中学から数学だいすき!

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2次関数−動点2

2次関数とグラフ 目次 >

 放物線上を点が移動する問題を解いてみましょう。

問題
1. 下の図のように、関数 y=x/4 のグラフと、直線 y=−x/2+6 があります。このとき、次の問いに答えてください。
   2次関数_動点2問題1
(1) 関数 y=x/4 のグラフ上に、x 座標が −2 となる点Aをとるとき、Aの y 座標を求めてください。
(2) 関数 y=x/4 のグラフ上を動く点Pと、直線 y=−x/2+6 のグラフ上を動く点Qがあります。
 P、Q の x 座標が等しく、PQ =6 のとき、Pの x 座標をすべて求めてください。
(岩手県高)


2. 下の図で、曲線は関数 y=x/2 のグラフです。曲線上に x 座標が −1,3 の2点A、Bをとります。このとき、次の問いに答えてください。
   2次関数_動点2問題2
(1) 直線ABの式を求めてください。
(2) x 軸を対称の軸として点Bと線対称の点C をとり、四角形CAO Bをつくります。この四角形CAO Bの面積を求めてください。ただし、座標軸の単位の長さを1cmとします。
(3) 曲線上を、x 座標が x<-1 の範囲で動く点Pを考えます。△PABと△PO Bの面積が等しくなるとき、点Pの座標を求めてください。
(埼玉県高)

答 え











答 え
1.
(1)
 y=x/4 で、x=−2 から、
 y=1 ・・・(答)
(2)
Pが上でQが下のとき、
 PQ=x/4−(−x/2+6)=6
 x/4+x/2−12=0
 x+2x−48=0
 (x+8)(x−6)=0  x=−8,6
Qが上でPが下のとき、
 PQ=(−x/2+6)−x/4=6
 x/4+x/2=0
 x+2x=0
 x(x+2)=0  x=−2,0
´△ら、
 x=−8,−2,0,6 ・・・(答)

2.
(1)
 直線を、y=ax+b とする。
 交点の y 座標は等しいので、
  x/2=ax+b
  x−2ax−2b=0
 交点の x 座標が −1,3 から、
  x−2ax−2b=(x+1)(x−3)
            =x−2x−3
 係数を比較すると、
  2a=2  a=1
  2b=3  b=3/2
 よって直線は、y=x+3/2 ・・・(答)
(2)
 左の図で、
 四角形=‖羞繊椨⊂さい三角形+三角形
   瓧粥複院棕魁法殖押瓧
  ◆瓧×(1/2)/2=1/4
  =3×(9/2)/2=27/4
  椨◆椨=8+28/4=15 (cm) ・・・(答)

 2次関数_動点2問題2解答

(3)
 右の図のように、2つの三角形の面積が等しくなるのは、
 PB//AO のときである。  平行線と面積の定理
 AO の傾きは、−1/2 ・・・
 P(x,x/2) とし、x を求める。
  B(3,9/2) から、
  PBの傾きは、(x/2−9/2)/(x−3)
 ,ら、
  (x/2−9/2)/(x−3)=−1/2
  x/2−9/2=−(x−3)/2
  x−9+x−3=0
  x+x−12=0
  (x+4)(x−3)=0
  x<−1 から、x=−4
  x/2=8
 よってPの座標は、(−4,8) ・・・(答)


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