連立方程式−係数対称
次のように、 ｘ と ｙ の係数が斜めに対称な連立方程式を解いてみましょう。
２式の和は、（ａ＋ｂ）ｘ＋（ｂ＋ａ）ｙ＝ｐ＋ｑ
ｘ＋ｙ＝（ｐ＋ｑ）／（ａ＋ｂ） ・・・��
２式の差は、（ａ−ｂ）ｘ＋（ｂ−ａ）ｙ＝ｐ−ｑ
ｘ−ｙ＝（ｐ−ｑ）／（ａ−ｂ） ・・・��
�´△魏鬚�と、（ｘ，ｙ）が求まります。
例題 次の連立方程式を解いてください。
� 椨◆А。隠横�＋１２ｙ＝６０ ｘ＋ｙ＝５ ・・・��
� 櫚◆А。横�−２ｙ＝２ ｘ−ｙ＝１ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝６ ｘ＝３
��−�ぁА。横�＝４ ｙ＝２
（答） （ｘ，ｙ）＝（３，２）
問題
次の連立方程式を解いてください。
答 え
答 え
� 椨◆А。隠苅�＋１４ｙ＝４ ｘ＋ｙ＝２／７ ・・・��
�◆櫚 А。苅�−４ｙ＝０ ｘ−ｙ＝０ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝２／７ ｘ＝１／７
�ぁА 。�＝ｘ＝１／７
（答） （ｘ，ｙ）＝（１／７，１／７）
（参考）
ｘ と ｙ の値が１／７で等しいのは、２つの式は文字の交換が可能な対称性があるからです。 �，� ｘ と ｙ （または５と９）を交換すると�△砲覆蝓↓△� ｘ と ｙ （または９と５）を交換すると�，砲覆蠅泙后�
例題では、左辺は対称ですが、右辺の値が異なるので対称性はありません。
�△蓮◆檻毅�＋２ｙ＝−１３ なので、係数は対称である。
� 椨◆А。沓�−７ｙ＝１４ ｘ−ｙ＝２ ・・・��
�◆櫚 А。械�＋３ｙ＝１２ ｘ＋ｙ＝４ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝６ ｘ＝３
�ぁ櫚�： ２ｙ＝２ ｙ＝１
（答） （ｘ，ｙ）＝（３，１）
� 椨◆А。隠娃娃�＋１００ｙ＝３ ｘ＋ｙ＝３／１００ ・・・��
� 櫚◆А。横�−２ｙ＝−１ ｘ−ｙ＝−１／２ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝３／１００−１／２＝−４７／１００
ｘ＝−４７／２００
��−�ぁА。横�＝３／１００＋１／２＝５３／１００
ｙ＝５３／２００
（答） （ｘ，ｙ）＝（−４７／２００，５３／２００）
� 椨◆А �√２＋２）（ｘ＋ｙ）＝２＋２√２
√２（１＋√２）（ｘ＋ｙ）＝２（１＋√２）
ｘ＋ｙ＝２／√２＝√２ ・・・��
� 櫚◆А�√２（ｘ−ｙ）＝２−２√２
ｘ−ｙ＝√２−２ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝２√２−２ ｘ＝√２−１
��−�ぁА。横�＝２ ｙ＝１
（答） （ｘ，ｙ）＝（√２−１，１）
� 椨◆А。粥複�＋ｙ）＝０ ｘ＋ｙ＝０ ・・・��
� 櫚◆А。�√２（ｘ−ｙ）＝２√２ ｘ−ｙ＝１ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝１ ｘ＝１／２
��： ｙ＝−ｘ＝−１／２
（答） （ｘ，ｙ）＝（１／２，−１／２）
| ｛ | ａｘ＋ｂｙ＝ｐ | ｘ と ｙ の係数が点対称のようになっている。 | ||
| ｂｘ＋ａｙ＝ｑ | ||||
ｘ＋ｙ＝（ｐ＋ｑ）／（ａ＋ｂ） ・・・��
２式の差は、（ａ−ｂ）ｘ＋（ｂ−ａ）ｙ＝ｐ−ｑ
ｘ−ｙ＝（ｐ−ｑ）／（ａ−ｂ） ・・・��
�´△魏鬚�と、（ｘ，ｙ）が求まります。
例題 次の連立方程式を解いてください。
| ｛ | ７ｘ＋５ｙ＝３１ | ・・・�� | |||
| ５ｘ＋７ｙ＝２９ | ・・・�� |
| （法政大第二高） |
� 椨◆А。隠横�＋１２ｙ＝６０ ｘ＋ｙ＝５ ・・・��
� 櫚◆А。横�−２ｙ＝２ ｘ−ｙ＝１ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝６ ｘ＝３
��−�ぁА。横�＝４ ｙ＝２
（答） （ｘ，ｙ）＝（３，２）
問題
次の連立方程式を解いてください。
| １． | ｛ | ５ｘ＋９ｙ＝２ | |
| ９ｘ＋５ｙ＝２ |
| （都立進学指導重点高） |
| ２． | ｛ | ２ｘ−５ｙ＝１ | |
| ５ｘ−２ｙ＝１３ |
| （駿台甲府高） |
| ３． | ｛ | ５１ｘ＋４９ｙ＝１ | |
| ４９ｘ＋５１ｙ＝２ |
| （慶應義塾高） |
| ４． | ｛ | （√２＋１）ｘ＋ｙ＝２ | |
| ｘ＋（√２＋１）ｙ＝２√２ |
| （城北高） |
| ５． | ｛ | （２＋√２）ｘ＋（２−√２）ｙ＝√２ | |
| （２−√２）ｘ＋（２＋√２）ｙ＝−√２ |
| （東海高） |
答 え
答 え
| １． | ｛ | ５ｘ＋９ｙ＝２ | ・・・�� | ||
| ９ｘ＋５ｙ＝２ | ・・・�� |
�◆櫚 А。苅�−４ｙ＝０ ｘ−ｙ＝０ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝２／７ ｘ＝１／７
�ぁА 。�＝ｘ＝１／７
（答） （ｘ，ｙ）＝（１／７，１／７）
（参考）
ｘ と ｙ の値が１／７で等しいのは、２つの式は文字の交換が可能な対称性があるからです。 �，� ｘ と ｙ （または５と９）を交換すると�△砲覆蝓↓△� ｘ と ｙ （または９と５）を交換すると�，砲覆蠅泙后�
例題では、左辺は対称ですが、右辺の値が異なるので対称性はありません。
| ２． | ｛ | ２ｘ−５ｙ＝１ | ・・・�� | ||
| ５ｘ−２ｙ＝１３ | ・・・�� |
� 椨◆А。沓�−７ｙ＝１４ ｘ−ｙ＝２ ・・・��
�◆櫚 А。械�＋３ｙ＝１２ ｘ＋ｙ＝４ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝６ ｘ＝３
�ぁ櫚�： ２ｙ＝２ ｙ＝１
（答） （ｘ，ｙ）＝（３，１）
| ３． | ｛ | ５１ｘ＋４９ｙ＝１ | ・・・�� | ||
| ４９ｘ＋５１ｙ＝２ | ・・・�� |
� 櫚◆А。横�−２ｙ＝−１ ｘ−ｙ＝−１／２ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝３／１００−１／２＝−４７／１００
ｘ＝−４７／２００
��−�ぁА。横�＝３／１００＋１／２＝５３／１００
ｙ＝５３／２００
（答） （ｘ，ｙ）＝（−４７／２００，５３／２００）
| ４． | ｛ | （√２＋１）ｘ＋ｙ＝２ | ・・・�� | ||
| ｘ＋（√２＋１）ｙ＝２√２ | ・・・�� |
√２（１＋√２）（ｘ＋ｙ）＝２（１＋√２）
ｘ＋ｙ＝２／√２＝√２ ・・・��
� 櫚◆А�√２（ｘ−ｙ）＝２−２√２
ｘ−ｙ＝√２−２ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝２√２−２ ｘ＝√２−１
��−�ぁА。横�＝２ ｙ＝１
（答） （ｘ，ｙ）＝（√２−１，１）
| ５． | ｛ | （２＋√２）ｘ＋（２−√２）ｙ＝√２ | ・・・�� | ||
| （２−√２）ｘ＋（２＋√２）ｙ＝−√２ | ・・・�� |
� 櫚◆А。�√２（ｘ−ｙ）＝２√２ ｘ−ｙ＝１ ・・・��
��＋�ぁА。横�＝１ ｘ＝１／２
��： ｙ＝−ｘ＝−１／２
（答） （ｘ，ｙ）＝（１／２，−１／２）
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