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センター試験2017 放物線

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 センター試験で出題された放物線の問題を、変化の割合を使って解いてみましょう。はじめに類題を確認します。

類題
 点(−1,−3)を通り、放物線 y=x に (t,t) で接する直線の方程式を求めてください。ただし、t>0 とします。

    放物線と接線

接線の傾きを求める。
  y=x で、x が p から q に増加するとき、
 変化の割合は、
  (q−p)/(q−p)
 =(q+p)(q−p)/(q−p)
 =p+q
 p=q=x のときの変化の割合は、
  p+q=2x
 よって、x=t での接線の傾きは、2t
接線の式を t で表す。
 接線の式を、y=2tx+b とする。
 接線は(t,t)を通るので、
   t=2t+b
   b=−t
 よって接線の式は、
  y=2tx−t ・・・
t を求め、接線の式を表す。
 接線は(−1,−3)を通るので、
  −3=−2t−t
  t+2t−3=0
  (t+3)(t−1)=0
  t>0 から、t=1
 ,ら、y=2x−1 ・・・(答)

問題
 0 を原点とする座標平面上の放物線 y=x+1 を C とし、
点(a,2a) をPとする。
 点Pを通り、放物線 C に接する直線の方程式を求めよう。
 C 上の点(t,t+1) における接線の方程式は、
   y=【 ア 】tx−t+【 イ 】
である。この直線がPを通るとすると、t は方程式
   t−【 ウ 】at+【 エ 】a−【 オ 】=0
を満たすから、t=【 カ 】a−【 キ 】,【 ク 】 である。
 よって、a【 ケ 】 のとき、Pを通る接線は2本あり、
それらの方程式は、
   y=(【 コ】a−【 サ 】)x−【 シ 】a+【 ス 】a と、
   y=【 セ 】x である。

答 え











答 え
x=t での接線の傾きを求める。
  y=x+1 で、x が p から q に増加したとき、
 変化の割合は、
  {(q+1)−(p+1)}/(q−p)
 =(q−p)/(q−p)
 =p+q
 p=q=x のときの変化の割合は、
  p+q=2x
 よって、x=t での接線の傾きは、2t

接線の方程式を求める。
 接線を、y=2tx+b とすると、(t,t+1) を通るので、
  t+1=2t+b
  b=1−t
 よって接線の式は、
  y=2tx+1−ttx−t ・・・【 ア 】【 イ 】

接線上の点P(a,2a)から、t を求める。
 接線の式に、(a,2a)を代入すると、
  2a=2at−t+1
  tat+a−=0 ・・・【 ウ 】【 エ 】【 オ 】
 平方完成によって t を解く。
  t−2at+a=a−2a+1
  (t−a)=(a−1)
   t=a±a−1
   t=a− ・・・【 カ 】【 キ 】【 ク 】

接線の式を求める。
 よって、aのとき、 ・・・【 ケ 】
 接線の式は、
 t=2a−1 のとき、
  y=2tx−t+1
   =2(2a−1)x−(2a−1)+1
   =(4a−2)x−(4a−4a+1)+1
   =(a−)x−a ・・・【 コ 】【 サ 】【 シ 】【 ス 】
 t=1 のとき、
  y=2tx−t+1=x ・・・【 セ 】

(答)

参考文献
読売新聞 2017年1月16日朝刊 「大学入試センター試験 数学僑臓数学B」


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