中学から数学だいすき!

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円錐−基礎知識

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 円錐(えんすい)について学習します。はじめに、基礎知識を確認しましょう。

 円錐は、底面が円で、 錐 ( きり ) のようにとがった立体です。底面が多角形のとき角錐といい、三角錐や四角錐があります。
円錐_形
 円錐の展開図は、底面が円で、側面が扇形(おうぎがた)です。
円錐_底面と側面の関係   a: 中心角
  L: 弧
  r: 半径
  R: 母線

扇形の弧の長さ=底面の円周 (L=2πr)
扇形の面積=π×(中心角/360) ← 部分/全体
        =π×(弧の長さ/扇形の円周)
        =π×(2πr/2πR)
        =πrR     
円錐の表面積=円の面積+扇形の面積
円錐の体積=底面積×高さ/3  3で割る理由

例題
 円錐の展開図があります。側面の扇形の中心角は120° で、底面の円の半径は4cmです。側面の扇形の半径を求めてください。
(和歌山県高)
 扇形の半径を x cm とする。
 底面の円周=扇形の弧の長さ から、
 2π×4=(2πx)×120/360
 4=x/3
 x=12 (cm) ・・・(答)

練習
1. 下の図は、ある立体の投影図です。
(1) この投影図が表す立体の名前として、正しいものを1つ選んでください。

   円錐_投影図

 ア 三角柱  イ 円柱  ウ 三角錐  エ 円錐

(2) この立体の体積を求めてください。
(北海道高)
2. 母線の長さが13cm、高さが12cmの円錐があります。
(1) 表面積を求めてください。
(2) 体積を求めてください。

答 え












答 え
1.
(1) エ 円錐

(2) 体積=底面積×高さ/3
       =π××4/3
       =12π (cm) ・・・(答)
2.
(1)
 底面の面積を求める。
  底面の半径=(13−12)  ← 三平方の定理
          =(13+12)(13−12)
          =25=5
  底面積=π×=25π ・・・
 側面の面積を求める。
  円の半径を r、扇型の半径(=母線)をRとすると、
  扇形の面積=π×(2πr/2πR)
         =πrR=(5×13)π=65π ・・・
  椨◆
 表面積=25π+65π=90π (cm) ・・・(答)

(2) 体積=底面積×高さ/3  ,ら、
       =25π×12/3
       =100π(cm) ・・・(答)


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