中学から数学だいすき!

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円錐−円錐台

円錐 目次 >

 円錐を切り分けてできる円錐台の問題を解いてみましょう。

練習
1. 図1のように、底面の半径が 3 cm、母線の長さが 12 cm の円錐があります。このとき、次の(1)〜(3)の各問いに答えてください。

    円錐_円錐台1

(1) 円錐の側面となる扇形の中心角を求めてください。
(2) 円錐の体積を求めてください。
(3)  図2のように、円錐の底面に平行な平面で、高さが等しくなるように2つの立体に切り分けて、上側の立体を逆さにした型を、下の立体からくりぬいてできた立体があります。
 このとき、この立体の体積を求めてください。
(佐賀県高)


2. 下の図のように、底面の半径が 6 cm、高さが 8 cm の円錐から高さ 4 cm のところで、底面に平行な平面で切り、上にある小さな円錐を取り除いた下側の円錐台があります。また、切り口の円に内接する正方形ABC Dがあります。次の各問いに答えてください。

    円錐_円錐台2

(1) 切り口の半径を求めてください。
(2) 正方形ABC Dの1辺の長さ求めてください。
(3) 円錐台の体積を求めてください。
(4) 円錐台の表面積を求めてください。
(福岡大附属大濠高)

答 え












答 え
1.
(1)
 扇形の弧の長さ=底面の円周 から、
  2π×12×(中心角/360)=2π×
  中心角/360=1/4
  中心角=90 (°) ・・・(答)
(2)
 三平方の定理から、
  円錐の高さ=(12−3)  2乗の差=和と差の積 から、
          =(15×9)=315
 円錐の体積=(π××15)/3
         =(915)π (cm) ・・・(答)
(3)
 求める体積=円錐台の体積−小さい円錐の体積
 相似から、
  大きい円錐の体積:小さい円錐の体積
 =3:(3/2)=8:1
 大きい円錐の体積=(915)π=V とすると、
  小さい円錐の体積=V/8
  円錐台の体積=V−V/8=7V/8
 よって、
 求める体積=7V/8−V/8=3V/4
         =(3/4)×(915)π
         =(2715)π/4 (cm) ・・・(答)
2.
(1)
 相似から、切り口の半径は底面の半径の半分なので、
  6/2=3 (cm) ・・・(答)

(2)
 直角二等辺三角形で、斜辺は等辺(半径)の 2 倍なので、
  3×√2=32 (cm) ・・・(答)

(3)
 大きな円錐の体積=6π×8/3=96π ・・・
 相似比から、
  大きな円錐の体積:小さな円錐の体積
  =6:3=8:1
  大きな円錐の体積:円錐台の体積
  =8:(8−1)=8:7 ・・・
 ´△ら、
 円錐台の体積=96π×(7/8)=84π (cm) ・・・(答)

(4)
 円錐台の表面積=上の面積+下の面積+側面積
 上の面積=3π=9π  ・・・
 下の面績=6π=36π ・・・
 側面積を求める。
 母線の長さ=√(8+6)=10
 大きな扇形の面積=π×底面の半径×母線の長さ
             =π××10=60π
 小さな扇形の面積=5π×(3/5)=15π
 側面積=60π−15π=45π ・・・
 きイら、
 表面積=9π+36π+45π=90π (cm) ・・・(答)


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