中学から数学だいすき!

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円錐−容器に注水

円錐 目次 >

 円錐の容器に水を入れる問題を解いてみましょう。

練習
1. 底面の半径が 4cm の円錐の形をした、深さが 12cm の容器があります。この容器に水を入れ、下の図のように水面が容器の底面と平行になるようにしました。このとき、水面の高さが 9cm になりました。この状態の容器に、はじめに入れた水と等しい体積の水を加えると、容器から水があふれるか、あふれないかを答え、その理由を式と言葉を用いて書いてください。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

    円錐_容器に注水1 横から見た図
(秋田県高)


2. 下の図のような円錐の容器に深さ 3cm まで水が入っています。この容器にさらに水を 98 cm 入れると、水面が 3cm 高くなりました。水面をさらに 3cm 高くするためには、あと何 cm の水が必要ですか。

     円錐_容器に注水2
(法政大高)

答 え












答 え
(考え方)
 容器の体積の半分よりも水の体積が大きければ水はあふれ、小さければあふれない。

(解答) 円錐の体積で比べる。
答え: 水はあふれない。
理由:
 容器の体積/2=(4π×12/3)/2
           =32π/3 (cm) ・・・
 水の体積の底面の半径は、4×9/12=3 から、
 水の体積=3π×9/3=27π (cm) ・・・
  筬◆,ら、
 容器の体積の半分よりも、水の体積が小さいので、あふれない。

(別解) 円錐の体積比で比べる。
答え: 水はあふれない。
理由:
 容器の円錐の体積をA、水の円錐の体積をBとする。
  Aの底面の半径=4
  Bの底面の半径=4×9/12=3
 2つの円錐は相似なので、体積比は半径の3乗の比となり、
  A:B=4:3=64:27
 A/2>B から、水はあふれない。

2.
(解答) 円錐の体積から求める。
 下図の大・中・小の円錐で、円錐大の底面の半径を r とする。

    円錐_容器に注水2解答

 相似から、
  円錐・中の半径は、6r/9=2r/3
  円錐・小の半径は、3r/9=r/3
 2段目の円錐台の体積は 98 から、
  (2r/3)π×6/3−(r/3)π×3/3=98
  (8/9)π−(1/9)π=98
  (7/9)π=98
  π=126 ・・・
 1番上の円錐台の体積は、
  rπ×9/3−(2r/3)π×6/3
 =3π−(8/9)π
 =(19/9)π  ,ら、
 =(19/9)×126=19×14=266 (cm

(別解) 円錐の体積比から求める。
 大・中・小の円錐は相似なので、
 体積比は、高さの3乗の比となり、
  大:中:小=9:6:3=27:8:1
 2番目に大きな円錐台の体積は 98 なので、
 1番大きな円錐台の体積を x とすると、
  98:x=(8−1):(27−8)
  98:x=7:19
  x=98×19/7=266 (cm

(参考) 練習問題を別解で解くための基礎知識
 相似な立体図形の体積比は、相似比の3乗。


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