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球の基礎知識

 球の表面積と体積について基礎知識を確認し、円錐・球・円柱の面積比と体積比を求めてみましょう。

球の表面積と体積
 球の半径がのとき、
 球の表面積=4πr   (心配ある二女、心配ある事情)
 球の体積=4πr/3  (身の上に心配ある三女)

(参考) 球の表面積
 球の表面を微小な四角形に分割すると(左図)、
 球の中心と、微小の四角形を結んでできる四角錐の体積は、
  微小な四角形の底面積×r/3
 微小な四角形の底面積を集めたものが球の表面積Sであり、
 球の体積は4πr/3 なので、
  S×r/3=4πr/3
  S=4πr
球の表面積の求め方 球の体積の求め方

(参考) 球の体積
 球の体積Vは、球を薄く縦に切った断面(=円)の面積を、
 x=−r から x=r まで集めたものです(右図)。
 これを、高校の数学(積分)の記号で表すと、球の体積が計算できます。次の (インテグラル)と dx は、薄片を集めるという意味です。

−r
π(r−x)}dx
−r
π(r−x)dx
π [(rx−2x/3)]
−r
π{(−r+2r/3)−(r−2r/3)}
πr/3

練習
1. 半径が等しい円と球があります。円の面積と球の表面積の比を求めてください。

2. 半径が9cmの球の表面積を求めてください。

3. 半径が r の円を底面とする、高さ 2 r の円錐と、高さ 2 r の円柱があります。また半径が r の球があります。
(1) 円錐と球と円柱の体積の比を求めてください。
(2) 円錐と球と円柱の表面積の比を求めてください。

答 え










答 え
1. 半径を r とすると、
 円の面積:球の表面積=πr: 4πr=1:4 ・・・(答)

2. 4π×=324π (cm) ・・・(答)

3.
(1) 体積の比は、
 円錐:球:円柱
πr(2 r )/3 : 4πr/3 : πr(2 r )
=2/3 : 4/3 : 2  3をかけると、
=2:4:6=1:2:3 ・・・(答)

(2) 円錐の扇形部分の面積を求める。
 扇形の半径(母線の長さ)は 、三平方の定理から、
  +(2}=(5)
 扇形の弧の長さ=底面の円周 で、
  2π×5)r×中心角/360=2πr
  ×中心角/360=1
 中心角/360=1/5=5/5
 扇形の面積
π×{(5)×中心角/360
=5πr×√5/5
=(5)πr
 円錐の表面積=扇形の面積+底面積
          =(5)πrπr
          =(1+5)πr ・・・
 球の表面積=4πr ・・・
 円柱の表面積=2πr×πr×
          =6πr ・・・
´↓から表面積の比は、
 円錐:球:円柱=(1+5):4:6 ・・・(答)


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