中学から数学だいすき!

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自然数−商と余り

 商と余りの問題を解いてみましょう。

 例えば、17÷3 は、商が5で、余りが2なので、
  17/3=商+余り/3 ・・・
  17=商×3+余り    ・・・
  ↓△、商と余りの関係です。

例題
 51を割ると3余り、73を割ると9余る整数を求めてください。
(日大豊山高)

 求める整数を n とする。
 51=商1×n+3  商1=48/n=2×3/n
 73=商2×n+9  商2=64/n=2/n
 商1、商2は整数なので、
 n=2=16 ・・・(答)

問題
1. 2014の2乗を2020で割ったときの余りを求めてください。
(福岡大附属大濠高)


2. 2014をある2桁の整数で割ると、商が余りの3倍になりました。そのような2桁の整数を求めてください。
(成城高)


3. 正の整数 n は5で割ると2余り、6で割ると1余り、7で割ると4余ります。このような n のうち、最も小さいものを求めてください。
(洛南高)


答 え











答 え
1.
 2014=(2×1007)
 2020=2××101 から、
 2014/2020
=(4×1007)/(4×505)
=(4/4)(1014049/505) ← 4/4 を残す (注)
=(4/4)(2008+9/505)
=2008+36/2020
(答) 余りは36

(注) 例えば、12/8 と 3/2 の余りは異なる。
  12/8=1余り4
× 12/8=3/2=3/2=1余り1 は、3/2 の余りになる。
12/8=(4×3)/(4×2)
      =(4/4)(3/2)=(4/4)(1+1/2)
      =1+4/8  商が1で、余りが4
     
(別解)
 2014/2020
=(2020−6)/2020
=2020−12+36/2020
=2008+36/2020 から、余りは36 ・・・(答)

2.
 求める2桁の整数を n 、余りを m とする。
 2014=3mn+m=m(3n+1)
 3n+1=2014/m
 3n=2014/m−1 ・・・
 2014=2×19×53 から、
 2014の約数 m は、(+1)(+1)(+1)=8 個ある。
 8個の m について、,ら n を求める。
  m=1 : 3n=2013  n は2桁でないので、不適
  m=2 : 3n=1006  n は2桁でないので、不適
  m=19: 3n=105  n=35
  m=2×19: 3n=52  n は整数でないので、不適
  m=53: 3n=37  n は整数でないので、不適
  m=2×53: 3n=18 n は2桁でないので、不適
  m=19×53: 3n=1 n は整数でないので、不適
  m=2014: 3n=0 n は2桁でないので、不適
(答) 35

(参考) 2014=2×1007=2×19×53 の求め方
 31<1007<32 から、31以下の素数が約数か調べます。
  1007/2整数
  1007/3整数
  1007/5整数
  1007/7整数
  1007/11整数
  1007/13整数
  1007/17整数
  1007/19=53 (19と53は、1007の約数です)
1007が約数をもつか判定する原理
 1007を、2〜1006で割り切れるか調べるのは大変です。そこで、素数を使う方法が考えられました。
 1 2 3 4 … 19 … 31@ 1007  32 … 53 … 1007
 1007の約数は、1007 を中心に左側と右側で、(1,1007)、(19,53)と組になっています。
 また、1007 の左側の素数以外の数(合成数)は、素数との掛け算でできています。例えば、4=2、6=2×3、8=2
 したがって、1007を、1007 の左側(31以下)の素数で割り切れるか調べます。割切れれば1007は約数をもち、割り切れなければ素数です。

3.
 a 、 b、 c を商とすると、
  n=5a+2 ・・・
  n=6b+1 ・・・
  n=7c+4 ・・・
 ´↓を満たす自然数 (a,b,c) を求め、 n を求める。
  甅◆А。毅瓠棕押瓧僑癲棕
        a=(6b−1)/5 ・・・
 ◆甅: 6b+1=7c+4
       c=(6b−3)/7=3(2b−1)/7
       (2b−1)は7の倍数から、
       (b,c)=(4,3),(11,9),(18,15),…
 ぁА 複瓠ぃ癲ぃ磧
   =(自然数でない,4,3),(13,11,9),(自然数でない,18,15)
  よって、最小の (a,b,c)=(13,11,19)
  А。遏瓧毅瓠棕押瓧×13+2=67 ・・・(答)


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