中学から数学だいすき!

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文章題3−濃度(公式)

 食塩水の濃度について、問題を解いてみましょう。はじめに、食塩水を混ぜたときの濃度の計算方法について説明します。

 食塩水(a%,Ag)と食塩水(b%,Bg)を混ぜて、 x %の食塩水ができるとき、
  A(x−a)=B(b−x) が成り立ちます。
(理由)
 濃度=食塩の重さ/食塩水の重さ から、
  x=(aA+bB)/(A+B)
  (A+B)x=aA+bB
  A(x−a)=B(b−x)

 なお、 水を0%の食塩水、食塩を100%の食塩水とみなすと、
  A(x−a)=B(b−x) が適用できます。
  濃度の計算

(参考) シーソーのつり合い
 食塩水を混ぜる濃度の計算は、シーソーのつり合いと同じ構造になっています。シーソーには、反時計回りと時計回りに回転する力(モーメント)が働きます。
 回転する力=重さ×支点からの距離
が等しいときにつり合います。
 シーソーのつり合い2

例題1
 濃度7%の食塩水200g に水を x g 加えたら、濃度4%の食塩水になりました。 x の値を求めてください。
(都立隅田川高)

 水(0%の食塩水) x g と7%の食塩水200g を加えて4%になったので、
 4x=(7−4)×200  x=150 (g) ・・・(答)
7−4 食塩水
0% ―――― 4% ――― 7%
200g

例題2
 6%の食塩水300gに12%の食塩水を加えたところ10%の食塩水ができました。12%の食塩水は何 g 加えましたか。
(江戸川学園取手高)

 加える食塩水を x g とする。
 (10−6)×300=(12−10)x
 x=4×300/2=600 (g) ・・・(答)
食塩水 10−6 12−10 食塩水
6% ―――― 10% ――― 12%
300g xg

問題
1. 三平さんは釣ってきたニジマスの燻製を作るため、26%の飽和食塩水を作り、その中に魚を入れることにしました。500gの水に、食塩を徐々に加えていくと、食塩は何g で溶けなくなりますか。小数第1位を四捨五入し、整数で答えてください。

2. 5%の食塩水が x g 入っている容器Aがあります。容器Aに12
%の食塩水200 g のみを入れてよくかき混ぜて作ったときの食塩水と、容器Aに食塩 8 g のみを入れてよくかき混ぜて作ったときの食塩水は濃度が同じになります。 x を求めてください。
(西大和学園高)


3. 濃度10%の食塩水10 kg から、 x kg くみ出し、同量の水を戻しました。さらに2 x kg くみ出して、それと同量の水を戻したところ、7.2%の食塩水になりました。 x の値を求めてください。
(中央大杉並高)

答 え










答 え
1.
 加えた食塩(100%の食塩水)を x g とする。
 26×500=(100−26)x
 x=26×500/74=175.6…
(答) 176 g
26 100−26 食塩
0% ―――― 26% ―――― 100%
500g xg

2.
 混ぜてできた食塩水を y %とし、条件をまとめる。
A+(12% の食塩水)
食塩水 y−5 12−y 食塩水
5% ―――― y% ―――― 12%
xg 200g
A+(8g の食塩)
食塩水 y−5 100−y 食塩水
5% ―――― y% ―――― 100%
xg 8g
 2つの図から、
  x(y−5)=200(12−y) ・・・
  x(y−5)=8(100−y)  ・・・
 甅◆А。横娃亜複隠押檻)=8(100−y)
 25(12−y)=100−y
 300−25y=100−y
 24y=200  y=25/3
◆А。=8(100−y)/(y−5)
    =8(100−25/3)/(25/3−5)
    =8(300−25)(25−15)
    =8×275/10
    =220 (g) ・・(答)

3.
 水(0%の食塩水) x kg と、10%の食塩水(10−x)kg を混ぜたときの濃度を y とする。
 食塩水を x kg くみ出し、水 x kg を入れるので、
10−y 食塩水
0% ―――― y% ―――――― 10%
xkg (10−x)kg
 xy=(10−x)(10−y)
 xy=100−10y−10x+xy
 10x−10y=100
 y=10−x

 水(0%の食塩水) 2x kg と、(10−x)%の食塩水(10−2x)kg を混ぜたときの濃度は7.2%になる。
 食塩水を 2x kg くみ出し、水 2x kg を入れるので、
7.2 (10−x)−7.2 食塩水
0% ―――― 7.2% ―――――――― (10−x)%
2xkg (10−2x)kg
 7.2×2x=(10−x−7.2)(10−2x)
 14.4x=(2.8−x)(10−2x)
 14.4x=28−5.6x−10x+2x
 2x−30x+28=0
 x−15x+14=0
 (x−1)(x−14)=0  x=1,14
 10−2x>0 から、x=1 ・・・(答)

参考文献
「続・受験算数の裏ワザテクニック」(山内 正著、文英堂)


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