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円錐−内側に球

円錐 目次 >

 円錐の内側に球が接する問題を解いてみましょう。

例題
 下の図は、円錐と、円錐の底面と側面に接している球を表しています。球は円錐の側面と母線の中点で接しており、球の半径は 3 cm です。次の各問いに答えてください。

    円錐_内側に球

(1) 球の体積を求めてください。
(2) 円錐の高さ求めてください。
(3) 円錐の側面積を求めてください。
(都立産業技術高専)

(解答)
(1)
 球の体積=4π×半径/3
       =4π×/3
       =36π (cm) ・・・(答)
(2)
 円錐の高さを x 、母線の半分の長さを y とする。
 次の図は、円錐の断面の片側を表す。

    円錐_内側に球の断面

 2組の角がそれぞれ等しいので(頂角共通、接点直角)、
 大きい三角形 小さい三角形
  2y:x=(x−3):y  ・・・
 三平方の定理から、
  y+3=(x−3) ・・・
 А。横=x−3x ・・・
◆А。=x−6x  ・・・ぁ
い鬮に代入:
   2x−12x=x−3x
   x−9x=0
   x(x−9)=0
   x>0 から、x=9 (cm) ・・・(答)
(3)
 母線の長さを求める。
 ぁА。=x−6x=27
  y>0 から、y=3
  母線=2y=6
 底面の半径を求める。
  底面の半径=(母線ー高さ
          =(108−81)
          =3
 扇形の面積=π×母線
          ×{(2π×底面の半径)/(2π×母線)}
         =108π×(33/63)
         =54π (cm) ・・・(答)

練習
 図1、図2のように、O を頂点とし、線分AB を底面の直径、点 C を底面の中心とする円錐があります。OA=10cm、AB=12cm とするとき、次の問いに答えてください。

  円錐_内側に球_練習

1. 図1において、底面の円周の長さを求めてください。
2. 図1において、円錐の体積を求めてください。
3. 図2のように、円錐にちょうど入る球が母線 OA とふれている点を P とします。また、この球は底面の中心 C にもふれています。図3は、図2を正面から見た図で、円の中心を Q とします。このとき、次の(1)〜(3)に答えてください。
(1) 図3において、線分 PQ の長さを求めてください。
(2) 図3において、△OPQ と △O CA の面積の比を最も簡単な整数の比で表してください。
(3) 図2において、点 P を通り、底面に平行な平面で円錐を2つに切り分けます。このとき、頂点 O をふくむほうは円錐になります。この円錐の側面積を求めてください。
(長崎県高)

答 え












答 え
1.
 底面の円周=2π×6=12π (cm) ・・・(答)

2.
 三平方の定理から、
  円錐の高さ=(10−6)=8
 円錐の体積=底面の面積×高さ/3
         =(π××8)/3
         =96π (cm) ・・・(答)
3.
(1)
 大きい直角三角形と小さい直角三角形は相似から、
 PQ=x とすると、
  10:6=(8−x):x
  5x=24−3x
  x=3 (cm) ・・・(答)

   円錐_内側に球_解答

(2)
 2組の角がそれぞれ等しいので(頂角共通、接点は直角)、
  △OPQ △O CA
 面積比は相似比の2乗に等しいので、
  △OPQ:△O CA=x:6
              =9:36=1:4 ・・・(答)
(3)
 大きい扇形の面積=π×母線
          ×{(2π×底面の半径)/(2π×母線)}
         =100π×(6/10)
         =60π
 小さい扇形の半径={(8−x)−x
             =(25−9)=4
 大小の扇形の面積比は半径の2乗の比に等しいので、
  60:小さい扇形の面積=10:4
  小さい扇形の面積=60π×16/100
              =48π/5 (cm) ・・・(答)


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