中学から数学だいすき!

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連立方程式−文字の値

方程式を解く2 目次 >

 連立程式の解をもとに、文字の値を求めてみましょう。

例題
2ax+by=5   解が、x=3,y=1 のとき、
  a ,b の値を求めてください。
ax+4by=−1
(日大第二高)
 解は方程式を満たすので、
 x=3,y=1 を代入する。
  6a+b=5    ・・・
  3a+4b=−1 ・・・
 x を消去する。
◆滷押櫚 А。沓癲瓠檻掘 。癲瓠檻
 А。瓠瓠複機檻癲/6=1
(答) (a,b)=(1,−1)

練習
 問題1〜5の値を求めてください。
1. ax+y=20   解がともに自然数のとき、
  整数 a の値。
2x−y=17
(西大和学園高)
2. ay−bx=7   解が、x=3,y=5 のとき、
  a ,b の値。
ax+3by/5=8
(法政大高)
3. 7x/4−2y=k+1   解が、x=y のとき、
  k ,x の値。
−2x+y/4=10k+2
(ラ・サール高)
4. 3x−4y=14 x−2y=8
ax+by=29 2ax−by=−17
の解が一致するとき、a ,b の値。
(福岡大附属太濠高)
5. 4x−y−z=0   解 x,y,z が自然数で、
  最小公倍数か360 のとき、
  x,y,z の値。
5x−2y+10z=0
(灘高)

答 え










答 え
1. ax+y=20  ・・・
2x−y=17  ・・・
 椨◆А 複瓠棕押烹=37
  x=37/(a+2) x は自然数なので、
  a=−1,35
  a=−1 のとき、x=37
  a=35  のとき、x=1
◆А。=2x−17
 x=37 のとき、y=57
 x=1  のとき、y=−15 (自然数でない)
(答) a=−1

2. ay−bx=7  ・・・
ax+2by/5=8  ・・・
 x=3,y=5 を代入する。
  5a−3b=7 ・・・
  3a+2b=8 ・・・
 b を消去する。
×2+ぁ滷魁
  19a=14+24=38  a=2
ぁА。癲瓠複検檻械瓠/2=1
(答) (a,b)=(2,1)

3. 7x/4−2y=k+1  ・・・
−2x+y/4=10k+2  ・・・
 y=x を代入する。
 А。沓/4−2x=k+1  4倍する。
   −x=4k+4
   4k+x=−4   ・・・
◆А 檻横+x/4=10k+2  4倍する。
   −7x=40k+8
   40k+7x=−8 ・・・
 いらxを消去する。
ぁ櫚×7: 12k=20  k=5/3
: x=−4−4k=−4(1+5/3)=−32/3
(答) (k,x)=(5/3,−32/3)

4. 3x−4y=14 ・・・
ax+by=29 ・・・
x−2y=8 ・・・
2ax−by=−17 ・・・
 解が一致するので、´から(x,y)を求め、
 ↓い紡綟して、(a,b)を求める。

 櫚×2: x=−2
: y=(x−8)/2=−5
 (x,y)=(−2,−5) を、↓い紡綟する。
◆А 檻横瓠檻毅癲瓧横
   2a+5b=−29 ・・・
ぁА 檻苅瓠棕毅=−17
   4a−5b=17   ・・・
ァ椨ΑА。僑瓠瓠檻隠押 。瓠瓠檻
ΑА。癲瓠複苅瓠檻隠掘/5=−5
(答) (a,b)=(−2,−5)

5. 4x−y−z=0  ・・・
5x−2y+10z=0  ・・・
 (x,y) を z で表して解き、自然数と最小公倍数の条件から、(x,y,z) を求める。
 滷押櫚◆
 3x−12z=0  x=4z
 А。=4x−z=15z
 (x,y,z)=(4z,15z,z) の最小公倍数は360から、
 z×4×15×1=360
 z=6
 x=4z=24  y=15z=90
 (x,y,z)=(24,90,6) ・・・(答)

 z) 4z 15z z
 ――――――――  
    4  15  1
 z×4×15×1=360
 z=6


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