中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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平方完成による方法

 平方完成によって、2次方程式を解いてみましょう。

 x+ax を (x+a/2) に変形することを平方完成といいます。

 x+2x−3=0 を平方完成で解いてみましょう。
 両辺に、2の半分の2乗をたすと、
 (x+2x+1)−3=1
 (x+1)=4
 x+1=±2
 x=−1±2
 x=−3,1 ・・・(答)

 2次方程式の因数分解ができないときや難しいときに、平方完成で解くことができます。

例題1 x−6x−1=0 を解いてください。

 6の半分の2乗を両辺にたすと、
 (x−6x+9)−1=9
 (x−3)=10
 x−3=±10
  =3±10 ・・・(答)

例題2 x+4x−96=0 を解いてください。

 96を素因数分解すると、96=2×3 なので、たすきがけの因数分解は難しそうです。そこで、平方完成で解くことにします。

 x+4x=96  4の半分の2乗を両辺にたすと、
 x−4x+4=100
 (x−2)=100
 x−2=±10
 x=−8,12 ・・・(答)

練習
 次の2次方程式を解いてください。
1. (x+4)=6                   (神奈川県高)

2. x−10x−144=0

3. x−3x+1=0            (福島・栃木・滋賀県高)

4. (x+3)−5(x+3)+5=0    (東京工業大附科技高)

5. 2x+4x−1=0                    (市川高)

答 え










答 え
1. (x+4)=6
   x+4=±
   x=−4±6 ・・・(答)

2. 144=2× から、たすきがけの因数分解は組合せが多いので、平方完成で因数分解する。
 x−10x−144=0  両辺に、(10/2) をたすと、
 x−10x+25=144+25
 (x−5)=169
 x−5=±13
 x=−8,18 ・・・(答)

3. x−3x+1=0   両辺に、(3/2) をたすと、
   (x−3x+9/4)+1=9/4
   (x−3/2)=5/4
   x−3/2=±5/2
   x=3/2±5/2
    =(3±5)/2 ・・・(答)

4. (x+3)−5(x+3)+5=0  x+3=a とすると、
   a−5a+5=0  両辺に (5/2) をたすと、
   a−5a+25/4=25/4−5
   (a−5/2)=5/4
   a=5/2±5/2=(5±5)/2  a をもどすと、
   x+3=(5±5)/2
   x=(−1±5)/2 ・・・(答)

5. 2x+4x−1=0  両辺を2でわると、
   x+2x−1/2=0  両辺に1をたすと、
   (x+2x+1)−1/2=1
   (x+1)=3/2
   x+1=±(3/2)
   x=−1±6/2
    =(−2±6)/2 ・・・(答)


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