中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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方程式の整数解

 数学の話題です。小学生向けの問題が新聞に載っています〔1〕。方程式を使って解いてみましょう。

問題
 80円の切手と50円の切手の両方を、合計金額がちょうど2000円になるように買う予定です。どのような買い方がありますか。

(考え方)
 80円の切手を枚、50円の切手を枚として、(x,y)を求めます。
 80x+50y=2000  未知数が2つで、方程式が1つですね。
 8x+5y=200 を、(x,y)が自然数という条件で解いてみましょう。

(解答)
 8x+5y=200
 y=(200−8x)/5=40−8/5>0 ・・・
 200−8x>0
 8x<200  x>0 なので、
 0<x<25
 y は自然数なので、,らは5の倍数であり、
 x=5,10,15,20
 (x,y)=(5,32) (10,24) (15,16) (20,8) ・・・(答)

(別解)
 8x+5y=200
 x=(200−5y)/8=25−5y/8>0 ・・・
 200−5y>0  y<40
 0<y<40
 ,ら、は8の倍数なので、
 y=8,16,24,32
 (x,y)=(20,8) (15,16) (10,24) (5,32) ・・・(答)

練習
 100円、10円、5円の硬貨があわせて55枚あります。合計金額が1000円のとき、硬貨はそれぞれ何枚ですか。

答 え










答 え
 100円を枚、10円を枚とすると、
 5円は、(55−x−y)枚 ・・・
 100x+10y+5(55−x−y)=1000
 95x+5y+275=1000
 95x+5y=725
 y=145−19x>0 ・・・
 0<x<145/19=7.・・・ なので、
 x=1,2,3,4,5,6,7 ・・・
 ,ら、55−x−y>0
 y<55−x  △ら、
 145−19x<55−x
 18x>90  x>5  から、x=6,7
 x=6 のとき、
  △ら、y=145−19x=31
  ,ら、55−(x+y)=55−(6+31)=18
 x=7 のとき、
  △ら、y=145−19x=12
  ,ら、55−(x+y)=55−(7+12)=36

(答) 100円が6枚、10円が31枚、5円が18枚
    100円が7枚、10円が12枚、5円が36枚


参考文献
〔1〕 読売新聞 2013年4月20日夕刊 「文章題ぁ”堋衒程式」


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