中学から数学だいすき!

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2次方程式−平方完成

方程式を解く2 目次 >

 平方完成で2次方程式を解いてみましょう。

 x+ax に、a の半分の2乗を加え、(x+a/2) の形にすることを平方完成といいます。

 因数分解が困難なときに、平方完成で解くことができます。

例題1 x−4x−1=0 を解いてください。

 x−4x=1  4の半分の2乗を両辺にたす。
 x−4x+4=1+4
 (x−2)=5
 x−2=±
 x=2±5 ・・・(答)

例題2 x+2x−143=0 を解いてください。

 x+2x=143  2の半分の2乗を両辺にたす。
 x+2x+1=143+1
 (x+1)=144
 x+1=±12
 x=−13,11 ・・・(答)

練習
 次の方程式を平方完成で解いてください。
1. (x−1)−3=0
(福井県高)
2. x+8x+6=0
(茨木県高)
3. (x−3)=4x
(法政第二高)
4. x−x−3=0
(長崎県高)
5. x−20x−629=0

答 え










答 え
1.
 (x−1)−3=0  平方完成されているので、3を移項する。
 (x−1)=3
 x−1=±
 x=1±3 ・・・(答)

2.
 x+8x+6=0
 x+8x=−6  8の半分の2乗をたす。
 x+8x+16=16−6
 (x+4)=10
 x+4=±10
 x=−4±10 ・・・(答)

3.
 (x−3)=4x
 x−3=±2x
 x±2x=3
 −x=3,3x=3
 x=−3,1 ・・・(答)
(参考) 2乗の差=和と差の積 で解く
 4x−(x−3)=0
 (2x+x−3)(2x−x+3)=0
 (3x−3)(−x+3)=0
 x=−3,1 ・・・(答)

4.
 x−x−3=0
 x−x=3  の係数1の半分の2乗をたす。
 x−x+1/4=3+1/4
 (x−1/2)=13/4
 x−1/2=±13/2
 x=(1±13)/2 ・・・(答)

5.
 x−20x−629=0
 x−20x=629  20の半分の2乗をたす。
 x−20x+100=629+100
 (x−10)=729
 (x−10)=±27
 x=10±27
 x=−17,37 ・・・(答)


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