中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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円錐−最短距離2

円錐 目次 >

 前回に続き、円錐上の線が最短になる問題を解いてみましょう。

練習
 図は、線分AB を直径とする円を底面とし、線分 AC を母線とする円錐です。AB=6cm、AC=10cm のとき、(3)に答えてください。

    円錐_最短距離_問題3

(1)(2) 前回の練習2
(3) この円錐の表面上に、点 A から線分 BC と交わるように。点 A まで線を引きます。このような線のうち、長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めてください。
(神奈川県高)

答 え












答 え
(3)
(解答) 三角形の内側に二等辺三角形を作る。
 側面の展開図をかくために、扇形の中心角を求める。
 中心角を a とすると、弧の長さと底面の円周が等しいので、
  (2×10)π×(a/360°)=(2×3)π
  10a/360°=3   a=108°

 AとA'(=A)の最短経路は直線なので、AA'=x を求める。
 108°=72°+36° から、 DC =DA’ となる点 D をとる。

   円錐の最短距離の問題

  図から、2組の角がそれぞれ等しいので、
  △CAA' △DA'C
   10:(x−10)=x:10
   x−10x=100  平方完成するため25をたすと、
   x−10x+25=125
   (x−5)=125
   x=5±5
   x>0 から、x=5+55 (cm) ・・・(答)

(別解) 三角形の外側に二等辺三角形を作る。
 中心角108° を求める過程は同じ。
 AC を延長し、A’C =A’E となる点 E をとる。

   円錐_最短距離_解答3

 頂角が36° の二等辺三角形の両底角は、
  (108ー36)/2=72°
 三角形の外角は、隣り合わない内角の和と等しいので、
  36+36=72°
 図から、2組の角がそれぞれ等しいので、
  △AA’E △A’EC
  AA’ を x cm とすると、
  x:10=10:(x−10)
  x−10x=100  両辺に (10/2) をたすと、
  x−10x+5=125
  (x−5)=125
  x=5±125=5±5
  x>0 から、x=5+55 (cm) ・・・(答)

(参考) この問題を解くための基礎知識
二等辺三角形の両底角は等しい。
  頂角が36° の二等辺三角形の両底角は 72°
三角形の外角は、隣り合わない内角の和に等しい。
2組の角がそれぞれ等しい2つの三角形は相似である。
2次方程式を、平方完成または解の公式で解く。


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