中学から数学だいすき!

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円錐−体積は円柱÷3

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 円錐の体積=底面積×高さ÷3 の公式を、中学の数学の知識で導いてみましょう。

 はじめに、三角形の面積の公式を求め、次に円錐の体積の公式を求めます。

1. 三角形の面積
 下図は、底辺 a、高さ h の三角形の面積 S を、底辺と高さをそれぞれ4等分したで近似しています。

    三角形の面積
 S(a/4+2a/4+3a/4+4a/4)(h/4)
  =(ah/4)(1+2+3+4)
 4等分を n 等分にします。
 S(ah/n)(1+2+3+・・・+n)
 ここで、1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2 から、
 S(ah/n×n(n+1)/2
  =(ah/2)(n/n)(1+1/n)
  =(ah/2)(1+1/n)
 n を非常に大きくすると、1/n は 0 に近づくので、
 S=ah/2
 したがって、三角形の面積=底辺×高さ÷

2. 円錐の体積
 下図は、円錐を横から見た図です。底面の半径 r、高さ h の円錐の体積 V を、半径と高さをそれぞれ4等分したで近似しています。

    円錐_円錐の体積
 Vπ(r/4)π(2r/4)
    +π(3r/4)π(4r/4)}(h/4)
   =(πh/4)(1+2+3+4
 4等分を n 等分にします。
 Vπh/n)(1+2+3+・・・+n
 ここで、
 1+2+3+・・・+n=n(n+1)(2n+1)/6 から、
 Vπh/n)n(n+1)(2n+1)/6
  =(πh/6)(n/n){(n+1)/n}{(2n+1)/n}
  =(πh/6)(1+1/n)(2+1/n)
 n を非常に大きくすると、1/n は 0 に近づくので、
 V=(πh/6)×2=πh/3
 したがって、円錐の体積=底面積×高さ÷

(参考) 累乗の数の和
【1】 1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2
【2】 1+2+3+・・・+n=n(n+1)(2n+1)/6
【3】 1+2+3+・・・+n={n(n+1)/2}

 3つの式の左辺は規則性を求める問題になっています。右辺は、変化の割合を使って求めることができます。
【1】  変化の割合−規則性 例題
変化の割合の応用_規則性タイル
【2】  変化の割合−規則性 練習2
積み重ねた球
【3】  規則性−積み重ねた数 練習2
 立方体の数


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