確率−さいころの目
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さいころを投げたときの、目の出方の確率を求めてみましょう。
はじめに用語を確認します。自然数は正の整数です。素数は1を含まず、素数の約数は1かその数だけです。0は整数で偶数です。整数・偶数・奇数には負の数が含まれます。
例題1
さいころを1つ投げます。奇数の素数が出る確率を求めてください。
全ての場合の数は、N=6
奇数は、1,3,5 このうち素数は、3,5 なので、
対象の場合の数は、n=2
確率は、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)
例題2
大小2個のさいころを同時に投げるとき、目の積が5以上になる確率を求めてください。
全ての場合の数は、N=6×6=36
対象の場合の数 n を求める。
大の目を a 、小の目を b とする。
目の出方の組合せを{a,b} で表すと、
ab≧5 となる場合は、
{1,5} {1,6} 並べ方は4通り ← 15 51 16 61
{2,3} {2,4} {2,5} {2,6} 8通り
{3,3} {3,4} {3,5} {3,6} 7通り ← 33 は1通り
{4,4} {4,5} {4,6} 5通り
{5,5} {5,6} 3通り
{6,6} 1通り
n=4+8+7+5+3+1=28
求める確率 は、p=n/N=28/36=7/9 ・・・(答)
(別解)
(積≧5 の確率)=1−(積<5 の確率) から、
ab<5 となる場合は、
{1,1} {1,2} {1、3} {1,4} 並べ方は7通り
{2,2} 1通り
n=7+1=8
p=1−n/N=1−8/36=1−2/9=7/9 ・・・(答)
練習
答 え
答 え
1.
全ての場合の数は、N=6×6=36
対象の場合の数 n を求める。
大の目を a 、小の目を b とする。
目の出方の組合せを{a,b} で表すと、
a+b≦10 となる場合は、
{1,1〜6} 並べ方は11通り ← 11 12 21 13 31 …
{2,2〜6} 9通り
{3,3〜6} 7通り
{4,4〜6} 5通り
{5,5} 1通り
n=11+9+7+5+1=33
p=n/N=33/36=11/12 ・・・(答)
(別解)
(和≦10 の確率)=1−(和>10 の確率) から、
a+b>10 となる場合は、
{5,6} {6,6} 並べ方は3通り
p=1−3/36=33/36=11/12 ・・・(答)
2.
a<b となる並べ方(a,b)は、
(1,2〜6) 5通り
(2,3〜6) 4通り
(3,4〜6) 3通り
(4,5〜6) 2通り
(5,6) 1通り
対象の場合の数は、n=5+4+3+2+1=15
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=15/36=5/12 ・・・(答)
3.
a が b の倍数となる並べ方(a,b)は、
(1,1) 1通り ← 1は、1の倍数
(2,1か2) 2通り
(3,1か3) 2通り
(4,1か2か4) 3通り
(5,1か5) 2通り
(6,1か2か3か6) 4通り
対象の場合の数は、n=14
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=14/36=7/18 ・・・(答)
4.
一方の目を a ,他方の目を b とする。
ab=12 となる組合せ{a,b}は、
{2,6} {3,4} から、並べ方は4通り
対象の場合の数は、n=4
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=4/36=1/9 ・・・(答)
(参考)
組合せ{2,6} {3,4}を、並べ方で表すと、
(2,6) (6,2) (3,4) (4,3) となり、
もれや重複によって場合の数を間違えやすい。
5.
(1)
大の目を a ,小の目を b とする。
a+b=5 となる組合せ{a,b}は、
{1,4} {2,3} から、並べ方は4通り ・・・(答)
(2)
10の約数は、1,2,5,10
このうち、a+b が10の約数となる組合せ{a,b}は、
{1,1} 並べ方は1通り
{1,4} {2,3} 4通り
{4,6} {5,5} 3通り
対象の場合の数は、n=1+4+3=8
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)
さいころを投げたときの、目の出方の確率を求めてみましょう。
はじめに用語を確認します。自然数は正の整数です。素数は1を含まず、素数の約数は1かその数だけです。0は整数で偶数です。整数・偶数・奇数には負の数が含まれます。
自然数 | 1,2,3,… | |
素数@ | 2,3,5,7,11,… | |
整数@ | 0,±1,±2,±3,… | |
偶数@ | 0,±2,±4,… | |
奇数@ | ±1,±3,±5,… | |
倍数@ | 2の倍数: 2,4,6,… | |
約数@ | 6の約数: 1,2,3,6 |
例題1
さいころを1つ投げます。奇数の素数が出る確率を求めてください。
全ての場合の数は、N=6
奇数は、1,3,5 このうち素数は、3,5 なので、
対象の場合の数は、n=2
確率は、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)
例題2
大小2個のさいころを同時に投げるとき、目の積が5以上になる確率を求めてください。
全ての場合の数は、N=6×6=36
対象の場合の数 n を求める。
大の目を a 、小の目を b とする。
目の出方の組合せを{a,b} で表すと、
ab≧5 となる場合は、
{1,5} {1,6} 並べ方は4通り ← 15 51 16 61
{2,3} {2,4} {2,5} {2,6} 8通り
{3,3} {3,4} {3,5} {3,6} 7通り ← 33 は1通り
{4,4} {4,5} {4,6} 5通り
{5,5} {5,6} 3通り
{6,6} 1通り
n=4+8+7+5+3+1=28
求める確率 は、p=n/N=28/36=7/9 ・・・(答)
(別解)
(積≧5 の確率)=1−(積<5 の確率) から、
ab<5 となる場合は、
{1,1} {1,2} {1、3} {1,4} 並べ方は7通り
{2,2} 1通り
n=7+1=8
p=1−n/N=1−8/36=1−2/9=7/9 ・・・(答)
練習
1. | 1から6の目が出る大小2つのさいころを同時に1回投げるとき、出る目の数の和が10以下になる確率を求めてください。 |
(東京都) | |
2. | 1から6の目のついた1つのさいころを2回投げるとき、1回目に出た目の数を a、2回目に出た目の数を b とします。このとき、a<b となる確率を求めてください。 |
(新潟県高) | |
3. | 1つのさいころを2回投げるとき、1回目に出た目の数が、2回目に出た目の数の倍数となる確率を求めてください。 |
(愛知県高) | |
4. | 2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が12となる確率を求めてください。 |
(大阪府高) | |
5. | 大小2つのさいころを同時に投げます。 (1) 出る目の数の和が5になる場合は何通りですか。 (2) 出る目の数の和が10 の約数になる確率を求めてください。 |
(熊本県高) |
答 え
1.
全ての場合の数は、N=6×6=36
対象の場合の数 n を求める。
大の目を a 、小の目を b とする。
目の出方の組合せを{a,b} で表すと、
a+b≦10 となる場合は、
{1,1〜6} 並べ方は11通り ← 11 12 21 13 31 …
{2,2〜6} 9通り
{3,3〜6} 7通り
{4,4〜6} 5通り
{5,5} 1通り
n=11+9+7+5+1=33
p=n/N=33/36=11/12 ・・・(答)
(和≦10 の確率)=1−(和>10 の確率) から、
a+b>10 となる場合は、
{5,6} {6,6} 並べ方は3通り
p=1−3/36=33/36=11/12 ・・・(答)
2.
a<b となる並べ方(a,b)は、
(1,2〜6) 5通り
(2,3〜6) 4通り
(3,4〜6) 3通り
(4,5〜6) 2通り
(5,6) 1通り
対象の場合の数は、n=5+4+3+2+1=15
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=15/36=5/12 ・・・(答)
3.
a が b の倍数となる並べ方(a,b)は、
(1,1) 1通り ← 1は、1の倍数
(2,1か2) 2通り
(3,1か3) 2通り
(4,1か2か4) 3通り
(5,1か5) 2通り
(6,1か2か3か6) 4通り
対象の場合の数は、n=14
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=14/36=7/18 ・・・(答)
4.
一方の目を a ,他方の目を b とする。
ab=12 となる組合せ{a,b}は、
{2,6} {3,4} から、並べ方は4通り
対象の場合の数は、n=4
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=4/36=1/9 ・・・(答)
組合せ{2,6} {3,4}を、並べ方で表すと、
(2,6) (6,2) (3,4) (4,3) となり、
もれや重複によって場合の数を間違えやすい。
(1)
大の目を a ,小の目を b とする。
a+b=5 となる組合せ{a,b}は、
{1,4} {2,3} から、並べ方は4通り ・・・(答)
(2)
10の約数は、1,2,5,10
このうち、a+b が10の約数となる組合せ{a,b}は、
{1,1} 並べ方は1通り
{1,4} {2,3} 4通り
{4,6} {5,5} 3通り
対象の場合の数は、n=1+4+3=8
全ての場合の数は、N=6×6=36
p=n/N=8/36=2/9 ・・・(答)
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