中学から数学だいすき!

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中点連結定理−

 中点連結定理と、平行線と比の定理を確認し、問題を解いてみましょう。

中点連結定理
 三角形の頂角をはさむ2辺の中点を結んだ線分は、底辺に平行で、底辺の長さの2分の1です。
  中点連結定理
  XY//BC
  XY=BC/2

 小さな三角形と大きな三角形は相似です(2辺の比と間の角が等しい)。したがって、同位角が等しいので平行で、相似比は1:2です。

平行線と比の定理
 下図のように、3本の平行線に交わる直線があります。このとき、
 m:n=m’:n’ です。

   平行線と線分の比

 小さな三角形と大きな三角形は相似なので、
 m:(m+n)=m’:(m’+n’) 外項の積=内項の積 から、
 m(m’+n’)=m’(m+n)
 mm’+mn’=mm’+nm’  両辺から mm’ をひくと、
 mn’=nm’ よって、m:n=m’:n’

練習
1. 台形があります。上底の長さはa、下底の長さはbです。2つの斜辺の中点を結んでできる線分の長さ c を求めてください。

   中点連結定理の利用

2. 下図のように、平行な3つの直線に2つの直線が交わっています。x の値を求めてください。 (北海道高)

   平行線と線分の長さ2

3. 円柱の容器Aと円錐の形をした鉄のおもりBがあります。容器A、おもりBは、どちらも底面の半径が6cm、高さが15cmです。下図のように、容器AにおもりBを入れ、底面が水平な状態で水を入れていきます。ただし、容器の厚みは考えないものとします。また、円周率をπとします。

    円錐と円柱

(1) 水面の高さが、おもりBを入れた容器Aの高さの半分になったとき、水面の面積を求めてください。
(2) おもりBを入れた容器Aいっぱいにたまった水を、1辺が12cmの立方体の容器にC に残らず移しました。容器C の水面の高さを求めてください。ただし、容器Cは底面が水平になるように置いてあるものとします。 (長野県高)

答 え











答 え
1.
 台形を、対角線によって2つの三角形に分ける。
 中点連結定理から、
 c=a/2+b/2=(a+b)/2 ・・・(答)

2.
 平行線と比の定理から、6:9=x:(30−x)
 9x=6(30−x)
 3x=2(30−x)
 5x=60
 x=12 (cm) ・・・(答)

3.
(1) 中点連結定理から、円錐の断面の円の半径は、底面の半径の1/2なので、断面の半径は、6/2=3 (cm)
 水面の面積は、底面積から、半径3cmの円の面積をひいたものなので、 6π−3π=27π(cm) ・・・(答)

(2) 水の容積は、円柱の容積から円錐の体積(円柱の1/3)をひいたものなので、円柱の容積の2/3となり、
  (6π×15)×2/3=24×15π
 12cmの立方体の水の高さを x cmとすると、
  12x=24×15π
  x=5π/2 (cm) ・・・(答)


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