S=n(n−1)/2 (本) ・・・(答)

3.
 N=S−n=n(n−1)/2−n=n(n−3)/2
(答) N=n(n−3)/2 (本)  → 問3 別解

(参考)
 正 n 角形と対角線の数の関係を(n,N)とすると、
 (n,S)と(S,N)の関係から、(n,N)を求めています。

4.
 N=n(n−3)/2
  =8(8−3)/2=20 (本) ・・・(答)

5.
 N=n(n−3)/2=252
 n−3n−504=0
 504=2××7 なので、因数分解すると、
 (n+21)(n−24)=0
 n>0 なので、n=24
(答) 正24角形

(別解) 不等式で解く
 n(n−3)/2<(n+3)(n−3)/2 なので、
 252<(n−9)/2
 n>504+9=513
 n>513=105.13>105=22.3・・・
 n=23 とすると、n(n−3)/2=230252
 n=24 とすると、n(n−3)/2=252 になる。
(答) 正24角形


(問3 別解) 表から式を求める
 (n,N)をグラフにすると、2次関数のようなので、
 N=an+bn+c とする。

  規則性のグラフ

 (3,0)、(4,2)、(5,5)から、
  9a+3b+c=0 ・・・
 16a+4b+c=2 ・・・
 25a+5b+c=5 ・・・

 ◆櫚,ら、7a+b=2 ・・・
 −△ら、9a+b=3 ・・・
 ァ櫚いら、2a=1 a=1/2
 いら、b=2−7a=−3/2
 ,ら、c=−9a−3b=−9/2+9/2=0
 よって、
 N=n/2−3n/2=n(n−3)/2

 この式を、(6,9)で確かめる。
 N=6(6−3)/2=9 となっている。
(答) N=n(n−3)/2


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