中学から数学だいすき!

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因数分解 - 因数の順序

因数分解する3 目次 >

 因数分解の結果を、どのような順序で書くか確かめましょう。

 例えば、1−x の因数分解の結果は、4通りの表し方があります。かっこ(因数)の順序と、かっこ内の順序があるからです。
( )の順序  ( )内の順序
1−x =(1+x)(1−x)  和 → 差   定数 →
=(−x+1)(x+1)  差 → 和  → 定数
=(1−x)(1+x)  差 → 和  定数 →
=(x+1)(−x+1)  和 → 差  → 定数

 因数分解の結果は、どれも間違いではありません。 ただし、
。仮茲虜垢慮式、■下(程式の解、 x の次数の観点から、
 1−x=(x+1)(−x+1) と書くことができます。
。仮茲虜后疣造蛤垢寮僉 和 → 差
■下(程式 1−x=(1+x)(1−x)=0  和 → 差
 の解は、x=−1,1  小 → 大
x の次数順にすると、x → 定数 になる。

 なお、−(x+1)(x−1) という書き方はしません。

 因数を規則的に並べる基準を示します。こうでなくてはならない、ということではありません。
 解が昇順  (x+2)(x−1)  x=−2,1
 次数順  (a+1)(a+1)
 abc  (a+1)(b+1)
 循環abc@  abc(a−b)(b−c)(c−a)

例題
 因数分解の途中です。因数を並べる基準をもとに、因数分解の結果を書いてください。
 −x+y+4x−4  最低字数 の次数順に整理する。
=y−(x−4x+4)  (  )内を、差の2乗にする。
=y−(x−2)  2乗の差=和と差の積 から、
=(y+x−2)(y−x+2)  abc順にする。

(答) (x+y−2)(−x+y+2)

練習
 次の1〜5は、因数分解の途中です。因数を並べる基準をもとに、因数分解の結果を書いてください。
1. a−4a−4b+4  a の次数順にする。
 =−4b+(a−4a+4)  (  )内を、差の2乗にする。
 =−4b+(a−2)
 =(a−2)−(2b)  2乗の差=和と差の積 から、
 =(a−2+2b)(a−2−2b)  abc順にする。
 =
2. x+ax+a−1  a の次数順にする。
 =(x+1)a+x−1  2乗の差=和と差の積 から、
 =(x+1)a+(x+1)(x−1)  共通因数をくくる。
 =(x+1)(a+x−1)  x の次数順、(文字→定数)の順にする。
 =
3. (x−y)(x−y−2)−63  x−y=a とする。
 =a(a−2)−63
 =a−2a−63  −63=7×(−9)、7−9=−2 から、
 =(a+7)(a−9)  a をもどす。
 =
4. x−xy+2x−3(y+1)   の次数順にする。
 =−(x+3)y+(x+2x−3)  (  )内を因数分解する。
 =−(x+3)y+(x+3)(x−1)  共通因数をくくる。
 =(x+3)(x−1−y)  abc順にする。
 =
5. −3a−b+ab+3  a の次数順にする。
 =(b−3)a−b+3
 =(b−3)a−(b−3)  共通因数をくくる。
 =(b−3)(a−1)  abc順にする。
 =

答 え












解答例
1.
 a−4a−4b+4
=     :
=(a−2+2b)(a−2−2b)  abc順にする。
=(a+2b−2)(a−2b−2)
2.
  x+ax+a−1
=     :
=(x+1)(a+x−1)  x の次数順、(文字→定数)の順にする。
=(x+1)(x+a−1)
3.
 (x−y)(x−y−2)−63  x−y=a とする。
=     :
=(a+7)(a−9)  をもどす。
=(x−y+7)(x−y−9)
4.
 x−xy+2x−3(y+1)   の次数順にする。
=    :
=(x+3)(x−1−y)  abc順にする。
=(x+3)(x−y−1)
5.
 −3a−b+ab+3  a の次数順にする。
=    :
=(b−3)(a−1)  abc順にする。
=(a−1)(b−3)


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