中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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2次方程式−文字・式の値

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 2次方程式の解をもとに、文字や式の値を求めてみましょう。

例題
 x−ax+b=0 の2つの解が 3 と 7 のとき、(2a−b) の値を求めてください。

 x−ax+b=(x−3)(x−7)
        =x−10x+21
 両辺を比べると、a=10,b=21
 (2a−b)=(20−21)=1 ・・・(答)

練習
 次の問題を解いてください。
1. 4x−2x−3=0 の2つの解を p ,q (p>q) とするとき、
−q の値を求めてください。
(法政大女子高)
2. (x+3)+(x+3)(x−3)x=1 の2つの解の差の2乗の値を求めてください。
(福岡大附属大濠高)
3. x+ax+b=0 の2つの解が、3,−2 のとき、a ,b の値を求めてください。
(明治学院高)
4. x+ax+b=0 の2つの解から、それぞれ 1 を引いて 2倍した数が、x−6x+4=0 の2つの解になっています。このとき、a ,b の値を求めてください。
(明治大付属明治高)
5. 2次方程式 x+ax+6=0 の解の1つは 2 で、もう1つの解は1次方程式 ax+b=0 の解になっています。このとき、a ,b の値を求めてください。
(函館ラ・サール高)

答 え










答 え
1.
 4x−2x−3=0  解の公式から、
 x={2±(4+48)}/8
  =(1±13)/4  から
  p=(1+13)/4
  q=(1−13)/4
 p−q=(p+q)(p−q)
      =(2/4)×(213/4)
      =13/4 ・・・(答)
2.
 (x+3)+(x+3)(x−3)=1
 x+6x+9+x−9=1
 2x+6x−1=0  解の公式から、
 x={−6±(36+8)}/4
  =(−3±11)/2
 2つの解の差の2乗は、
  {(−3+11)/2−(−3−11)/2}
 =11 ・・・(答)

3.
 x+ax+b=0 で、x=3,−2 から、
 x+ax+b=(x−3)(x+2)
        =x−x−6
  a=−1,b=−6 ・・・(答)

4.
 x−6x+4=0  平方完成する。
 x−6x+9=9−4
  (x−3)=5
  x=3±5 ・・・
 x+ax+b=0 で、x=p,q (p>q) とする。
 x+ax+b=(x−p)(x−q)
        =x−(p+q)x+pq
  a=−(p+q)、b=pq ・・・
,ら、2(p−1)=3+5  p=(5+5)/2
     2(q−1)=3−5  q=(5−5)/2
△ら、a=−(p+q)=−5
     b=pq=(25−5)/4=5
(答) a=−5,b=5

5.
 x+ax+6=0 の解の1つは 2 から、
 4+2a+6=0  a=−5 ・・・
 x−5x+6=0
 (x−2)(x−3)=0 もう1つの解は、x=3
 ax+b=0 で、a=−5、x=3 から、
 −15+b=0  b=15 ・・・
´△ら、a=−5,b=15


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