中学から数学だいすき!

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2次方程式−解法

方程式を解く2 目次 >

 x+2x−3=0 のような x の式を、2次方程式といいます。
 
 2次方程式の解き方には、因数分解平方完成解の公式で解く、があります。

例題
 2次方程式 x+2x−3=0 を解いてください。

 因数分解で解く
  (x+3)(x−1)=0
  x=−3,1 ・・・(答)  x=−3 または 1を表す。
 
 平方完成で解く
  x+2x−3=0  2の半分の2乗を両辺にたす。
  (x+2x+1)−3=1
  (x+1)=4  左辺が (+1) の平方になる。
  x+1=±2  プラスマイナス 2 と読む。 2 または−2 の意味。
  x=−3,1 ・・・(答)

 解の公式で解く
  2次方程式の解の公式
  x+2x−3=0
  a=1 , b=2 , c=−3 から、
  x={−2±(4+12)}/2
   =(−2±4)/2=−1±2
  x=−3,1 ・・・(答)  を小から大に並べる。

練習
 次の方程式を解いてください。
1. x−4x=0
(青森県高)
2. (x−3)(x+8)=0
(北海道高)
3. (x+4)−5=0
(埼玉県高)
4. x+3x−4=0
(佐賀県高)
5. x−x−3=0
(I石川県高)

答 え










答 え
1.
 x+4x=0  因数分解する。
 x(x+4)=0  x=0 または、=−4 のとき、右辺=0
 x=−4,0 ・・・(答)  x を小から大に並べる。

2.
 (x−3)(x+8)=0
 x=−8,3 ・・・(答)

3.
 (x+4)−5=0
 (x+4)=5   の形にすることを平方完成という。
 x+4=±
 x=−4±5 ・・・(答)  「マイナス4プラスマイナス ルート5」

4.
 x+3x−4=0  因数分解する。
 (x+4)(x−1)=0
 x=−4,1 ・・・(答)
×  4  4
−1 −1
積1 積−4 和 3

5.
 x−x−3=0  解の公式で解く。
 2次方程式の解の公式
 a=1 , b=−1 , c=−3 から、 
 x={1±(1+12)}/2
  =(1±13)/2 ・・・(答)

(参考)
 x−x−3=0 は、^数分解では解けず、∧進完成では、解く過程で分数がでてきて複雑です。
 理由:
  積が−3、和が−1になる整数の組はないので。
  x の係数1が偶数でないので。
   x−x−3=0  1の半分の2乗をたす。
   x−x+(1/2)=3+(1/2)
   (x−1/2)=13/4
   x−1/2=±13/2
   x=(1±13)/2 ・・・(答)


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