中学から数学だいすき!

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三角形の重心−

 三角形の重心の性質を確認し、問題を解いてみましょう。

 重心は、バランスがとれる点です。線分の重心は中点で、平行四辺形の重心は対角線の交点です。円の重心は円の中心になります。

三角形の重心
 三角形の頂点と対応する辺の中点とを結んだ線を中線といいます。三角形の重心は中線上にあります。三角形を無数の線分に分けると、各線分は中点でつりあうからです。

 三角形の重心

三角形の重心の性質
1) 三角形の重心は中線の交点になる。
2) 重心は中線を2:1に分ける。
  AG:GY=2:1
3) 3本の中線は重心で交わる。
4) 重心と頂点を結んでできる3つの三角形の面積は等しい。
 △GAB=△GBC=△GCA

   三角形の重心

練習
1. △ABC は、∠Aが直角な二等辺三角形です。BC は24cmです。重心をGとしたとき、△GBC の面積を求めてください。

   三角形の重心と面積

2. 1辺が12cmの正三角形が円に内接しています。円の半径を求めてください。

   円と正三角形の重心

3. △ABC の重心を通り、底辺BC に平行な線分DEをひきます。このとき、△ADEと台形DBC Eの面積比を求めてください。

   重心と面積比

答 え











答 え
1.
 底辺をBC とする△ABC の高さは12cm
 △GBC の高さは、Gが重心なので、
  12×(1/3)=4 (cm)
 △GBC=24×÷2=48 (cm) ・・・(答)

2.
 正三角形の(中線の交点である)重心と各頂点を結ぶ線分の長さは等しい。したがって、正三角形の重心と円の中心は一致する。
 正三角形の中線は底辺に垂直で、
 中線の長さ=(12/2)3=6
 正三角形の重心は、中線の長さを2:1に分ける点なので、
 円の半径=6×(2/3)=43 (cm) ・・・(答)

3.
 △ABC △ADE で、面積比は、
 △ABC:△ADE=(2+1):2=9:4
 △ADE:台形DBC E
=△ADE:(△ABC−△ADE)
=4:(9−4)=4:5 ・・・(答)


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