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2次関数−座標と面積

2次関数とグラフ 目次 >

 関数上の点や原点などを結んでできる図形の面積について、問題を解いてみましょう。

 下の左の図を見てください。AとBは放物線と直線の交点で、O は原点です。このグラフの状態を右の図のように、 座標 A(−4,16)、B(3,9)、O(0,0) で表すことにします。

  2次関数_座標と面積_表記

1. 等積変形で面積を求める
例題1
 △AOBの面積を求めてください。

 平行線と面積の定理から、底辺をO'O とし、点A、点Bを y 軸に平行移動すれば、△AO Bを等積変形できる。
   2次関数_座標と面積_等積変形
 △AO B=△A'OB'=A'B'×O'O/2 ・・・
 O'の座標を求める。
 直線を、y=ax+b とすると、
  16=−4a+b
   9=3a+b
 2式の差から、7=−7a  a=−1
 b=9−3a=12
 y=−x+12 から、O'(0,12)
 ,如■'B'=7 O'O=12 から、
 △AO B=7×12/2=42 ・・・(答)

2. 面積を2等分する中点を求める
例題2
 △AOBの面積を2等分する直線MO の式を求めてください。

   2次関数_座標と面積_2等分
 平行線と面積の定理から、高さが等しいとき、底辺が等しければ面積は等しい。
 AM=MB のとき、面積が2等分される。
 M(x,y) とすると、
  x=(−4+3)/2=−1/2
  y=(16+9)/2=25/2
 M(−1/2,25/2) から、
 直線MOは、y=(25/2)/(−1/2)
          =−25x ・・・(答)

3. 面積を比で分ける点を求める
例題3
 AB上の点をPとするとき、△APO :△BPO =3:2 に分ける点Pの座標を求めてください。
   2次関数_座標と面積_比で分ける
 平行線と面積の定理から、高さが等しいとき、面積の比は底辺の比になる。
 P(x,y) とすると、線分の分割はたすきがけの計算から、
  x={×(−4)+×3}/()=1/5
  y=(×16+×9)/()=59/5
 よってPの座標は、(1/5,59/5) ・・・(答)

問題
 下図のように、関数 y=x のグラフと直線の交点をP,Qとし、直線と y 軸との交点をRとします。また、点Pの y 座標は16で、 PRとOQ Rの面積比は 4:3 とします。

   2次関数_座標と面積_問題

 このとき、次の問いに答えてください。
1. PとQの座標と、直線の式を求めてください。
2. 線分PQ の長さを求めてください。
3. 原点O から直線に垂線を引き、直線との交点をHとするとき、O Hの長さを求めてください。
4.  PQを、直線を軸として1回転させてできる立体の体積を求めてください。
(福井県高)

答 え











答 え
1.
 P,Qの座標を求める。
 P(x,16)とすると、16=x
 x<0 から、x=−4
 P(−4,16) ・・・(答)
   2次関数_座標と面積_比で分ける問題解
 Q(x,x)とすると、OPRとOQ Rの高さは共通のOHなので、
 PR:Q R=4:3
 分ける点Rの x 座標は0なので、
 0={3×(−4)+4x}/(4+3)
 x=3
 よって、Q(3,9) ・・・(答)
 直線の式を、y=ax+b とすると、
 P(−4,16)とQ(3,9)を通るので、
  16=−4a+b ・・・
   9=3a+b   ・・・
  櫚△ら、7=−7a a=−1
 △ら、b=9−3a=12
 よって、y=−x+12 ・・・(答)

2.
 P(−4,16)、Q(3,9)なので、三平方の定理から、
 PQ={(3+4)+(9−16)
   =72 ・・・(答)
3.
 Hの座標を求め、O Hを計算する。
 直線 y=−x+12 に垂直なO Hの式は、
 y=x である。
 x=−x+12 から、x=6
 y=x=6
 H(6,6)なので、
 OH=(6+6)=62 ・・・(答)

   2次関数_座標と面積_解答
4.
 高さPHの円錐(すい)の体積から、高さQ Hの円錐の体積を引く。
 Q(3,9)、H(6,6)から、
 QH=(9+9)=3
 PH=PQ+QH=10
 体積=(/3)π(62)(102−32)
    =168(2)π ・・・(答)

(参考)
 円錐の体積計算で、1/3 がつく理由: 角錐・円錐の体積


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