中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< April 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >>
<< 規則性−棒の数 | 最新へ | 規則性−積み重ねた数 >>

規則性−タイルの数

 規則的に並んだタイルの数を求めてみましょう。

例題
 下の図のようにタイルを置きます。

□□□
□□
□□□
□□□
□□□□□
1回目 2回目 3回目
(1) n 回目のタイルの数をNとして、Nを n の式で表してください。
(2) タイルの数が120になるのは何回目ですか。

 (n,N)の関係を表にします。
回目
10 1次関数
Nの差 一定

(1) (n,N)のグラフは、傾きが2の直線で、
 n=0 のとき、N=4−2=2 から、
  N=2n+2 ・・・(答)

(2) N=2n+2=120 から、
  n=118/2=59 (回目) ・・・(答)

練習
1. 正方形の合同な白と黒のタイルを使い、下図のような模様を作っていきます。
 1番目は、白のタイルを1個置きます。
 2番目は、白を2個ずつ縦に2列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
 3番目は、白を3個ずつ縦に3列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
 以下、このような作業を繰り返し、4番目、5番目、・・・とします。

   白と黒のタイル

(1) n 番目の模様について、白色と黒色のタイルの枚数を、それぞれ n を使った式で表してください。
(2) タイルの総数が181枚になるのは、何番目ですか。

2. 下の図のように、白色のタイル2枚と黒色のタイル1枚を交互に規則的に並べていき、1番目の図形、2番目の図形、3番目の図形、4番目の図形、5番目の図形、・・・とします。

   白と黒のタイルの並び

 また、下の表は、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数についてまとめたものの一部です。

番目
白色のタイル
の枚数
【ア】 【イ】
黒色のタイル
の枚数
【ウ 【エ】

1. 上の表中の 【 ア 】 【 イ 】 【 ウ 】 【 エ 】 にあてはまる数を求めてください。
2. 20番目の図形について、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数の和を求めてください。
3. n 番目の図形について、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数の差が100枚となる自然数 n の値は2つあります。この n の値を2つとも求めてください。

答 え










答 え
1. n 番目のタイルの総数をNとする。

  白と黒のタイル

番目
13 25 41
16 25
16 −1)
黒の差1 1次関数
黒の差2 一定

(1) 白: n (個)  黒: (n−1) (個) ・・・(答)

(2) N=n+(n−1)=2n−2n+1=181 から、
 2n−2n−180=0  2でわると、
 n−n−90=0  因数分解すると、
 (n+9)(n−10)=0
 n>0 から、n=10 (番目) ・・・(答)

(参考) 黒の式 −1) が分からないとき
 黒の差から、(n,黒)は2次関数なので、
 黒=an+bn+c とする。
 (n,黒)=(1,0)、(2,1)、(3,4) から、
  0=a+b+c   ・・・
  1=4a+2b+c ・・・
  4=9a+3b+c ・・・
  ◆櫚 А。院瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
  −◆А。魁瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
  ァ櫚ぁА。押瓧横瓠 。瓠瓧
  ぁА。癲瓧院檻械瓠瓠檻
   А。磧瓠檻瓠檻癲瓧
 a=1  b=−2  c=1 から、
  黒=n−2n+1=(n−1)

2.
  白と黒のタイルの並び

番目
白色のタイル
の枚数
【ア】
【イ】
黒色のタイル
の枚数
【ウ
【エ】

(1) 【ア】 6  【イ】 8  【ウ】 3  【エ】 3

(2) n番目 が偶数か奇数かによって、白と黒の規則性が異なる。
 n が偶数のとき、
  白=n
  黒=n/2
 n が奇数のとき、
  白=n+1
  黒の式を求める。
番目
1次関数
黒の差 一定
 表から、(n,黒)のグラフは1次関数なので、
 黒=an+b とすると、(n,黒)=(1,0)、(3,1) から、
  0=a+b  ・・・
  1=3a+b ・・・
  ◆櫚 А。院瓧横瓠 。瓠瓧院殖
   А。癲瓠檻瓠瓠檻院殖押,ら、
  黒=n/2−1/2=(n−1)/2

 n=20 (偶数) のとき、白と黒の和は、
 n+n/2=3n/2=60/2=30 (枚) ・・・(答)

(3) 白と黒の差が100なので、
 n が偶数のとき、
  n−n/2=n/2=100 から、
  n=200
 n が奇数のとき、
  (n+1)−(n−1)/2=(n+3)/2=100 から、
  n=200−3=197
(答) n=197,200


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする