規則性−タイルの数
規則的に並んだタイルの数を求めてみましょう。
例題
下の図のようにタイルを置きます。
（１） ｎ 回目のタイルの数をＮとして、Ｎを ｎ の式で表してください。
（２） タイルの数が１２０になるのは何回目ですか。
（ｎ，Ｎ）の関係を表にします。
（１） （ｎ，Ｎ）のグラフは、傾きが２の直線で、
ｎ＝０ のとき、Ｎ＝４−２＝２ から、
Ｎ＝２ｎ＋２ ・・・（答）
（２） Ｎ＝２ｎ＋２＝１２０ から、
ｎ＝１１８／２＝５９ （回目） ・・・（答）
練習
１． 正方形の合同な白と黒のタイルを使い、下図のような模様を作っていきます。
１番目は、白のタイルを１個置きます。
２番目は、白を２個ずつ縦に２列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
３番目は、白を３個ずつ縦に３列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
以下、このような作業を繰り返し、４番目、５番目、・・・とします。
（１） ｎ 番目の模様について、白色と黒色のタイルの枚数を、それぞれ ｎ を使った式で表してください。
（２） タイルの総数が１８１枚になるのは、何番目ですか。
２． 下の図のように、白色のタイル２枚と黒色のタイル１枚を交互に規則的に並べていき、１番目の図形、２番目の図形、３番目の図形、４番目の図形、５番目の図形、・・・とします。
また、下の表は、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数についてまとめたものの一部です。
１． 上の表中の 【 ア 】 【 イ 】 【 ウ 】 【 エ 】 にあてはまる数を求めてください。
２． ２０番目の図形について、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数の和を求めてください。
３． ｎ 番目の図形について、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数の差が１００枚となる自然数 ｎ の値は２つあります。この ｎ の値を２つとも求めてください。
答 え
答 え
１． ｎ 番目のタイルの総数をＮとする。
（１） 白： ｎ２ （個） 黒： （ｎ−１）２ （個） ・・・（答）
（２） Ｎ＝ｎ２＋（ｎ−１）２＝２ｎ２−２ｎ＋１＝１８１ から、
２ｎ２−２ｎ−１８０＝０ ２でわると、
ｎ２−ｎ−９０＝０ 因数分解すると、
（ｎ＋９）（ｎ−１０）＝０
ｎ＞０ から、ｎ＝１０ （番目） ・・・（答）
（参考） 黒の式 （ｎ−１）２ が分からないとき
黒の差から、（ｎ，黒）は２次関数なので、
黒＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ とする。
（ｎ，黒）＝（１，０）、（２，１）、（３，４） から、
０＝ａ＋ｂ＋ｃ ・・・��
１＝４ａ＋２ｂ＋ｃ ・・・��
４＝９ａ＋３ｂ＋ｃ ・・・��
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ａ＝１ ｂ＝−２ ｃ＝１ から、
黒＝ｎ２−２ｎ＋１＝（ｎ−１）２
２．
（１） 【ア】 ６ 【イ】 ８ 【ウ】 ３ 【エ】 ３
（２） ｎ番目 が偶数か奇数かによって、白と黒の規則性が異なる。
ｎ が偶数のとき、
白＝ｎ
黒＝ｎ／２
ｎ が奇数のとき、
白＝ｎ＋１
黒の式を求める。
表から、（ｎ，黒）のグラフは１次関数なので、
黒＝ａｎ＋ｂ とすると、（ｎ，黒）＝（１，０）、（３，１） から、
０＝ａ＋ｂ ・・・��
１＝３ａ＋ｂ ・・・��
�◆櫚 А。院瓧横瓠 。瓠瓧院殖�
� А。癲瓠檻瓠瓠檻院殖押，�ら、
黒＝ｎ／２−１／２＝（ｎ−１）／２
ｎ＝２０ （偶数） のとき、白と黒の和は、
ｎ＋ｎ／２＝３ｎ／２＝６０／２＝３０ （枚） ・・・（答）
（３） 白と黒の差が１００なので、
ｎ が偶数のとき、
ｎ−ｎ／２＝ｎ／２＝１００ から、
ｎ＝２００
ｎ が奇数のとき、
（ｎ＋１）−（ｎ−１）／２＝（ｎ＋３）／２＝１００ から、
ｎ＝２００−３＝１９７
（答） ｎ＝１９７，２００
例題
下の図のようにタイルを置きます。
| □ □□□ |
□□ □□□□ |
□□□ □□□□□ |
|||
| １回目 | ２回目 | ３回目 | |||
（２） タイルの数が１２０になるのは何回目ですか。
（ｎ，Ｎ）の関係を表にします。
| ｎ 回目 | １ | ２ | ３ | ４ | |||||||||||
| Ｎ | ４ | ６ | ８ | １０ | １次関数 | ||||||||||
| Ｎの差 | ２ | ２ | ２ | 一定 | |||||||||||
（１） （ｎ，Ｎ）のグラフは、傾きが２の直線で、
ｎ＝０ のとき、Ｎ＝４−２＝２ から、
Ｎ＝２ｎ＋２ ・・・（答）
（２） Ｎ＝２ｎ＋２＝１２０ から、
ｎ＝１１８／２＝５９ （回目） ・・・（答）
練習
１． 正方形の合同な白と黒のタイルを使い、下図のような模様を作っていきます。
１番目は、白のタイルを１個置きます。
２番目は、白を２個ずつ縦に２列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
３番目は、白を３個ずつ縦に３列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
以下、このような作業を繰り返し、４番目、５番目、・・・とします。
（１） ｎ 番目の模様について、白色と黒色のタイルの枚数を、それぞれ ｎ を使った式で表してください。
（２） タイルの総数が１８１枚になるのは、何番目ですか。
２． 下の図のように、白色のタイル２枚と黒色のタイル１枚を交互に規則的に並べていき、１番目の図形、２番目の図形、３番目の図形、４番目の図形、５番目の図形、・・・とします。
また、下の表は、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数についてまとめたものの一部です。
| ｎ 番目 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | |
| 白色のタイル の枚数 |
２ | ２ | ４ | ４ | ６ | 【ア】 | 【イ】 | |
| 黒色のタイル の枚数 |
０ | １ | １ | ２ | ２ | 【ウ】 | 【エ】 |
１． 上の表中の 【 ア 】 【 イ 】 【 ウ 】 【 エ 】 にあてはまる数を求めてください。
２． ２０番目の図形について、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数の和を求めてください。
３． ｎ 番目の図形について、白色のタイルの枚数と黒色のタイルの枚数の差が１００枚となる自然数 ｎ の値は２つあります。この ｎ の値を２つとも求めてください。
答 え
答 え
１． ｎ 番目のタイルの総数をＮとする。
| ｎ 番目 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ||||||||||||
| Ｎ | １ | ５ | １３ | ２５ | ４１ | ||||||||||||
| 白 | １ | ４ | ９ | １６ | ２５ | ｎ２ | |||||||||||
| 黒 | ０ | １ | ４ | ９ | １６ | （ｎ−１）２ | |||||||||||
| 黒の差１ | １ | ３ | ５ | ７ | １次関数 | ||||||||||||
| 黒の差２ | ２ | ２ | ２ | 一定 | |||||||||||||
（１） 白： ｎ２ （個） 黒： （ｎ−１）２ （個） ・・・（答）
（２） Ｎ＝ｎ２＋（ｎ−１）２＝２ｎ２−２ｎ＋１＝１８１ から、
２ｎ２−２ｎ−１８０＝０ ２でわると、
ｎ２−ｎ−９０＝０ 因数分解すると、
（ｎ＋９）（ｎ−１０）＝０
ｎ＞０ から、ｎ＝１０ （番目） ・・・（答）
（参考） 黒の式 （ｎ−１）２ が分からないとき
黒の差から、（ｎ，黒）は２次関数なので、
黒＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ とする。
（ｎ，黒）＝（１，０）、（２，１）、（３，４） から、
０＝ａ＋ｂ＋ｃ ・・・��
１＝４ａ＋２ｂ＋ｃ ・・・��
４＝９ａ＋３ｂ＋ｃ ・・・��
�◆櫚 А。院瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ�
��−�◆А。魁瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ�
�ァ櫚ぁА。押瓧横瓠 。瓠瓧�
�ぁА。癲瓧院檻械瓠瓠檻�
� А。磧瓠檻瓠檻癲瓧�
ａ＝１ ｂ＝−２ ｃ＝１ から、
黒＝ｎ２−２ｎ＋１＝（ｎ−１）２
２．
| ｎ 番目 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | |
| 白色のタイル の枚数 |
２ | ２ | ４ | ４ | ６ | 【ア】 ６ |
【イ】 ８ |
８ | |
| 黒色のタイル の枚数 |
０ | １ | １ | ２ | ２ | 【ウ】 ３ |
【エ】 ３ |
４ |
（１） 【ア】 ６ 【イ】 ８ 【ウ】 ３ 【エ】 ３
（２） ｎ番目 が偶数か奇数かによって、白と黒の規則性が異なる。
ｎ が偶数のとき、
白＝ｎ
黒＝ｎ／２
ｎ が奇数のとき、
白＝ｎ＋１
黒の式を求める。
| ｎ 番目 | １ | ３ | ５ | ７ | |||||||||||
| 黒 | ０ | １ | ２ | ３ | １次関数 | ||||||||||
| 黒の差 | １ | １ | １ | 一定 | |||||||||||
黒＝ａｎ＋ｂ とすると、（ｎ，黒）＝（１，０）、（３，１） から、
０＝ａ＋ｂ ・・・��
１＝３ａ＋ｂ ・・・��
�◆櫚 А。院瓧横瓠 。瓠瓧院殖�
� А。癲瓠檻瓠瓠檻院殖押，�ら、
黒＝ｎ／２−１／２＝（ｎ−１）／２
ｎ＝２０ （偶数） のとき、白と黒の和は、
ｎ＋ｎ／２＝３ｎ／２＝６０／２＝３０ （枚） ・・・（答）
（３） 白と黒の差が１００なので、
ｎ が偶数のとき、
ｎ−ｎ／２＝ｎ／２＝１００ から、
ｎ＝２００
ｎ が奇数のとき、
（ｎ＋１）−（ｎ−１）／２＝（ｎ＋３）／２＝１００ から、
ｎ＝２００−３＝１９７
（答） ｎ＝１９７，２００
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