中学から数学だいすき!

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式の値 - 対称式

式の値を求める3 目次 >

 対称式の値を求めてみましょう。文字を交換しても変わらない式を対称式といいます。
例: x+y  xy 
   x+y  1/x+1/y
   (a−b)  ← (b−a) と等しい。

例題
 a=5+2、b=5−2 のとき、
 a−ab+b の値を求めてください。

 対称式は、文字の和や積の式で表すことができる。
 a−ab+b は対称式であり、
 a+b=2
 ab=(5+2)(5−2)
   =5−4=1
 a−ab+b 平方完成すると、
=(a+2ab+b)−3ab
=(a+b)−3ab       
=20−3==17 ・・・(答)

(別解)
 a−ab+b 平方完成すると、
=(a−2ab+b)+ab
=(a−b)+ab
=4+1=17 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x=2、y=1 のとき、
−2xy+y
(長崎県高)
2. x=3−22、y=3+22 のとき、
y+xy
(東京電機大高)
3. x=3+2、y=3−2 のとき、
2x+2y+5xy
(函館・ラサール高)
4. x=(5+3)/2、
y=(5−3)/2 のとき、
(x+3y)+ (3x−y)+20xy
(都立高)
5. a+b+c=0、abc=−3 のとき、
b+cc+aa+b
(お茶の水女子大附属高)

答 え












答 え
1.
 x=2、y=1 のとき、
 x−2xy+y
=(x−y)=1 ・・・(答)
2.
 x=3−22、y=3+22 のとき、
 xy=(3−22)(3+22)
   =9−8=1
 x+y=6 から、
 xy+xy
=xy(x+y)=6 ・・・(答)
3.
 x=3+2、y=3−2 のとき、
 x+y=2
 xy=3−2=1
 2x+2y+5xy 平方完成すると、
=2(x+2xy+y)+xy
=2(x+y)+xy
=24+1=25 ・・・(答)
4.
 x=(5+3)/2、
 y=(5−3)/2 のとき、
 (x+3y)+ (3x−y)+20xy
=10x+10y+20xy
=10(x+2xy+y
=10(x+y)
=10×5=250 ・・・(答)
5.
 a+b+c=0、abc=−3 のとき、
 (b+c)(c+a)(a+b)
=a
=(abc)
=−3=−243 ・・・(答)


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