方程式の整数解
数学の話題です。小学生向けの問題が新聞に載っています〔１〕。方程式を使って解いてみましょう。
問題
８０円の切手と５０円の切手の両方を、合計金額がちょうど２０００円になるように買う予定です。どのような買い方がありますか。
（考え方）
８０円の切手をｘ枚、５０円の切手をｙ枚として、（ｘ，ｙ）を求めます。
８０ｘ＋５０ｙ＝２０００ 未知数が２つで、方程式が１つですね。
８ｘ＋５ｙ＝２００ を、（ｘ，ｙ）が自然数という条件で解いてみましょう。
（解答）
８ｘ＋５ｙ＝２００
ｙ＝（２００−８ｘ）／５＝４０−８ｘ／５＞０ ・・・��
２００−８ｘ＞０
８ｘ＜２００ ｘ＞０ なので、
０＜ｘ＜２５
ｙ は自然数なので、�，�らｘは５の倍数であり、
ｘ＝５，１０，１５，２０
（ｘ，ｙ）＝（５，３２） （１０，２４） （１５，１６） （２０，８） ・・・(答）
（別解）
８ｘ＋５ｙ＝２００
ｘ＝（２００−５ｙ）／８＝２５−５ｙ／８＞０ ・・・��
２００−５ｙ＞０ ｙ＜４０
０＜ｙ＜４０
�，�ら、ｙは８の倍数なので、
ｙ＝８，１６，２４，３２
（ｘ，ｙ）＝（２０，８） （１５，１６） （１０，２４） （５，３２） ・・・（答）
練習
１００円、１０円、５円の硬貨があわせて５５枚あります。合計金額が１０００円のとき、硬貨はそれぞれ何枚ですか。
答 え
答 え
１００円をｘ枚、１０円をｙ枚とすると、
５円は、（５５−ｘ−ｙ）枚 ・・・��
１００ｘ＋１０ｙ＋５（５５−ｘ−ｙ）＝１０００
９５ｘ＋５ｙ＋２７５＝１０００
９５ｘ＋５ｙ＝７２５
ｙ＝１４５−１９ｘ＞０ ・・・��
０＜ｘ＜１４５／１９＝７．・・・ なので、
ｘ＝１，２，３，４，５，６，７ ・・・��
�，�ら、５５−ｘ−ｙ＞０
ｙ＜５５−ｘ �△�ら、
１４５−１９ｘ＜５５−ｘ
１８ｘ＞９０ ｘ＞５ ��から、ｘ＝６，７
ｘ＝６ のとき、
�△�ら、ｙ＝１４５−１９ｘ＝３１
�，�ら、５５−（ｘ＋ｙ）＝５５−（６＋３１）＝１８
ｘ＝７ のとき、
�△�ら、ｙ＝１４５−１９ｘ＝１２
�，�ら、５５−（ｘ＋ｙ）＝５５−（７＋１２）＝３６
（答） １００円が６枚、１０円が３１枚、５円が１８枚
１００円が７枚、１０円が１２枚、５円が３６枚
参考文献
〔１〕 読売新聞 ２０１３年４月２０日夕刊 「文章題�ぁ”堋衒�程式」
問題
８０円の切手と５０円の切手の両方を、合計金額がちょうど２０００円になるように買う予定です。どのような買い方がありますか。
（考え方）
８０円の切手をｘ枚、５０円の切手をｙ枚として、（ｘ，ｙ）を求めます。
８０ｘ＋５０ｙ＝２０００ 未知数が２つで、方程式が１つですね。
８ｘ＋５ｙ＝２００ を、（ｘ，ｙ）が自然数という条件で解いてみましょう。
（解答）
８ｘ＋５ｙ＝２００
ｙ＝（２００−８ｘ）／５＝４０−８ｘ／５＞０ ・・・��
２００−８ｘ＞０
８ｘ＜２００ ｘ＞０ なので、
０＜ｘ＜２５
ｙ は自然数なので、�，�らｘは５の倍数であり、
ｘ＝５，１０，１５，２０
（ｘ，ｙ）＝（５，３２） （１０，２４） （１５，１６） （２０，８） ・・・(答）
（別解）
８ｘ＋５ｙ＝２００
ｘ＝（２００−５ｙ）／８＝２５−５ｙ／８＞０ ・・・��
２００−５ｙ＞０ ｙ＜４０
０＜ｙ＜４０
�，�ら、ｙは８の倍数なので、
ｙ＝８，１６，２４，３２
（ｘ，ｙ）＝（２０，８） （１５，１６） （１０，２４） （５，３２） ・・・（答）
練習
１００円、１０円、５円の硬貨があわせて５５枚あります。合計金額が１０００円のとき、硬貨はそれぞれ何枚ですか。
答 え
答 え
１００円をｘ枚、１０円をｙ枚とすると、
５円は、（５５−ｘ−ｙ）枚 ・・・��
１００ｘ＋１０ｙ＋５（５５−ｘ−ｙ）＝１０００
９５ｘ＋５ｙ＋２７５＝１０００
９５ｘ＋５ｙ＝７２５
ｙ＝１４５−１９ｘ＞０ ・・・��
０＜ｘ＜１４５／１９＝７．・・・ なので、
ｘ＝１，２，３，４，５，６，７ ・・・��
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１４５−１９ｘ＜５５−ｘ
１８ｘ＞９０ ｘ＞５ ��から、ｘ＝６，７
ｘ＝６ のとき、
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ｘ＝７ のとき、
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（答） １００円が６枚、１０円が３１枚、５円が１８枚
１００円が７枚、１０円が１２枚、５円が３６枚
参考文献
〔１〕 読売新聞 ２０１３年４月２０日夕刊 「文章題�ぁ”堋衒�程式」
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