中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。
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円錐−最短距離2

円錐 目次 >

 前回に続き、円錐上の線が最短になる問題を解いてみましょう。

練習
 図は、線分AB を直径とする円を底面とし、線分 AC を母線とする円錐です。AB=6cm、AC=10cm のとき、(3)に答えてください。

    円錐_最短距離_問題3

(1)(2) 前回の練習2
(3) この円錐の表面上に、点 A から線分 BC と交わるように。点 A まで線を引きます。このような線のうち、長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めてください。
(神奈川県高)

答 え












答 え
(3)
 扇形の中心角を求める。
 底面の円周=扇形の弧の長さ から、
  2π×3=2π×10×中心角/360
  中心角=108 °
 下図の 線分 AA’ が最短距離になる。

   円錐_最短距離_解答3

 △C AA’ は二等辺三角形なので、両底角は、
  (180−108)/2=72/2=36°
 36° と 72° に着目する。
 頂角が36° の二等辺三角形の両底角は、
  (108ー36)/2=72° である。
 AC を延長し、AA’=AE となる点 E をとり、点 E と 点 A’ を直線で結ぶ。
 △AA’ E の両底角は、 (180−36)/2=72°
 内角と外角の関係から、∠A’C E=36+36=72°
 大・小の二等辺三角形の両底角は、72° となり、
 2組の角がそれぞれ等しいので、
  △AA’E △A’EC
  AA’ を x cm とすると、
  x:10=10:(x−10)
  x−10x=100  両辺に (10/2) をたすと、
  x−10x+5=125
  (x−5)=125
  x=5±125=5±5
  x>0 から、x=5+55 (cm) ・・・(答)

(参考) この問題を解くための基礎知識
二等辺三角形の両底角は等しい。
  頂角が36° の二等辺三角形の両底角は 72°。
三角形の外角は、隣り合わない内角の和に等しい。
2組の角がそれぞれ等しい2つの三角形は相似である。
2次方程式を、平方完成または解の公式で解く。


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