中学から数学だいすき!

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連立方程式−解法

方程式を解く2 目次 >

 連立方程式は、複数の方程式を組合せたものです。 x や y を連立方程式の解といい、解を求めることを、連立方程式を解くといいます。
例: 連立方程式  { x+y=3
x−y=1

 連立方程式の解は、x=2, y=1 または、(x,y)=(2,1) のように表します。

 連立方程式を解く方法には、加減法と代入法があり、加減法が多く使われます。
例1: 加減法
 { 2x+3y=−2  ・・・
 x−2y=6  ・・・
(茨木県高)
 式の減算(または加算)で、y を消去する。
◆滷押
 2x−4y=12 ・・・
 櫚:
 3y+4y=−2−12
 7y=−14  y=−2

 x=6+2y=2
(答) (x,y)=(2,−2)

例2: 代入法
 { y=3x+8  ・・・
4x+3y=11  ・・・
(秋田県高)
 他方の式に y を代入する。

 4x+3(3x+8)=11
 13x=−13  x=−1
 
 y=3x+8=5
(答) (x,y)=(−1,5)

練習
 次の方程式を解いてください。
1. x+y=7  
4x−y=8
(東京都高)
2. 2x+y=8
3x−2y=5
(長崎県高)
3. 3x+4y=5
x=1−y
(福島県高)
4. 2x+3y=5
3x+2y=10
(成城高)
5. 3x+2y=5  
2x−3y=10
(城北高)

答 え










答 え
1. x+y=7  ・・・ 
4x−y=8  ・・・
 y を消去する。
 椨◆
 5x=15  x=3
 
 y=7−x=4
(答) (x,y)=(3,4)

2. 2x+y=8  ・・・
3x−2y=5  ・・・
 y を消去する。
 滷押
 4x+2y=16 ・・・
◆椨:
 7x=21  x=3
 
 y=8−2x=2
(答) (x,y)=(3,2)

3. 3x+4y=5  ・・・
x=1−y  ・・・
 x を代入する。
 
 3(1−y)+4y=5
 3+y=5  y=2

 x=1−y=−1
(答) (x,y)=(−1,2)

4. 2x+3y=5  ・・・
3x+2y=10  ・・・
(解き方)
2つの式は x と y を交換しても成り立つ対称式になっています。
このような場合、2式の和、2式の差をとると、連立方程式が解きやすくなります。

 椨◆
 5x+5y=15
 x+y=3 ・・・
◆櫚 
 x−y=5 ・・・
+ぁ
 2x=8  x=4

 y=3−x=−1
(答) (x,y)=(4,−1)

5. 3x+2y=5  ・・・ 
2x−3y=10  ・・・
 y を消去する。
 3: 3x+6y=53   ・・・
2: 2x−6y=102 ・・・
+ぁА。毅=102+5
      x=22+
 x を消去する。
 2: 6x+2y=52   ・・・
3: 6x−3y=103 ・・・
ァ櫚ぁА。毅=52−10
      y=2−2
(答) (x,y)=(22+3,2−23)


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