中学から数学だいすき!

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加重平均の適用例

 数学の話題です。加重平均という平均のしかたがあります。

 加重平均は、次の計算で使われています。
 ・ シーソーの支点の位置
 ・ 値段の平均値
 ・ 食塩水を混合した濃度
 ・ ヒストグラムの平均値
 ・ ゲームの期待値

 平均は、凸凹(でこぼこ)を平らに均(なら)すことを意味し、その値を平均値または平均といいます。

シーソーの支点の位置
 シーソーの支点の位置を x 、左の位置と重さを(a,A)、右の位置と重さを(b,B)とします。
 シーソーがつり合っているとき、左右の回転する力が等しいので、
 A(x−a)=B(b−x)  ← (重さ×支点との差)が等しい。
 式を変形すると、(A+B)x=Aa+Bb
 x=(Aa+Bb)/(A+B)  ← 加重平均
 A 、 B を「重み」といい、重みをかけた平均を加重平均といいます。
 シーソーの支点の位置 x は加重平均になっています。
距離 x−a b−x
位置 ―― ―――― ―――
重さ

値段の平均値
 100 円のりんごを2個と、200 円のりんごを3個を買いました。りんご1個の値段の平均値を求めてみましょう。

 平均値=(100+200)/2=150 (円) ではありません。りんごの個数が考慮されていないからです。正しくは、
 平均値=(100+100+200+200+200)/5
     =800/5=160 (円/個) が答えです。
 かけ算で式を表すと、
 平均値=(100×2+200×3)/(2+3)=160 (円/個)
  2 と 3 は重みなので、加重平均です。
 ここで、平均値を x 、(値段,個数)を、(a,A)と(b,B)で表すと、
  x=(Aa+Bb)/(A+B) ・・・
 式を変形すると、
  A(x−a)=B(b−x) ・・・
 ´△魯掘璽宗爾亮阿汎韻犬任后,蓮加重平均の計算です。△虜己佞髪κ佞蓮◆文朕瑤僚鼎漾×(平均値からの差) です。
x−a b−x
値段 ―― ―――― ―――
個数

混合した食塩水の濃度
 食塩水の(濃度,重さ)が(a%,Ag)と(b%,Bg)の2つを混合した濃度を x %とします。
 x=(食塩の量/食塩水の量)×100 (%) から、
 x=(Aa+Bb)/(A+B) から、混合した濃度は加重平均です。
 式を変形すると、
 A(x−a)=B(b−x) から、シーソーのつり合いの式と同じです。
x−a b−x
濃度 ―― ―――― ―――
重さ Ag Bg

ヒストグラムの平均値
 階級値と度数が、(a,A)と(b,B)の2つの平均値を x とすると、
 x=(Aa+Bb)/(A+B) から、平均値は加重平均です。
 A(x−A)=B(b−x) から、シーソーの式と同じです。
 度数A、Bは縦の棒で表され、階級値の重みになります。










―― ――― ――――  階級値
x−a b−x

ゲームの期待値
 期待値は高校で学習するので、ゲームの例で説明します。
例: 1個のさいころを1回投げて、3の倍数が出ると500点、そうでないときは50点がもらえます。さいころを1回投げるとき、何点もらえることが期待できますか。

 目の出方は6通りあり、3の倍数は3と6の2通りから、
  3の倍数が出る確率は、2/6=1/3
  そうでない確率は、1−1/3=2/3
 500点がもらえる確率は1/3、
  50点がもらえる確率は2/3 から、
  期待値=(500×1/3+50×2/3)/(1/3+2/3)
       =200 (点) ・・・(答)
  ここで、期待値を x 、(点数,確率)を(a,A)と(b,B)で表すと、
   x=(Aa+Bb)/(A+B)
   A(x−A)=B(b−x) から、シーソーの式と同じです。
  なお、期待値の計算は、分母の確率の和が1なので、分子だけを計算します。
x−a b−x
点数 ―― ―――― ―――
確率

加重平均のまとめ
 5つの事例の計算方法は同じで、加重平均による。また、(重み×平均値との差)は等しい。
 値 a 、 b のそれぞれの重みが A 、 B のとき、
 平均値 x は、
  x=(Aa+Bb)/(A+B) ・・・ 加重平均
  A(x−a)=B(b−x)    ・・・ (重み×差)は等しい。
x−a b−x
―― ―――― ―――
重み


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