中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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証明の根拠

 図形の証明に利用できる根拠を表に示します。根拠には、定義・性質・定理が含まれています。

  平行線
対頂角は等しい。
平行線
同位角、錯覚が等しい。( : 双方向のならば )
平行線と比の定理
 三角形の底辺に平行な線を引いたときの線分比の定理。
中点連結定理
 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、底辺に平行で、底辺の半分。
平行線と面積の定理
 三角形の底辺が等しく高さが等しいとき、2つの面積は等しい。 
  三角形
三角形の内角の和=180°
三角形の外角=隣り合わない2つの内角の和
二等辺三角形
2辺、2角(両底角)が等しい。
二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直2等分する。
正三角形
3辺、3角が等しい
三平方の定理: 直角三角形の3辺が a 、b 、c のとき、
 直角三角形
+b=c (c: 斜辺)
  四角形
平行四辺形
 対辺が平行、対辺が等しい、対角が等しい、
 対角線は各中点で交わる
  多角形
 n 角形の内角の和=180(n−2)°
 n 角形の外角の和=180°

 正 n 角形の線の総数=n(n−1)/2 
  
円周角の定理
 同じ弧に対する円周角は等しい。
 円周角=中心角/2
円周角の定理の応用
 半円の円周角=90°
 円に内接する四角形の対角の和=180°

円の接線は、接点で半径と垂直に交わる。
  合同
合同 対応する線分、対応する角がそれぞれ等しい。
三角形の合同
 3組の辺がそれぞれ等しい 。→ 合同  → : ならば )
 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。 → 合同
 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。 → 合同

直角三角形の合同
 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい 。 → 合同
 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい 。 → 合同
  相似
相似 対応する線分の比がすべて等しく、
      対応する角がそれぞれ等しい。
三角形の相似
 3組の辺の比がすべて等しい。 → 相似
 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。 → 相似
 2組の角がそれぞれ等しい。 → 相似
相似比が m : n
  → 面積比は m : n  体積比は m : n

例題
 A=90° の直角三角形ABC があります。斜辺BC の中点をMとすると、AM=BM=C M を証明してください。

   例題 直覚三角形

(考え方) 半円の円周角=90°

 直径BC の中点Mを円の中心にして、半径BMで半円をかく。
 半円の中心角は180° なので、円周角は90° である。
 A=90° なので、Aは半円の円周上にある。
 円の半径が等しいので、AM=BM=C M (終)

練習
 図のように、線分ABを直径とする半円があり、弧AD=弧DC、DEF=90° です。
 DF//AB であることを証明してください。 (熊本県高)

   平行の証明

答 え










答 え
(考え方)
 相似 → 対応する角が等しい。
 同位角が等しい → 平行

   平行の証明
 
 DとBを直線で結ぶ。
 △EDFと△DAB おいて、
 弧DC=弧AD から、
 円周角 EFD=DBA ・・・
 ADBは、半円の円周角なので90°
 よって、DEF=ADB=90°・・・
 ´△ら、2組の角がそれぞれ等しいので、
 △EDF△DAB
 よって、同位角 EDF=DAB
 同位角が等しいので、DF//AB (終)

(別解) 角度で証明する概略
 ∠EDF=90°−∠EFD ・・・
 ∠DAB=90°−∠DBA ・・・
 円周角 ∠EFD=∠DBA ・・・
 ´↓から、∠EDF=∠DAB
 同位角が等しいので、DF//AB


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