球の基礎知識
球の表面積と体積について基礎知識を確認し、円錐・球・円柱の面積比と体積比を求めてみましょう。
球の表面積と体積
球の半径がｒのとき、
球の表面積＝４πｒ２ （心配ある二女、心配ある事情）
球の体積＝４πｒ３／３ （身の上に心配ある三女）
（参考） 球の表面積
球の表面を微小な四角形に分割すると（左図）、
球の中心と、微小の四角形を結んでできる四角錐の体積は、
微小な四角形の底面積×ｒ／３
微小な四角形の底面積を集めたものが球の表面積Ｓであり、
球の体積は４πｒ３／３ なので、
Ｓ×ｒ／３＝４πｒ３／３
Ｓ＝４πｒ２
（参考） 球の体積
球の体積Ｖは、球を薄く縦に切った断面（＝円）の面積を、
ｘ＝−ｒ から ｘ＝ｒ まで集めたものです（右図）。
これを、高校の数学（積分）の記号で表すと、球の体積が計算できます。次の∫ （インテグラル）と ｄｘ は、薄片を集めるという意味です。
練習
１． 半径が等しい円と球があります。円の面積と球の表面積の比を求めてください。
２． 半径が９ｃｍの球の表面積を求めてください。
３． 半径が ｒ の円を底面とする、高さ ２ ｒ の円錐と、高さ ２ ｒ の円柱があります。また半径が ｒ の球があります。
（１） 円錐と球と円柱の体積の比を求めてください。
（２） 円錐と球と円柱の表面積の比を求めてください。
答 え
答 え
１． 半径を ｒ とすると、
円の面積：球の表面積＝πｒ２： ４πｒ２＝１：４ ・・・（答）
２． ４π×９２＝３２４π （ｃｍ２） ・・・（答）
３．
（１） 体積の比は、
円錐：球：円柱
＝πｒ２（２ ｒ ）／３ ： ４πｒ３／３ ： πｒ２（２ ｒ ）
＝２／３ ： ４／３ ： ２ ３をかけると、
＝２：４：６＝１：２：３ ・・・（答）
（２） 円錐の扇形部分の面積を求める。
扇形の半径（母線の長さ）は 、三平方の定理から、
√｛ｒ２＋（２ｒ）２｝＝（√５）ｒ
扇形の弧の長さ＝底面の円周 で、
２π×（√５）ｒ×中心角／３６０＝２πｒ
√５×中心角／３６０＝１
中心角／３６０＝１／√５＝√５／５
扇形の面積
＝π×｛（√５）ｒ｝２×中心角／３６０
＝５πｒ２×√５／５
＝（√５）πｒ２
円錐の表面積＝扇形の面積＋底面積
＝（√５）πｒ２＋πｒ２
＝（１＋√５）πｒ２ ・・・��
球の表面積＝４πｒ２ ・・・��
円柱の表面積＝２πｒ×２ｒ＋πｒ２×２
＝６πｒ２ ・・・��
�´↓�から表面積の比は、
円錐：球：円柱＝（１＋√５）：４：６ ・・・（答）
球の表面積と体積
球の半径がｒのとき、
球の表面積＝４πｒ２ （心配ある二女、心配ある事情）
球の体積＝４πｒ３／３ （身の上に心配ある三女）
（参考） 球の表面積
球の表面を微小な四角形に分割すると（左図）、
球の中心と、微小の四角形を結んでできる四角錐の体積は、
微小な四角形の底面積×ｒ／３
微小な四角形の底面積を集めたものが球の表面積Ｓであり、
球の体積は４πｒ３／３ なので、
Ｓ×ｒ／３＝４πｒ３／３
Ｓ＝４πｒ２
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（参考） 球の体積
球の体積Ｖは、球を薄く縦に切った断面（＝円）の面積を、
ｘ＝−ｒ から ｘ＝ｒ まで集めたものです（右図）。
これを、高校の数学（積分）の記号で表すと、球の体積が計算できます。次の∫ （インテグラル）と ｄｘ は、薄片を集めるという意味です。
| Ｖ | ＝ | ∫ | ｒ −ｒ |
π｛√（ｒ２−ｘ２）｝２ｄｘ | ＝ | ∫ | ｒ −ｒ |
π（ｒ２−ｘ２）ｄｘ |
| Ｖ | ＝ | π [（ｒ２ｘ−２ｘ３／３）] | ｒ −ｒ |
| Ｖ | ＝ | π｛（−ｒ３＋２ｒ３／３）−（ｒ３−２ｒ３／３）｝ | |
| ＝ | ４πｒ３／３ |
練習
１． 半径が等しい円と球があります。円の面積と球の表面積の比を求めてください。
２． 半径が９ｃｍの球の表面積を求めてください。
３． 半径が ｒ の円を底面とする、高さ ２ ｒ の円錐と、高さ ２ ｒ の円柱があります。また半径が ｒ の球があります。
（１） 円錐と球と円柱の体積の比を求めてください。
（２） 円錐と球と円柱の表面積の比を求めてください。
答 え
答 え
１． 半径を ｒ とすると、
円の面積：球の表面積＝πｒ２： ４πｒ２＝１：４ ・・・（答）
２． ４π×９２＝３２４π （ｃｍ２） ・・・（答）
３．
（１） 体積の比は、
円錐：球：円柱
＝πｒ２（２ ｒ ）／３ ： ４πｒ３／３ ： πｒ２（２ ｒ ）
＝２／３ ： ４／３ ： ２ ３をかけると、
＝２：４：６＝１：２：３ ・・・（答）
（２） 円錐の扇形部分の面積を求める。
扇形の半径（母線の長さ）は 、三平方の定理から、
√｛ｒ２＋（２ｒ）２｝＝（√５）ｒ
扇形の弧の長さ＝底面の円周 で、
２π×（√５）ｒ×中心角／３６０＝２πｒ
√５×中心角／３６０＝１
中心角／３６０＝１／√５＝√５／５
扇形の面積
＝π×｛（√５）ｒ｝２×中心角／３６０
＝５πｒ２×√５／５
＝（√５）πｒ２
円錐の表面積＝扇形の面積＋底面積
＝（√５）πｒ２＋πｒ２
＝（１＋√５）πｒ２ ・・・��
球の表面積＝４πｒ２ ・・・��
円柱の表面積＝２πｒ×２ｒ＋πｒ２×２
＝６πｒ２ ・・・��
�´↓�から表面積の比は、
円錐：球：円柱＝（１＋√５）：４：６ ・・・（答）
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