中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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表面積−

 立体の表面の面積を求めてみましょう。立体には、円錐、円柱、角錐、角柱、正多面体、球などがあります。

表面積を展開図で計算する
円錐の表面積
 =底面積+側面積
 =円の面積+扇形の面積

三角柱の表面積
 =2底面積+側面積
 =2三角形+三角形の周の長さ×高さ

球の表面積=4πr   ← 心配ある二女(じじょ)
球の体積=4πr/3  ← 身の上に心配ある三女

円錐では、底面の円周=扇形の弧の長さ
扇形 円錐
扇形の面積   円錐の表面積と体積 h : 母線
弧の長さ
=円周×中心角/360
L=底面の円周
 =扇型の円周×中心角/360
扇型の面積
=円の面積×弧の長さ/円周
=円の面積×中心角/360
円錐の表面積=底面積+側面積
  側面積=π/360)
円錐の体積=底面積×高さ/3

  高さ=
(h

いろいろな立体
 いろいろな立体

練習
1.  下図のように、半径の球が円柱に内接しています。このとき、球の表面積と円柱の側面積が等しいことを証明してください。

   球と円柱の表面積

2. 底面が半径rの円で、母線がhの円錐の表面積をSとすると、
 S=πr) になることを証明してください。

   円錐の展開図

3. 図1は、円すいの展開図で、側面となるおうぎ形は半径が6cmで、中心角が120°です。この展開図を組み立ててできる円すいの表面積を求めてください。ただし、円周率をπとします。
  円すい・三角柱の表面積

4. 図2は、底面がAB=4cm、AC=3cm、∠BAC=90°の直角三角形で、高さが7cmの三角柱です。この三角柱の表面積を求めてください。

5. 1辺の長さが5cmの正八面体の表面積を求めてください。 

答 え










答 え
1.
(考え方)
 円柱の側面積=円周×高さ

 球の表面積=4πr
 円柱の側面積=2πr×=4πr
 よって、球の表面積と円柱の側面積は等しい。 (証明終)

2.
 S=円の面積+扇形の面積 である。
 円の面積=πr ・・・
 扇型の面積は弧の長さに比例するので、
 扇形の面積=πh×(2πr/2πh)=πrh ・・・
 ´△ら、
 S=πrπrhπr) (証明終)

3.
(考え方)
 おうぎ形の弧の長さ=底面の円周 から、円の半径を求める。
 表面積=おうぎ形の面積+円の面積

 おうぎ形の面積=π××(120/360)=12π ・・・
 円の半径を x とすると、おうぎ形の弧の長さ=円周 なので、
  2π××(120/360)=2π
  x=2 から、円の面積=4π ・・・
  椨△ら、
 表面積=12π+4π=16π (cm) ・・・(答)

4.
(考え方)
 表面積=底面積×2+側面積
      =底面積×2+三角形の周の長さ×高さ

 三平方の定理から、BC=5
 底面積=4×3/2=6
 側面積=(5+3+4)×7=84
 表面積=6×2+84=96 (cm) ・・・(答)

5.
(考え方)
 表面積=正三角形の面積×

 正三角形の高さは、(53)/2 なので、
 正三角形の面積={5×(53)/2}/2=(253)/4
 表面積={(253)/4}×8=503 (cm) ・・・(答)


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