中学から数学だいすき!

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因数分解 - 方法

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 因数分解のしかたを確認し、最新の高校入試の問題を解いてみましょう。

 多項式を積の形にすることを因数分解といいます。
例: 2x−2=2(x+1)(x−1)
2 、(x+1)、(x−1) をそれぞれ因数といいます。

 因数分解の方法には、共通因数をくくる、和と差の積にする、和か差の2乗にする、係数を分解する、最低字数順にする、があります。

 共通因数をくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

例題
 a−4a−4b+4 を因数分解してください。
(市川高)

 最低次数の b について、次数順に式を整理する(b → b → 定数)。
 a−4a−4b+4
=−4b+(a−4a+4)  (  )内を、差の2乗にする。
=−4b+(a−2)
=(a−2)−(2b)  2乗の差=和と差の積 から、
=(a−2+2b)(a−2−2b)
=(a+2b−2)(a−2b−2) ・・・(答)

 因数分解を利用して、方程式を解くことができます。
例: 2次方程式 x+4x=0 を解いてください。
(青森県高)

 x+4x=x(x+4) から、
 x=0 か x+4=0 のとき、x+4x=0 となる。
 よって、x=−4,0 ・・・(答)

練習
 次の式を因数分解してください。
1. a−8a
(沖縄県高)
2. x−25
(群馬県高)
3. x−13x+36
(埼玉県高)
4. −x+y+4x−4
(國學院久我山高)
5. x+ax+a−1
(東邦大附属東邦高)
答 え












答 え
1.
 a−8a  共通因数をくくる。
=a(a−8) ・・・(答)
2.
 x−25
=x−5  2乗の差=和と差の積 から、
=(x+5)(x−5) ・・・(答)
3.
 x−13x+36  和が−13、積が36 から、
=(x−4)(x−9) ・・・(答)
× −4 −4
−9 −9
積1 積36 和−13
4.
 −x+y+4x−4  最低字数 の次数順に整理する。
=y−(x−4x+4)  (  )内を、差の2乗にする。
=y−(x−2)  2乗の差=和と差の積 から、
=(y+x−2)(y−x+2)  アルファベット順にする。
=(x+y−2)(−x+y+2) ・・・(答)
5.
 x+ax+a−1  最低字数 の次数順にする。
=(x+1)a+x−1  2乗の差=和と差の積 から、
=(x+1)a+(x+1)(x−1)  共通因数をくくると、
=(x+1)(a+x−1)
=(x+1)(x+a−1) ・・・(答)


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