中学から数学だいすき!

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2次方程式−解の公式

方程式を解く2 目次 >

 解の公式で2次方程式を解いてみましょう。はじめに、解の公式を導きます。

例題1

 2次方程式 ax+bx+c=0 (a≠0) を、平方完成で解いてください。

 ax+bx=−c  でわる。
 x+(b/a)x=−c/a  {(b/a)/2} をたす。
 x+(b/a)x+{(b/a)/2}={(b/a)/2}−c/a
 {x+b/(2a)}=b/(2a)−4ac/(2a)
 {x+b/(2a)}=(b−4ac)/(2a)
 x+b/(2a)={±(b−4ac)}/2a
 x={−b±(b−4ac)}/2a ・・・(答)

 x= の式を、解の公式といいます。

  解の公式
 解の公式の覚え方

例題2
 4x−5x−1=0 を解いてください。
(京都府高)
 解の公式で、a=4、b=−5、c=−1 から、
 x={5±(25+16)}/8
  =(5±41)/8 ・・・(答)

練習
 次の方程式を解いてください。
1. x+5x+2=0
(東京都高)
2. 2x−5x−1=0
(神奈川県高)
3. (x+3)(x−5)=5x−24
(愛知県高)
4. (x−1)(x+1)=−2(x−2)(3x−1)=0
(都立高)
5. 2(x−3)+6(x−3)+3=0
(秋田県高 改題)

答 え










答 え

 解の公式
1.
 x+5x+2=0
 解の公式で、a=1、b=5、c=2
 x={−5±(25−8)}/2
  =(−5±17)/2 ・・・(答)
2.
 2x−5x−1=0
 a=2、b=−5、c=−1
 x={5±(25+8)}/4
  =(5±33)/4 ・・・(答)
3.
 (x+3)(x−5)=5x−24
 x−2x−15=5x−24  右辺を移項する。
 x−7x+9=0
 x={7±(49−36)}/2
  =(7±13)/2 ・・・(答)
4.
 (x−1)(x+1)=−2(x−2)(3x−1)
 x−1=(4−2x)(3x−1)
 x−1=12x−4−6x+2x  右辺を移項する。
 7x−14x+3=0
 x={14±(14−84)}/14
  =(14±112)/14  112=16×7 から、
  =(14±47)/14  約分する。
  =(7±27)/7 ・・・(答)
5.
 2(x−3)+6(x−3)+3=0  −3=とする。
 2a+6a+3=0
 a={−6±(36−24)}/4
  =(−6±12)/4  12=4×3 から、
  =(−3±3)/2  をもどす。
 x−3=(−3±3)/2
 x=(3±3)/2 ・・・(答)


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