中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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円錐−最短距離

円錐 目次 >

 円錐の側面に、最短距離で糸をかける問題を解いてみましょう。

例題
 下の円錐で、底面の円周の1点Pから側面を通って点 P まで糸をかけます。かける糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さを求めてください。底面の半径は 1cm 、母線の長さは 6cm です。

   円錐_最短距離_例題
(駿台甲府高)
 点 P から頂点まで切った展開図を考える。
 点 P と重なる点を P’ とすると、
 両辺が 6cm の二等辺三角形の底辺が糸の最短距離になる。

   円錐_最短距離_例題_展開図

 扇形の中心角を求める。
  底面の円周=扇形の弧の長さ から、
  2π×1=2π××中心角/360
  中心角=60 (°)
  頂点と P、P’ を結ぶと正三角形になるので、
  底辺=6 (cm) ・・・(答)

練習
1. 下図のように底面の半径が 1cm、母線の長さが 3cm の円錐があります。このとき、次の問いに答えてください。

    円錐_最短距離_問題1

(1) この円錐の体積を求めてください。
(2) この円錐の表面積を求めてください。
(3) 底面の円周上の点 P から円錐の側面を 1 周して、点 P までひもをかけます。ひもの長さが最も短くなるときの、ひもの長さを求めてください。
(富山県高)


2. 図は、線分AB を直径とする円 O を底面とし、線分 AC を母線とする円錐であり、点 D は線分 BC の中点です。AB=6cm、AC =10cm のとき、次の問いに答えてください。

    円錐_最短距離_問題2

(1) この円錐の体積を求めてください。
(2) この円錐において、2点 A、D 間の距離を求めてください。
(神奈川県高)

答 え












答 え
1.
(1)
 底面の半径=1
 円錐の高さ=(3−1)=8=2
 体積=(π××2/3
    =(22/3)π (cm) ・・・(答)
(2)
 表面積=円の面積+扇形の面積 ・・・
 扇形の中心角を求める。
  底面の円周=扇形の弧の長さ から、
   2π×1=2π××中心角/360
   中心角=120 (°)
 扇形の面積=(π××120/360=3π
 円の面積=π×π
  А”縮明僉瓧ππ=4π (cm) ・・・(答)

(3)
 下図の 線分 PP’ が最短距離になる。
 30°、60° の直角三角形の辺の比から、
 PP’=33/2+33/2=33 (cm) ・・・(答)

    円錐_最短距離_解答1
2.
(1)
 底面の半径=3
 円錐の高さ=(10−3)=91
 体積=3π×√91/3
    =(391)π (cm) ・・・(答)
(2)
 △ABC で、底辺の二等分線 AD と C O の交点Gは重心である。

    円錐_最短距離_解答2

 AD=AG+GD ・・・
  重心から、AG:GD=2:1  GD=AG/2
   А。腺帖瓧腺如棕腺如殖押瓠複魁殖押烹腺如 ΑΑΝ
 △GAO で、
  重心から、GO =C O/3=91/3
  AO =3
  AG={(91/3)+3
     =(172/9)=243/3
 ◆А。腺帖瓠複魁殖押×43/3
       =43 (cm) ・・・(答)


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