方程式の基礎
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中学で学ぶ方程式には、1次方程式、2次方程式、連立方程式があります。それぞれの方程式の例を示します。
方程式は、左辺と右辺が等号(=)で結ばれています。方程式から求める x や y を未知数、未知数の値を解(かい)といいます。
解を求めることを、「方程式を解く」といいます。方程式を解くには、等号のついた等式の計算が必要です。
これから、等式の計算原理を説明します。
例題1 x−1=2 を解いてください。
等式はシーソーのようなものです。=をシーソーの支点を▲とすると、左の重さ x−1 と、右の重さ 2 が、つりあっています。
シーソーの左右に同じ重さを加えても、つりあうので、左右に 1 を加えます。
x−1+1=2+1 を計算すると、
x=3 ・・・(答)
例題2 x/2=3 を解いてください。
左の x/2 と、右の 3 がつりあっています。
左右に同じ数を加えても、つりあうので、左に x/2 を加え、右に 3 を加えます。
x/2+x/2=3+3 同じ数が2つあるので、
(x/2)×2=3×2 両辺(左右)に2をかけるのと同じ。
x=3×2=6 ・・・(答)
規則
練習
答 え
答 え
1.
x−6=0 両辺に6をたす。
x−6+6=6
x=6 ・・・(答)
2.
x/2=5 両辺に2をかける。
(x/2)×2=5×2
x=10 ・・・(答)
3.
x+3=2 両辺から3をひく。
x+3−3=2−3
x=−1 ・・・(答)
4.
2x−5=x+3 両辺からxをひく。
x−5=3 両辺に5をたす。
x=8 ・・・(答)
5.
x−4=x÷3+2 わり算を逆数のかけ算にする。
x−4=x/3+2 両辺に4をたす。
x=x/3+6 両辺から x/3 をひく。
2x/3=6 両辺に3をかける。
2x=18 両辺を2でわる。
x=9 ・・・(答)
(別解) 分数をなくして計算
x−4=x÷3+2 両辺に3をかける。
3x−12=x+6 両辺に12をたす。
3x=x+18 両辺からxをひく。
2x=18 両辺を2でわる。
x=9 ・・・(答)
中学で学ぶ方程式には、1次方程式、2次方程式、連立方程式があります。それぞれの方程式の例を示します。
例: | 1次方程式 | x−1=2 | (x1 なので1次) | ||
2次方程式 | x2−2x+1=0 | (x2 なので2次) | |||
連立方程式 | { | x+y=3 | (未知数2つで式2つ) | ||
x−y=1 |
方程式は、左辺と右辺が等号(=)で結ばれています。方程式から求める x や y を未知数、未知数の値を解(かい)といいます。
解を求めることを、「方程式を解く」といいます。方程式を解くには、等号のついた等式の計算が必要です。
例: | x−1=2 | (方程式) | |
x=2+1 | (方程式を解く過程) | ||
x=3 | (解) |
これから、等式の計算原理を説明します。
例題1 x−1=2 を解いてください。
等式はシーソーのようなものです。=をシーソーの支点を▲とすると、左の重さ x−1 と、右の重さ 2 が、つりあっています。
x−1 2 @―――――――――@ ▲ |
x−1=2 |
シーソーの左右に同じ重さを加えても、つりあうので、左右に 1 を加えます。
x−1+1 2+1 @――――――――――――@ ▲ |
x−1+1=2+1 |
x−1+1=2+1 を計算すると、
x=3 ・・・(答)
例題2 x/2=3 を解いてください。
左の x/2 と、右の 3 がつりあっています。
x/2 3 @―――――――――@ ▲ |
x/2=3 |
左右に同じ数を加えても、つりあうので、左に x/2 を加え、右に 3 を加えます。
x/2+x/2 3+3 @――――――――――――@ ▲ |
x/2+x/2=3+3 |
x/2+x/2=3+3 同じ数が2つあるので、
(x/2)×2=3×2 両辺(左右)に2をかけるのと同じ。
x=3×2=6 ・・・(答)
規則
1. | 等式の両辺に、同じ数を たす、ひく、かける、わる ができる。 | |
2. | わることは、わる数の逆数(1/わる数)をかけることと同じ。 |
練習
次の方程式を解いてください。 |
1. x−6=0 |
2. x/2=5 |
3. x+3=2 |
4. 2x−5=x+3 |
5. x−4=x÷3+2 |
答 え
答 え
1.
x−6=0 両辺に6をたす。
x−6+6=6
x=6 ・・・(答)
2.
x/2=5 両辺に2をかける。
(x/2)×2=5×2
x=10 ・・・(答)
3.
x+3=2 両辺から3をひく。
x+3−3=2−3
x=−1 ・・・(答)
4.
2x−5=x+3 両辺からxをひく。
x−5=3 両辺に5をたす。
x=8 ・・・(答)
5.
x−4=x÷3+2 わり算を逆数のかけ算にする。
x−4=x/3+2 両辺に4をたす。
x=x/3+6 両辺から x/3 をひく。
2x/3=6 両辺に3をかける。
2x=18 両辺を2でわる。
x=9 ・・・(答)
(別解) 分数をなくして計算
x−4=x÷3+2 両辺に3をかける。
3x−12=x+6 両辺に12をたす。
3x=x+18 両辺からxをひく。
2x=18 両辺を2でわる。
x=9 ・・・(答)
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