証明の根拠
図形の証明に利用できる根拠を表に示します。根拠には、定義・性質・定理が含まれています。
例題
∠Ａ＝９０° の直角三角形ＡＢＣ があります。斜辺ＢＣ の中点をＭとすると、ＡＭ＝ＢＭ＝Ｃ Ｍ を証明してください。
（考え方） 半円の円周角＝９０°
直径ＢＣ の中点Ｍを円の中心にして、半径ＢＭで半円をかく。
半円の中心角は１８０° なので、円周角は９０° である。
∠Ａ＝９０° なので、Ａは半円の円周上にある。
円の半径が等しいので、ＡＭ＝ＢＭ＝Ｃ Ｍ （終）
練習
図のように、線分ＡＢを直径とする半円があり、弧ＡＤ＝弧ＤＣ、∠ＤＥＦ＝９０° です。
ＤＦ//ＡＢ であることを証明してください。 （熊本県高）
答 え
答 え
（考え方）
相似 → 対応する角が等しい。
同位角が等しい → 平行
ＤとＢを直線で結ぶ。
△ＥＤＦと△ＤＡＢ おいて、
弧ＤＣ＝弧ＡＤ から、
円周角 ∠ＥＦＤ＝∠ＤＢＡ ・・・��
∠ＡＤＢは、半円の円周角なので９０°
よって、∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ＝９０°・・・��
�´△�ら、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＥＤＦ∽△ＤＡＢ
よって、同位角 ∠ＥＤＦ＝∠ＤＡＢ
同位角が等しいので、ＤＦ//ＡＢ （終）
（別解） 角度で証明する概略
∠ＥＤＦ＝９０°−∠ＥＦＤ ・・・��
∠ＤＡＢ＝９０°−∠ＤＢＡ ・・・��
円周角 ∠ＥＦＤ＝∠ＤＢＡ ・・・��
�´↓�から、∠ＥＤＦ＝∠ＤＡＢ
同位角が等しいので、ＤＦ//ＡＢ
| 平行線 |
| 対頂角は等しい。 平行線 ⇔ 同位角、錯覚が等しい。（ ⇔ ： 双方向のならば ） 平行線と比の定理： 三角形の底辺に平行な線を引いたときの線分比の定理。 中点連結定理： 三角形の２辺の中点を結ぶ線分は、底辺に平行で、底辺の半分。 平行線と面積の定理： 三角形の底辺が等しく高さが等しいとき、２つの面積は等しい。 |
| 三角形 |
| 三角形の内角の和＝１８０° 三角形の外角＝隣り合わない２つの内角の和 二等辺三角形 ⇔ ２辺、２角（両底角）が等しい。 二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直２等分する。 正三角形 ⇔ ３辺、３角が等しい。 三平方の定理： 直角三角形の３辺が ａ 、ｂ 、ｃ のとき、 直角三角形 ⇔ ａ２＋ｂ２＝ｃ２ （ｃ： 斜辺） |
| 四角形 |
| 平行四辺形 ⇔ 対辺が平行、対辺が等しい、対角が等しい、 対角線は各中点で交わる。 |
| 多角形 |
| ｎ 角形の内角の和＝１８０（ｎ−２）° ｎ 角形の外角の和＝１８０° 正 ｎ 角形の線の総数＝ｎ（ｎ−１）／２ |
| 円 |
| 円周角の定理： 同じ弧に対する円周角は等しい。 円周角＝中心角／２ 円周角の定理の応用 半円の円周角＝９０° 円に内接する四角形の対角の和＝１８０° 円の接線は、接点で半径と垂直に交わる。 |
| 合同 |
| 合同 ⇔ 対応する線分、対応する角がそれぞれ等しい。 三角形の合同： ３組の辺がそれぞれ等しい 。→ 合同 （ → ： ならば ） ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。 → 合同 １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。 → 合同 直角三角形の合同： 斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい 。 → 合同 斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい 。 → 合同 |
| 相似 |
| 相似 ⇔ 対応する線分の比がすべて等しく、 対応する角がそれぞれ等しい。 三角形の相似： ３組の辺の比がすべて等しい。 → 相似 ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。 → 相似 ２組の角がそれぞれ等しい。 → 相似 相似比が ｍ ： ｎ → 面積比は ｍ２ ： ｎ２ 体積比は ｍ３ ： ｎ３ |
例題
∠Ａ＝９０° の直角三角形ＡＢＣ があります。斜辺ＢＣ の中点をＭとすると、ＡＭ＝ＢＭ＝Ｃ Ｍ を証明してください。
（考え方） 半円の円周角＝９０°
直径ＢＣ の中点Ｍを円の中心にして、半径ＢＭで半円をかく。
半円の中心角は１８０° なので、円周角は９０° である。
∠Ａ＝９０° なので、Ａは半円の円周上にある。
円の半径が等しいので、ＡＭ＝ＢＭ＝Ｃ Ｍ （終）
練習
図のように、線分ＡＢを直径とする半円があり、弧ＡＤ＝弧ＤＣ、∠ＤＥＦ＝９０° です。
ＤＦ//ＡＢ であることを証明してください。 （熊本県高）
答 え
答 え
（考え方）
相似 → 対応する角が等しい。
同位角が等しい → 平行
ＤとＢを直線で結ぶ。
△ＥＤＦと△ＤＡＢ おいて、
弧ＤＣ＝弧ＡＤ から、
円周角 ∠ＥＦＤ＝∠ＤＢＡ ・・・��
∠ＡＤＢは、半円の円周角なので９０°
よって、∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ＝９０°・・・��
�´△�ら、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＥＤＦ∽△ＤＡＢ
よって、同位角 ∠ＥＤＦ＝∠ＤＡＢ
同位角が等しいので、ＤＦ//ＡＢ （終）
（別解） 角度で証明する概略
∠ＥＤＦ＝９０°−∠ＥＦＤ ・・・��
∠ＤＡＢ＝９０°−∠ＤＢＡ ・・・��
円周角 ∠ＥＦＤ＝∠ＤＢＡ ・・・��
�´↓�から、∠ＥＤＦ＝∠ＤＡＢ
同位角が等しいので、ＤＦ//ＡＢ
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