中学から数学だいすき!

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連立方程式−対称式

方程式を解く2 目次 >

 x と y を交換しても変わらない式を対称式といいます。
例: x+y=5
   xy=6
   1/x+1/y=2
   x+y=13
   (x−y)=4

 対称式は、x+y や xy で表すことができます。
例: 1/x+1/y=(x+y)/(xy)
   x+y=(x+2xy+y)−2xy=(x+y)−2xy
   (x−y)=(x+2xy+y)−4xy=(x+y)−4xy

これから、対称式の連立程式を解いてみましょう。
例題1
x+y=5  ・・・
xy=6  ・・・
(解答)
 А。=5−x △紡綟する。
◆ 。(5−x)=6
   x−5x+6=0
   (x−2)(x−3)=0
   x=2,3
´△ら x と y は交換できるので、
   y−5y+6=0
   y=2,3
,ら、(x,y)=(2,3),(3,2) ・・・(答)

(別解)
 t−(x+y)t+xy=0 のとき、
 (t−x)(t−y)=0 から、t=x,y
 したがって、
 −(x+y)t+xy=0 を解けば、(x,y) が求まる。
 t−5t+6=0
 (t−2)(t−3)=0
 t=2,3
 x=2,3 y=2,3 で、,ら、
 (x,y)=(2,3),(3,2) ・・・(答)

例題2
1/x+1/y=2/3  ・・・
x+y=8  ・・・

 А 複+y)/(xy)=2/3  △鯊綟する。
   8/(xy)=2/3
   xy=3×8/2=12 ・・・
↓から、(x,y) は次の方程式の解である。
  t−8t+12=0
  (t−2)(t−6)=0
  t=2,6
(答) (x,y)=(2,6),(6,2)

練習
 次の方程式を解いてください。
1. 1/x+1/y=3/4
xy=8
2. y+xy=120
x+y=15
3. (x+y)/(xy)=−13/6
x+y=1
4. (x−y)=49
+y=25
5. 1/x+1/y=5
xy=−1/2

答 え










答 え
1. 1/x+1/y=3/4  ・・・
xy=8  ・・・
 А 複+y)/(xy)=3/4  △鯊綟する。
   (x+y)/8=3/4
   x+y=6 ・・・
↓から、(x,y) は次の方程式の解である。
  t−6t+8=0
  (t−2)(t−4)=0
  t=2,4
(答) (x,y)=(2,4),(4,2)

2. y+xy=120  ・・・
x+y=8  ・・・
 А。y(x+y)=120  △鯊綟する。
  8xy=120
  xy=15 ・・・
↓から、(x,y) は次の方程式の解である。
  t−8t+15=0
  (t−3)(t−5)=0
  t=3,5
(答) (x,y)=(3,5),(5,3)

3. (x+y)/(xy)=−13/6  ・・・
x+y=1  ・・・
 А 弌複+y)−2xy}/(xy)=−13/6  △鯊綟する。
   1/(xy)−2=−13/6
   1/(xy)=−1/6
   xy=−6 ・・・
↓から、(x,y) は次の方程式の解である。
  t−t−6=0
  (t+2)(t−3)=0
  t=−2,3
(答) (x,y)=(−2,3),(3,−2)

4. (x−y)=49  ・・・
+y=25  ・・・
 А。−2xy+y=49   △鯊綟する。
   25−2xy=49
   xy=−12 ・・・
◆А 複+y)−2xy=25  を代入する。
   (x+y)+24=25
   (x+y)=1
   x+y=−1 ・・・ぁ,泙燭蓮
   x+y=1   ・・・
いら、(x,y) は次の方程式の解である。
  t+t−12=0
  (t+4)(t−3)=0
  t=−4,3 ・・・
イら、(x,y) は次の方程式の解である。
  t−t−12=0
  (t+3)(t−4)=0
  t=−3,4 ・・・
ΝГら、
 (x,y)=(−4,3),(−3,4),
        (3,−4),(4,−3) ・・・(答)

5. 1/x+1/y=5  ・・・
xy=−1/2  ・・・
 А 複+y)/(xy)=5
   {(x+y)−2xy}/(xy)=5  △鯊綟する。
   {(x+y)+1}/(1/4)=5
   4(x+y)+4=5
   (x+y)=1/4
   x+y=−1/2 ・・・ または、
   x+y=1/2   ・・・
↓から、(x,y) は次の方程式の解である。
  t+t/2−1/2=0
  2t+t−1=0
  (2t−1)(t+1)=0
  t=−1,1/2 ・・・
↓いら、(x,y) は次の方程式の解である。
  t−t/2−1/2=0
  2t−t−1=0
  (2t+1)(t−1)=0
  t=−1/2,1 ・・・
キΔら、
 (x,y)=(−1,1/2),(−1/2,1),
       (1/2,−1),(1,−1/2) ・・・(答)


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