中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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連立方程式−係数対称

 次のように、 x と y の係数が斜めに対称な連立方程式を解いてみましょう。
x+y=p    の係数が点対称のようになっている。
x+y=q
 2式の和は、(a+b)x+(b+a)y=p+q
         x+y=(p+q)/(a+b) ・・・
 2式の差は、(a−b)x+(b−a)y=p−q
         x−y=(p−q)/(a−b) ・・・
 ´△魏鬚と、(x,y)が求まります。

例題 次の連立方程式を解いてください。
7x+5y=31 ・・・
5x+7y=29 ・・・
(法政大第二高)

 椨◆А。隠横+12y=60  x+y=5 ・・・
 櫚◆А。横−2y=2     x−y=1 ・・・
+ぁА。横=6  x=3
−ぁА。横=4  y=2
(答) (x,y)=(3,2)

問題
 次の連立方程式を解いてください。
1. 5x+9y=2
9x+5y=2
(都立進学指導重点高)

2. 2x−5y=1
5x−2y=13
(駿台甲府高)

3. 51x+49y=1
49x+51y=2
(慶應義塾高)

4. 2+1)x+y=2
x+(2+1)y=2
(城北高)

5. (2+2)x+(2−2)y=
(2−2)x+(2+2)y=−
(東海高)

答 え











答 え
1. 5x+9y=2 ・・・
9x+5y=2 ・・・
 椨◆А。隠苅+14y=4  x+y=2/7 ・・・
◆櫚 А。苅−4y=0    x−y=0    ・・・
+ぁА。横=2/7  x=1/7
ぁА 。=x=1/7
(答) (x,y)=(1/7,1/7)

(参考)
 x と y の値が1/7で等しいのは、2つの式は文字の交換が可能な対称性があるからです。 , x と y (または5と9)を交換すると△砲覆蝓↓△ x と y (または9と5)を交換すると,砲覆蠅泙后
 例題では、左辺は対称ですが、右辺の値が異なるので対称性はありません。

2. 2x−5y=1 ・・・
5x−2y=13 ・・・
 △蓮◆檻毅+2y=−13 なので、係数は対称である。
 椨◆А。沓−7y=14  x−y=2 ・・・
◆櫚 А。械+3y=12  x+y=4 ・・・
+ぁА。横=6  x=3
ぁ櫚: 2y=2  y=1
(答) (x,y)=(3,1)

3. 51x+49y=1 ・・・
49x+51y=2 ・・・
 椨◆А。隠娃娃+100y=3  x+y=3/100 ・・・
 櫚◆А。横−2y=−1     x−y=−1/2  ・・・
+ぁА。横=3/100−1/2=−47/100
       x=−47/200
−ぁА。横=3/100+1/2=53/100
       y=53/200
(答) (x,y)=(−47/200,53/200)

4. 2+1)x+y=2 ・・・
x+(2+1)y=2 ・・・
 椨◆А 2+2)(x+y)=2+2
      2(1+2)(x+y)=2(1+2)
      x+y=2/2=2 ・・・
 櫚◆А2(x−y)=2−2
      x−y=2−2      ・・・
+ぁА。横=22−2  x=2−1
−ぁА。横=2  y=1
(答) (x,y)=(2−1,1)

5. (2+2)x+(2−2)y= ・・・
(2−2)x+(2+2)y=− ・・・
 椨◆А。粥複+y)=0  x+y=0 ・・・
 櫚◆А。2(x−y)=22  x−y=1 ・・・
+ぁА。横=1  x=1/2
: y=−x=−1/2
(答) (x,y)=(1/2,−1/2)


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