中学から数学だいすき!

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式の値 - 2次方程式

式の値を求める3 目次 >

 2次方程式をもとに、式の値を求めてみましょう。

例題1
 x+x−1=0 の2つの解を a、b とするとき、
 a+b の値を求めてください。

 x=a、b から、
 x+x−1=(x−a)(x−b)=0
 x+x−1=x−(a+b)x+ab
 係数を比較すると、
 a+b=−1 ab=−1
 a+b=(a+b)−2ab
      =1+2=3 ・・・(答)

例題2
 x−3x+1=0 のとき、
 x+1/x の値を求めてください。

 x+1/x
=(x+1)/x +1=3x から、
=3x/x=3 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. 3x−5x+1=0 の2つの解を a,b
(a>b) とするとき、 a−b
(豊島岡女子学園高)
2. xを、x−5x+3=0 を満たす小さい方の解とするとき、x(x+13)/(x−5x+9)
(中央大杉並高)
3. −5x+1=0 のとき、
+1/x
(大阪星光学院高)
4. (x+3)+(x+3)(x−3)=1 の2つの解の差の2乗の値
(福岡大附属大濠高)

答 え












答 え
1.
 3x−5x+1=0  解の公式 から、
  x={5±(25−12)}/6
   =(5±13)/6  a>b から、
  a=(5+13)/6
  b=(5−13)/6
 a−b
=(a+b)(a−b)
=(5/3)×13/3)
=513/9 ・・・(答)
2.
 x−5x+3=0 ・・・
 解の公式から、小さい方の解は、
 x={5−(25−12)}/2
  =(5−13)/2
 2x=5−13
 13=5−2x ・・・
 x(x+13)/(x−5x+9) ,ら、
=x(x+13)/(−3+9)
=x(x+13)/6 △ら、
=x(x+5−2x)/6
=x(5−x)/6
=−(x−5x)/6 ,ら、
=3/6=1/2 ・・・(答)
3.
 x−5x+1=0 のとき、
 x+1/x
=(x+2+1/x)−2
=(x+1/x)−2
={(x+1)/x}−2 +1=5
=(5x/x)−2
=23 ・・・(答)

(別解)
 x+1/x
=(x+1)/x
={(x+1)−2x}/x +1=5
=(25x−2x)/x
=23 ・・・(答)
4.
 (x+3)+(x+3)(x−3)=1
 x+6x+9+x−9=1
 2x+6x−1=0
 x+3x−1/2=0
 x=a、b とすると、
 x+3x−1/2=(x−a)(x−b)=0
 x+3x−1/2=x−(a+b)x+ab
 係数を比較すると、
 a+b=−3 ab=−1/2
 (a−b)
=(a+b)−4ab
=9+2=11 ・・・(答)

(参考) 解答で用いた式の変形
+b=(a+b)−2ab  例題1
(a−b)=(a+b)−4ab  練習4
x+1/x=(x+1)/x  例題2
+1/x=(x+1/x)−2  練習3
+1=(x+1)−2x  練習3 別解


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