中学から数学だいすき!

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放物線と変域

 放物線の変域に関する問題を解いてみましょう。

 放物線 y=ax (a0) で、y はの関数なので、の値が変化すると、の値も変化します。値が変化する範囲を変域といいます。

例題
 y=−4x において、の変域が −3≦x≦2 のとき、の変域を求めてください。

 y=−4x は下に開く放物線なので、
 最大値は、y=0
 x=−3 のとき、y=−36
 x=2 のとき、y=−16
 よって、−36≦y≦0 ・・・(答)

練習
1. 下の図のように、関数 y=ax のグラフ上に2点A,Bがあります。点Aの座標は−2で、点Bの座標は4です。この関数について、の変域が −2≦x≦4 のとき、の変域は b≦y≦8 でした。
(1) a ,b の値を求めてください。
(2) 直線ABの式を求めてください。
                                    (兵庫県高)
   放物線の変域1 

2. 下の図で、線分PQは軸に平行で、線分PRは軸に平行です。また、点Pの座標は2よりも大きい数です。
(1) 関数 y=x で、の変域が −2≦x≦1 のとき、の変域を求めてください。
(2) 線分 PQ=PR のとき、点Pの座標はいくらですか。点Pの座標をとして、の値を求めてください。
                                    (香川県高)
   放物線の変域2

答 え










答 え
1.
(1) 放物線のグラフから、
 −2≦x≦4 のとき、0≦y≦16a
 b≦y≦8 なので、
 b=0
 8=16a a=1/2
(答) a=1/2  b=0

(2) y=x/2 から、
 A(−2、2)
 B(4、8)
 ABの傾きは、(8−2)/{4−(−2)}=1
 ABを、y=x+c とすると、(4,8)を通るので、
 8=4+c  c=4
(答) y=x+4

2.
(1) −2≦x≦1 のとき、
 y の最小値は0
 x=−2 のとき、y=x=4
 x=1 のとき、y=x=1
 よって、0≦y≦4 ・・・(答)

(2) 点Pは放物線上にあるので、
  P(a,a) a>2 ・・・
  Q(−a,a) から、PQ=2a
  PQ=PR から、R(a,a−2a) ・・・
 Rは直線上にあるので、R(a,a+2) ・・・
  ↓から、a−2a=a+2
  a−3a−2=0  解の公式から、
  a={3±(9+8)}/2
   =(3±17)/2
  ,ら a>2 なので、
   a=(3+17)/2 ・・・(答)

(参考) 余分な情報
 この問題を解くときに、Aの座標は使いますが、Bの座標は使いません。


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