中学から数学だいすき!

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円錐−体積の比較

円錐 目次 >

 異なる立体の体積を比べる問題を解いてみましょう。

練習
1. 下のア、イは、体積が等しい立体のそれぞれの投影図です。アの立体の h の値を求めてください。

    円錐_体積の比較1
(青森県高)


2. 半径 3 cm、高さ 62 cm の円柱が2つあります。それぞれの円柱の上に、ぴったりと重なる半球と、円錐をはりつけます。

    円錐_体積の比較2  横から見た図

 アの体積がイの体積より、6π cm 大きいとき、アとイの表面積は、どちらがどれだけ大きいですか。次の【 1 】と【 2 】を答えてください。
 【 1 】 の表面積が、【 2 】 cm 大きい。
(宮崎県高)

答 え












答 え
1.
 円錐と球の体積が等しいので、
  (π×)h/3=(4π×)/3
   4h=4×
   h=27/4 ・・・(答)

(参考) 球の表面積と体積
 球の半径がのとき、
 球の表面積=4πr   (心配ある二女、心配ある事情)
 球の体積=4πr/3  (身の上に心配ある三女)

2.
(考え方)
 体積の差、表面積の差の計算で、円柱部分は不要。
 円錐部分の表面積の計算で、底面積は不要。

 半球の体積=(4π×/3)/2=18π
 円錐の高さを h とすると、
 円錐の体積=(π×)h/3=3π
 半球の体積−円錐の体積=6π から、
  18π−3πh=6π
  h=4
  母線の長さ=(3+4)=5

 半球の表面積=(4π×)/2=18π
 扇形の面積=π×底面の半径×母線の長さ
         =π××5=15π
 半球の表面積−扇形の面積=18π−15π=3π
(答)
 【 ア 】 の表面積が、【 3π 】 cm 大きい。


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