中学から数学だいすき!

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円錐−回転

円錐 目次 >

 回転に関する円錐の問題を解いてみましょう。

例題
 底面の円の直径が 4cm 、母線の長さが 12cm の円錐があります。図のように、この円錐を頂点 O を中心として平面上をすべることなくころがしました。円錐が点線で示した円の上を1周してもとの位置に戻るまでに何回転するか求めてください。

   円錐_円錐を回転_例題
(青森県高)
 回転数=点線の円周/底面の円周
      =2π×12/(2π×2)=6 (回転) ・・・(答)

練習
1. 図のように、底面の半径が 3cm で、高さが 4cm の円錐があります。
(1) 円錐は、ある平面図形を直線のまわりに 1 回転させてできる立体とみることができます。直線を回転の軸として 1 回転させたとき、円錐ができる図形として正しいものはどれですか。

   円錐_回転体

(2) 図の円錐の体積を求めてください。
(3) 図の円錐の側面となる扇形の半径と、中心角の大きさを求めてください。
(長野県高)

2. 鉄でできた円錐の形をした重りがあります。図1のように重りを倒し、平面上を回転させたところ、重りは 5 回転して半径 10 cm の円をちょうど 3周しました。このとき、次の各問いに答えてください。

   円錐_円錐を回転_練習

(1) 半径 10 cm の円の円周の長さを求めてください。
(2) この重りの底面の半径を求めてください。
(3) 水が入っている円柱の形をした水槽(すいそう)があります。水の高さは 2cm です。ここに図1の重りを図2のように入れると、水の高さが最初の高さの 2倍になりました。この水槽の底面の半径を求めてください。ただし、水槽の厚みは考えないものとします。
(沖縄県高)

答 え












答 え
1.
(1) イ

(2) 円錐の体積=底面積×高さ/3
           =3π×4/3
           =12π (cm) ・・・(答)
(3)
 扇形の半径を x cm 、中心角を y ° 、とすると、
 扇形の弧の長さ=底面の円周 から、
  2π×(y/360)=2π×3 ・・・
 三平方の定理から、
  x=(3+4)=25=5  ,紡綟すると、
  5×(y/360)=3
  y=3×360/5=216
(答) 半径 5cm  中心角 216°

2.
(1) 円周=2π×半径
       =2π×10=20π (cm) ・・・(答)

(2) 重りの底面の半径を x cm とする。
 重りが5回転して3周したので、
  (2πx)×5=(20π×
  x=6 (cm) ・・・(答)

(3) 水槽(円柱)の底面の半径を x cm とする。
 三平方の定理から、
  円錐の高さ=(10−6)=64=8
 円錐台の高さは、2cmの2倍になったので、4cm
 円錐台の体積=円柱内の水が2cm増加した体積 である。

   円錐_円錐を回転_練習_各長さ

 円錐台の体積=円錐の体積−小さい円錐の体積
          =6π×8/3−3π×4/3
          =(96−12)π=84π      ・・・
 円柱内の水が2cm増加した体積=xπ×2  ・・・
  甅◆А。牽π=2xπ
 x>0 から、x=42 (cm) ・・・(答)


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